1、第1讲 排列、组合、二项式定理 专题七 概率与统计 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 41.(2015四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个解析 由题意，首位数字只能是4,5，若万位是 5，则有 3A3472 个；若万位是 4，则有 2A3448 个，故比40 000大的偶数共有7248120个.选B.B1 2 3 42.(2015课标全国)(x2xy)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60解析 方法一 利用二项展开式的通项
2、公式求解.(x2xy)5(x2x)y5，含 y2 的项为 T3C25(x2x)3y2.其中(x2x)3 中含 x5 的项为 C13x4xC13x5.所以 x5y2 的系数为 C25C1330.故选 C.1 2 3 4方法二 利用组合知识求解.(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以 x5y2 的系数为 C25C23C1130.故选 C.答案 C 1 2 3 43.(2014浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答).解析 把 8 张奖券分 4 组有两种分法，一种是分(一等
3、奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给 4 人有 A44种分法；1 2 3 4另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给 4 人有 A24种分法，所以不同获奖情况种数为 A44C23A24243660.答案 60 1 2 3 44.(2014课标全国)(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案)解析 设通项为 Tr1Cr10 x10rar，令 10r7，r3，x7 的系数为 C310a315，a318，a12.12 考情考向分析 1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项
4、式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.热点一 两个计数原理热点分类突破 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.例1 如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A.72种B.48种C.24种D.12种 解析 按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类.一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有432124(
5、种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有43224(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，故不同的涂法共有2424272(种).答案 A(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A.240B.204C.729D.920解析 分8类，当中间数为2时，有122个；当中间数为3时，有236个；当中间数为4时，有3412个；当中间数为5时，有4520个；当中间数为6时，有5630个；当中间数为7时，有6742个；当中间数为8时，有7856个；当中间数为9时，有8972个.故共有2612203
6、0425672240个.答案 A 思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理.(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化.跟踪演练1(1)(2014大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种 解析 由题意知，选 2 名男医生、1 名女医生的方法有 C26C1575(种).C(2)已知函数f(x)ln(x21)的值域为0,1,2，则满足这样条件的函数的个数为()A.8B.9C.26D
7、.27解析 因为值域为0,1,2，即ln(x21)0 x0，ln(x21)1x e1，ln(x21)2x e21，所以定义域取值即在这5个元素中选取，当定义域中有 3 个元素时，C11C12C124，当定义域中有 4 个元素时，C11C344，当定义域中有 5 个元素时，有一种情况.所以共有4419(个)这样的函数.答案 B 热点二 排列与组合名称 排列 组合 相同点 都是从n个不同元素中取m(mn)个元素，元素无重复 不同点 排列与顺序有关；两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 例2(1)(2014重庆)某
8、次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168 解析 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有 A22C13A2336(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成 4 个空，其形式为“小品1相声小品 2”，有 A22A3448(种)安排方法，故共有363648120(种)安排方法.答案 B(2)
9、数列an共有12项，其中a10，a52，a125，且|ak1ak|1，k1,2,3，11，则满足这种条件的不同数列的个数为()A.84B.168C.76D.152解析|ak1ak|1，k1,2,3，11，前一项总比后一项大1或小1，a1到a5中4个变化必然有3升1减，a5到a12中必然有5升2减，是组合的问题，C14C2784.A 思维升华 解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.跟踪演练2(1)某台小
10、型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A.36种B.42种C.48种D.54种 解析 分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间 4 个节目无限制条件，有 A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的 3 个节目中选 1 个节目排在第一位有 C13种排法，其他 3 个节目有 A33种排法，故有 C13A33种排法.依分类加法计数原理，知共有 A44C13A3342(种)编排方案.答案 B(2)要从3名骨科和5名内科医生中选派3人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科和内
11、科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答).解析 共8名医生，2个科类，要求每个科类至少1名医生，“骨科和内科医生都至少有1人”的对立事件是“全是骨科或全是内科医生”.若从这 8 名医生中任选 3 名，不同的选法有 C38种；其中全为骨科医生的选法只有 1 种，全为内科医生的选法有C35种.所以所求选派方法有 C381C355611045(种).答案 45热点三 二项式定理(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn，其中各项的系数就是组合数 Crn(r0,1，n)叫做二项式系数；展开式中共有 n1 项，其中第 r1 项 Tr1Crnanrbr(其中0rn，rN，nN*
12、)称为二项展开式的通项公式.例3(1)(2015陕西)二项式(x1)n(nN*)的展开式中x2的系数为15，则n等于()A.4B.5C.6D.7 解析 由题意易得：Cn2n15，Cn2nC2n15，即nn1215，解得 n6.C(2)(2 x)8 的展开式中，不含 x4 的项的系数的和为()A.1B.0C.1D.2 解析 由通项公式，可得展开式中含 x4 的项为T81C88288(1)8x4x4，故含x4的项的系数为1.令x1，得展开式的系数的和S1，故展开式中不含x4的项的系数的和为110.B 思维升华(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随
13、之确定；Tr1是展开式中的第r1项，而不是第r项；公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法.跟踪演练 3(1)(2014湖北)若二项式(2xax)7 的展开式中1x3的系数是 84，则实数 a 等于()A.2 B.5 4 C.1 D.24解析 二项式(2xax)7 的展开式的通项公式为Tr1Cr7(2x)7r(ax)rCr727rarx72r，令72r3，得r5.故展开式中1x3的系数是 C5722a584，解得 a1.C(2)(201
14、4浙江)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)等于()A.45B.60C.120D.210 解析 因为 f(m，n)Cm6Cn4，所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)C36C04C26C14C16C24C06C34120.C高考押题精练 1 2 3 41.某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A.8种B.16种C.18种D.24种 押题依据 两个计数原理是解决排列
15、、组合问题的基础，也是高考考查的热点.1 2 3 4解析 可分三步：第一步，最后一个排商业广告有 A12种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有 A12种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有 A22种.根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有A12A12A228(种).故选 A.答案 A 1 2 3 42.为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为()A.60B.120C.240D.360 押题依据 排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类.1 2 3 4
16、解析 6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有 C12种，其余 5 名分成一人组和四人组有 C45A22(种)，共 C45A22C1220(种)；王教练分配到四人组且该组不去甲校有 C35C12A2240(种)，则第一种情况共有 204060(种).1 2 3 4(2)对于第二种情况，王教练分配到一人组有 C35C22A22C1240(种)，王教练分配到三人组有 C25C23C12A22120(种)，王教练分配到两人组有 C15C12C34A2280(种)，所以第二种情
17、况共有4080120240(种).(3)对于第三种情况，共有 C15C12C24C2260(种).综上所述，共有6024060360(种)分配方案.答案 D 1 2 3 43.若(3x1x)n 展开式中各项系数之和为 16，则该展开式中含x2 项的系数为()A.102B.102C.98D.108 押题依据 求二项展开式中某项的系数或常数项是高考命题的热点，其中二项展开式的二项式系数与该项的系数的区别与联系是高考命题的着眼点.1 2 3 4解析 根据已知，令x1得2n16，即n4.二项展开式的通项公式是 Tr1Cr4(3x)4r(1x)r(1)r34rCr4x42r，当42r2，即r1时，此时可得含x2项的系数为334108.答案 D 1 2 3 44.若(x21)(x2)11a0a1(x1)a2(x1)2a13(x1)13，则a1a2a13_.押题依据 求解二项展开式系数的和的相关问题，是高考命题的一种常见题型，解决这类问题常用的方法就是“赋值法”.1 2 3 4解析 记f(x)(x21)(x2)11a0a1(x1)a2(x1)2a13(x1)13，则f(1)a0(121)(12)112.而f(2)(221)(22)11a0a1a2a13，即a0a1a2a130.所以a1a2a132.答案 2 谢谢观看
