1、第6讲 空间坐标系与空间向量 考纲要求考点分布考情风向标1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量与平面的法向量.5.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系2011年新课标卷以四棱锥为背景，考查求二面角的余弦值的大小；2012年新课标卷以三棱柱为背景，考查求二面角的大小；2013年新课标卷以三棱柱为背景，考查求线面所成角的正弦值；2014年新课标卷以三棱柱背景，考查求二面角的余弦
2、值）；2015年新课标卷考查求直线与直线所成角的余弦值能较易建立空间直角坐标系的，尽量建立空间直角坐标系；要注意向量运算与基本性质相结合的论述，这是今后的方向，可以“形到形”，可以“数到形”，注意数形结合1.空间向量的概念在空间，既有大小又有方向的量，叫做空间向量，记作 a或AB.空间向量可以在空间内自由平行移动.2.空间向量的运算(1)加法：ABBCAC(三角形法则：首尾相连，指向终点).(2)减法：ABACCB(三角形法则：共点出发，指向被减).(3)数乘向量：a(R)仍是一个向量，且a与a共线，|a|a|.(4)数量积：ab|a|b|cosa，b，ab是一个实数.3.空间向量的运算律 (
3、1)交换律：abba；abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)；(a)b(ab)(R)注意：(ab)ca(bc)一般不成立.(3)分配律：(ab)ab(R)；a(bc)abac.4.空间向量的坐标运算(x1，y1，z1)(1)若OP xiyjzk，则(x，y，z)叫做向量OP 的坐标，也叫做点 P 的坐标.(2)设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么ab(x1x2，y1y2，z1z2)；a_；abx1x2y1y2z1z2；cosa，bx1x2y1y2z1z2x21y21z21x22y22z22.(3)设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，(4)对于非零向量
4、a与b，设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么有则|M1M2|x1x22y1y22z1z22.ababx1x2，y1y2，z1z2；abab0 x1x2y1y2z1z20.1.已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则 k 值是()DA.11B.5C.357D.5解析：kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，2ab2(1,1,0)(1,0,2)(3,2，2)，两向量垂直，3(k1)2k40，k75.故选 D.2.已知 A(1，1,3)，B(0,2,0)，C(1,0,1)，若点 D 在 z 轴上，且AD BC，则|AD|等于()A.1
5、B.2 C.3D.2解析：点 D 在 z 轴上，可设 D 点坐标为(0,0，m)，则AD(1,1，m3)，BC(1，2,1)，由AD BC，得AD BCm40，m4，AD(1,1,1)，|AD|111 3.CA图 D523.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量表达式DD1 ABBC化简后的结果是()A.BD1B.D1BC.B1D D.DB1解析：如图 D52，DD1 AA1，DD1 ABAA1 ABBA1，BA1 BCBD1，DD1 ABBCBD1.B4.已知空间四边形 OABC 中，点 M 在线段 OA 上，且 OM2MA，点 N 为 BC 的中点，设OA a，OB b，OC c，
6、则MN()A.12a12b23cB.23a12b12cC.12a23b12cD.23a23b12c解析：MN ON OM 12(OB OC)23OA 12(bc)23a23a12b12c.考点 1 空间向量的线性运算例1：如图 8-6-1，已知空间四边形 OABC 中，点 M 在线段OA 上，且 OM2MA，点 N 为 BC 的中点，点G在线段 MN 上，图 8-6-1且 MG3GN.设OA a，OB b，OC c，试用向量 a，b，c 表示向量OG.思维点拨：利用三角形法则转化.解：OG OM MG23OA 34MN23OA 34(ON OM)23OA 3412OB OC 23OA23a38
7、(bc)12a16a38b38c.【规律方法】(1)本题结合图形特点运用向量的三角形法则或平行四边形法则、共线向量定理等基本关系表示出有关的向量.(2)向量的线性运算有一个常用的结论：如果点B 是线段AC算.的中点，那么OB 12(OA OC).此结论常用于与中点相关的运1.如图 8-6-2，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，设AA1 a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MP NC1.【互动探究】图 8-6-2解：(1)P 是 C1D1 的中点，APAA1 A1D1 D1P aA
8、D 12D1C1ac12ABac12b.(2)N 是 BC 的中点，A1N A1A ABBNab12BCab12AD ab12c.(3)M 是 AA1 的中点，MP MA AP12A1A AP12aac12b 12a12bc.又NC1 NC CC1 12BCAA112AD AA1 12ca，MP NC1 12a12bc a12c32a12b32c.考点 2空间向量的数量积运算 例2：(2015年新课标)如图863，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直
9、线CF所成角的余弦值.图863(1)证明：连接 BD，设 BDACG，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD 中，不妨设 GB1，由ABC120，可得 AGGC 3.由 BE平面 ABCD，ABBC 可知，AEEC.又AEEC.EG 3，EGAC.在 RtEBG 中，可得 BE 2，故 DF 22.在 RtFDG 中，可得 FG 62.由 BD2，BE 2，DF 22 可得 EF3 22.EG2FG2EF2.EGFG.ACFGG，AC，FG平面AFC，EG平面AFC.EG面AEC，平面AEC平面AFC.在直角梯形BDFE中，(2)如图 D53，以 G 为坐标原点，分别以GB，GC 的方向为x
10、 轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 Gxyz，由(1)可得 A(0，3，0)，E(1,0，2)，F1，0，22，C(0，3，0).AE(1，3，2)，CF1，3，22.故 cosAE，CF AECF|AE|CF|33.所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 33.图D53 【规律方法】(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面中的角的大小.的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出a,b(2)由两个向量的数量积定义，得 cosa,b ab|a|b|，求a,b的余弦值,进而求a,b的大小.在求 ab 时
11、注意结合空间图形,把 a,b 用基向量表示出来,进而化简得出 ab 的值【互动探究】2.(2012年大纲)三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.解析：设该三棱柱的边长为 1，依题意有，AB1 ABAA1，BC1 AC AA1 AB，则|AB1|2(ABAA1)2AB 22ABAA1 AA1 222cos603.|BC1|2(AC AA1 AB)2AC 2AA1 2AB 22AC AA1 2AC AB2AA1 AB2.而AB1 BC1(ABAA1)(AC AA1 AB)ABAC ABAA1 ABABAA1 AC AA
12、1 AA1 AA1 AB12121121121.cosAB1，BC1 AB1 BC1|AB1|BC1|12 3 66.答案：66例3：已知正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1 的中点，建立适当的坐标系，求平面 AMN 的法向量.思维点拨：在平面AMN内找两个相交向量分别与法向量垂直.考点 3 空间向量的坐标运算图D54解：以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.如图 D54.设棱长为 1，则 A(1,0,0)，M1，1，12，N0，12，1.AM 0，1，12，AN1，12，1.设平面 AMN 的法向量 n(x，y，z)，nAM y1
13、2z0，nANx12yz0.令 y2，得 x3，z4.n(3,2，4).(3,2，4)为平面 AMN 的一个法向量.【规律方法】本题的关键就是在平面AMN 内找两个相交向量分别与法向量垂直，向量的坐标为向量的运算、夹角与距离提供了运算基础，关键是建立适当的坐标系，确定点与向量的坐标.3.(2014年广东)已知向量 a(1,0，1)，则下列向量中与 a成 60夹角的是()BA.(1,1,0)B.(1，1,0)C.(0，1,1)D.(1,0,1)【互动探究】图 8-6-4易错、易混、易漏向量夹角不明致误 例题：如图864，在120的二面角l中，Al，Bl，AC，BD，且ACAB，BDAB，垂足分别
14、为A，B.已知ACABBD6，试求线段CD的长.正解：ACAB，BDAB，CAAB0，BD AB0.又二面角-AB-的平面角为 120，CA，BD 60.CD2|CD|2(CAABBD)2CA 2AB 2BD 22(CAABCABD BD AB)362262cos60144.CD12.【失误与防范】(1)求解时，易混淆二面角的平面角与向量此处应结合图形，根据向量的方向与二面角的棱的方向关系正确地转化为向量夹角.(2)对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错.夹角的概念，把CA，BD 60易错解为CA，BD 120，1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.
