1、2.3圆锥曲线的参数方程课时过关能力提升1椭圆x=5cos,y=3sin(02)的焦点坐标为()A.(5,0)B.(4,0)C.(3,0)D.(0,4)解析:将参数方程化为普通方程,得x225+y29=1,故焦点坐标为(4,0).答案:B2点P(1,0)到曲线x=t2,y=2t上的点的最短距离为()A.0B.1C.2D.2解析:d2=(t2-1)2+4t2=(t2+1)2.tR,dmin2=1,dmin=1.答案:B3参数方程x=1+t,y=2-2t表示的曲线是()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分解析:由x=1+t,y=2-2t,得2x2+y2=4,所以x22
2、+y24=1,且x0,y0,它表示椭圆的一部分.答案:B4曲线x=cos,y=2sin(02)的长轴长为()A.2B.4C.6D.8解析:将曲线的参数方程化为普通方程,得x2+y24=1,它表示焦点在y轴上的椭圆,其长轴长为4.答案:B5当取一切实数时,连接点A(4sin ,6cos )和点B(-4cos ,6sin )的线段的中点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.线段解析:设中点为M(x,y),由中点坐标公式,得x=2sin -2cos ,y=3cos +3sin ,即x2=sin -cos ,y3=sin +cos ,两式平方相加,得x24+y29=2,它表示椭圆.答案:B6若实数x,
3、y满足3x2+4y2=12,则2x+3y的最大值是.解析:因为实数x,y满足3x2+4y2=12,所以设x=2cos ,y=3sin ,则2x+3y=4cos +3sin =5sin (+),其中sin =45,cos =35.当sin (+)=1时,2x+3y有最大值为5.答案:57抛物线y=x2-2xt的顶点的轨迹的普通方程为.解析:抛物线方程可化为y=x-1t2-1t2,则其顶点为1t,-1t2.记M(x,y)为所求轨迹上任意一点,则x=1t,y=-1t2,消去t,得y=-x2(x0).答案:y=-x2(x0)8求椭圆x216+y212=1上的点到直线l:x-2y-12=0的最大距离和最
4、小距离.解:由椭圆的参数方程,设椭圆上的任意一点为(4cos ,23sin ),则此点到直线l的距离为d=|4cos-43sin-12|5=8cos+3-125,因此dmax=45,dmin=455.9把下列参数方程化为普通方程,并判断方程所表示的曲线的类型.(1)x=acos,y=bsin(为参数,a,b为常数,且ab0);(2)x=asec,y=btan(为参数,a,b为大于0的常数);(3)x=2pt2,y=2pt(t为参数,p为大于0的常数).解:(1)由cos2+sin2=1,得x2a2+y2b2=1,该方程表示一个长轴长为2a,短轴长为2b,中心在原点的椭圆.(2)由已知sec =xa,tan =yb,及sec2=1+tan2,有x2a2-y2b2=1,该方程表示双曲线.(3)由已知t=y2p,代入x=2pt2,得y24p22p=x,即y2=2px,该方程表示一条抛物线.10已知极点与原点重合,极轴与x轴正半轴重合,若曲线C1的极坐标方程为cos-4=2,曲线C2的参数方程为x=2cos,y=3sin(02),试求曲线C1,C2的交点的直角坐标.解:曲线C1可化为22cos +22sin =2,即x+y=2;曲线C2可化为x24+y23=1,即3x2+4y2=12.联立x+y=2,3x2+4y2=12,解得交点为(2,0),27,127.
