1、第2讲 空间几何体的表面积和体积 考纲要求考点分布考情风向标1.认识柱、锥、台、球 及 其 简 单 组 合体 的 结 构 特 征，并 能 运 用 这 些 特征 描 述 现 实 生 活中 简 单 物 体 的 结构.2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式2011年新课标卷考查球内接圆锥问题；2011年新课标卷以四棱锥为背景，求三棱锥的高；2012年新课标卷考查求球的体积；2012年新课标卷以三棱柱为背景，求几何体的体积；2013年新课标卷考查求球的表面积；2013年新课标卷考查线面位置判定定理及求三棱柱体积；2015年新课标卷考查圆锥的体积公式的应用；2015年新课标卷考查简单几何体的
2、三视图、圆柱的侧面积公式及球的表面积公式；2015年新课标卷已知三棱锥体积，求三棱锥的侧面积从近几年的高考试题来看，本部分内容是高考的必考内容，考查形式可以直接求几何体的面积和体积，也可以根据几何体的体积、面积求某些元素的量，与三视图相结合求几何体的面积、体积是课改以来高考的热点，在备考时应予以重视.同时要特别注意有关球的内接或外切几何体的计算，全国卷多年都有考查几何体面 积体 积圆柱S侧_VShr2h圆锥S侧rl1.柱、锥、台和球的侧面积和体积2rhV13Sh13r2h13r2l2r2 几何体面 积体 积圆台S侧(r1r2)l直棱柱S侧ChVSh正棱锥正棱台球S球面_(续表)4R2V13(S
3、 上S 下 S上S下)h13(r21r22r1r2)hS 侧12ChV13ShS 侧12(CC)hV13(S 上S 下 S上S下)hV43R32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.3.等积法的应用(1)等积法：等积法包括等面积法和等体积法.(2)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的
4、数值.1.(2014 年福建)以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2B.C.2D.1解析：由已知，得圆柱的底面半径和高均为 1，其侧面积 S2112.A2.(2013 年上海)若两个球的表面积之比为 14，则这两个球的体积之比为()CA.12C.18B.14D.116解析：因为球的表面积 S4R2，两个球的表面积之比为14，则两个球的半径之比为 12，又因为球的体积 V43R3，则这两个球的体积之比为 18.3.设正方体的棱长为2 33，则它的外接球的表面积为()A.83 B.2 C.4 D.434.(2012 年新课标)平面 截球 O
5、的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 2，则此球的体积为()A.6 B.4 3 C.4 6 D.6 3CB解析：设球的半径为 R，R 12 22 3，则此球的体积为43R343(3)34 3.考点 1 几何体的面积是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.例 1：(1)(2014 年山东)一个六棱锥的体积为 2 3，其底面答案：12解析：设六棱锥的高为 h，体积为 V13Sh2 3，所以136122 3h2 3.解得 h1.设斜高为 h，则 h12 322，则该六棱锥的侧面积为1222612.(2)(2015 年福建)某几何体的三视图如图 8-2-1，则该
6、几何体的表面积等于()图 8-2-1A.82 2 B.112 2C.142 2D.15答案：B【规律方法】第(1)小题是求实体的面积；第(2)小题只是给出几何体的三视图，求该几何体的表面积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算.注意表面积包括底面等腰梯形的面积.解析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为 1,2，直角腰长为 1，斜腰为 2.底面积为 21233，侧面积为 2242 282 2.所以该几何体的表面积为 112 2.故选 B.1.(2013 年陕西)某几何体的三视图如图 8-2-2，
7、则其表面积为_.3解析：综合三视图可知，立体图是一个半径r1 的半个球体.其表面积为124r2r23.图 8-2-2【互动探究】考点 2 几何体的体积例 2：(1)(2015 年浙江)某几何体的三视图如图 8-2-3(单位：cm)，则该几何体的体积是()图 8-2-3A.8 cm3B.12 cm3 C.323 cm3 D.403 cm3解析：由三视图可知，该几何体是一个棱长为 2 的正方体 与一个底面边长为 2，高为 2 的正四棱锥的组合体，故其体积答案：C为 V2313222323 cm3.故选 C.(2)(2015 年新课标)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有
8、委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图 8-2-4，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有()图 8-2-4A.14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛解析：设圆锥底面半径为 r，则1423r8.所以 r163.所以米堆的体积为14133163253209.故堆放的米约为32091.6222.故选 B.答案：B【规律方法】求几何体的体积时，若所给的几何体是规则的柱体、锥体、台体或球，可直接利用公式求
9、解；若是给出几何体的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算.另外不要忘了锥体体积公式中的13.【互动探究】2.(2014 年新课标)正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 3，D 为 BC 中点，则三棱锥 A-B1DC1 的体积为()A.3 B.32 C.1 D.32图 D43答案：C解析：如图D43，连接AD,显然AD面BCC1B1，即AD为三棱锥 A-B1DC1 的高，11A B DCV 1311B DCSAD13122 3 31.考点 3 立体几何中的折叠与展开图 8-2-5 例3：(2014年上海)底面
10、边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形P1P2P3(如图825)，求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.解：由题意知，在P1P2P3中，P1AP3A，P1BP2B，P2CP3C.所以AB，AC，BC是P1P2P3的三条中位线.因此，P1P2P3是正三角形，且边长为4.设顶点P在底面ABC内的投影为点O，显然点O为正三角形ABC的中心，AO23 22122 33，PO222 3322 63.所以 VP-ABC13122 32 632 23.为 522.525224(cm).【互动探究】3.圆柱的轴截面是边长为 5 cm 的正方形 ABCD，求圆柱的侧面上从 A 到 C 的最短距离.
11、解：如图 D44，由圆柱的轴截面是边长为 5 cm 的正方形，可知：圆柱高CD为5 cm，底面半径为2.5 cm，底面周长为5 cm，则AD 为2.5 cm，圆柱侧面上从A 到C的最短距离即是矩形 ABCD 的对角线长图 D44难点突破 有关球的运算 例题：(1)(2015 年新课标)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为()A.36B.64C.144D.256解析：如图 8-2-6，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O-ABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 VO-
12、ABCVC-AOB1312R2R16R336.故 R6，则球 O 的表面积 S4R2144.故选 C.图8-2-6答案：C(2)(2014 年大纲)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积是()答案：AA.814B.16 C.9 D.274解析：设半径为 R，有(4R)2(2)2R2.解得 R94.S 球4R2814.(3)(2013 年新课标)如图 8-2-7，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()图 8-2-7A.5003
13、 cm3 B.8663 cm3C.13723cm3 D.20483cm3解析：如图 8-2-8，作出球的一个截面，则MC86 答案：A2(cm)，BM12AB1284(cm).图 8-2-8设球的半径为 R cm，则 R2OM2MB2(R2)242.R5.V 球43535003(cm3).1.长方体的外接球：长、宽、高分别为 a，b，c 的长方体的对角线长等于外接球的直径，即 a2b2c22R；特别地，棱长为 a 的正方体有 3a2R.2.(1)圆锥的母线 l、高 h 和底面圆的半径 R 组成直角三角形.圆锥的计算一般归结为解这个直角三角形，关系式是 l2h2R2.(2)圆台的母线 l、高 h
14、 和上、下底面圆的半径 r，R 组成直角梯形.圆台的计算一般归结为解这个直角梯形，关系式是 l2h2(Rr)2.3.球的截面性质：球的截面是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；球心和截面圆心的连线垂直于截面；r R2d2(其中 r 为截面圆半径，R 为球的半径，d 为球心 O 到截面圆的距离，即 O 到截面圆心 O1 的距离).4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式容易记错，应记住其展开图的特征：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形，当底面半径为 r，母线长为 l 时，扇形的圆心角 rl360；圆台的侧面展开图是扇环，当上、下底面半径分别为 r，r，母线长为 l 时，扇环的圆心角 rrl360.5.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
