1、第3讲 等比数列 考纲要求考点分布考情风向标1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系2011年新课标卷考查等比数列前n项和，等差数列的基本知识；2012年新课标卷考查等比数列前n项和公式；2013年新课标卷考查等比数列前n项和公式与通项间的关系；2014年新课标卷考查公式法求数列通项；2014年大纲卷考查等比数列的基本性质；2015年新课标卷考查等比数列前n项和及通项公式理解等比数列的概念，会用定义证明一个数列是等比数列；能利用等比中项、通项公式与前n项和公式列方
2、程求值；善于识别数列中的等比关系或转化为等比关系；能利用通项公式或前n项和公式解决相关问题1.等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母 q 表示.公比2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3.等比中项若G2ab(ab0)，那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*).(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列
3、，则an(0)，1an，a2n，anbn，anbn 仍是等比数列.递减 (4)已知等比数列an，若首项a10，公比q1或首项a10，公比0q0，公比0q1或首项a11，则数列an单调_；若公比q1，则数列an为常数列；若公比q0，所以 b1.考点 1 等比数列的基本运算 例1：(1)(2013年新课标)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1()答案：CA.13 B.13C.19 D.19解析：设公比为 q，S3a210a1，a59，a1a2a3a210a1，a1q49.a1q29a1，a1q49.解得 a119.故选 C.(2)(2015年新课标)数列an中a12，
4、an12an，Sn为an的前n项和，若Sn126，则n_.答案：6解析：a12，an12an，数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列.Sn212n12 126.2n64.n6.答案：C(3)(2013 年大纲)已知数列an满足 3an1an0，a243，则an的前 10 项和等于()A.6(1310)B.19(1310)C.3(1310)D.3(1310)解析：3an1an0，q13，a2a1q43，a14，S10411310113311310.故选 C.(4)(2014年江苏)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6_.解析：由a8a62a4，得a1q7a1q5
5、2a1q3，即q4q220，q22或q21(舍去).a6a2q41224.答案：4 【规律方法】在解决等比数列问题时，已知a1，an，q，n，Sn中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.而求得a1和q是解决等比数列an所有运算的基本思想和方法.考点 2 等比数列的基本性质及应用 例2：(1)(2014年广东)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则lna1lna2lna20_.解析：因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以lna1lna2lna20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a1
6、1)1010ln(a10a11)10lne550lne50.答案：50(2)(2014年大纲)设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6()A.31B.32C.63D.64答案：C解析：方法一，由 S23，S415，a11q3，a11qq2q315，解得a11，q2.则 S611261263.方法二，a1a23，a3a4S4S212，所以 a5a648，则 S6481563.【规律方法】(1)解决给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质“若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq”，再考虑基本量法.(2)等比数列前n项和的性质：若公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn
7、，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍是等比数列.【互动探究】2n1 1.(2015年安徽)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_.解析：由题意，a1a49，a2a3a1a48，解得 a11，a48 或者a18，a41.而数列an是递增的等比数列，所以 a11，a48，即 q3a4a18.所以 q2.因而数列an的前 n 项和 Sna11qn1q12n12 2n1.考点 3 等差与等比数列的混合运算例3：(1)(2014年大纲)等比数列an中，a42，a55，则数列lgan的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3答案：C解析：由已知，得 qa5a452
8、，a1a4q32523 16125.lga1lg 16125.an为等比数列，lganlgan1lg anan1lg52(n2).lgan为等差数列，所求和为 8lg 16125872 lg528(4lg23lg5)28(lg5lg2)4lg24lg54.故选 C.(2)(2014年新课标)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn()答案：AA.n(n1)B.n(n1)C.nn12D.nn12解析：a2，a4，a8 成等比数列，a24a2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d).将 d2 代入上式，解得 a12.Sn2nnn122n(n1).故选 A.【互
9、动探究】2.(2015年北京)已知等差数列an满足a1a210，a4a32.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b2a3，b3a7，求b6与数列an的第几项相等？解：(1)设等差数列an的公差为d.因为a4a32，所以d2.又因为a1a210，所以2a1d10.故a14.所以an42(n1)2n2(n1,2，).(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a38，b3a716，所以q2，b14.所以b64261128.由1282n2，得n63.所以b6与数列an的第63项相等.思想与方法 分类讨论思想在数列中的应用 例题：(2015年福建)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)
10、的两个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于()A.6B.7C.8D.9答案：D解析：由韦达定理，得 abp，abq，则 a0，b0.当 a，b，2 适当排序后成等比数列时，2 必为等比中项，故 abq4，b4a.当适当排序后成等差数列时，2 必不是等差中项，当 a 是等差中项时，2a4a2，解得 a1，b4；当4a是等差中项时，8aa2，解得 a4，b1.综上所述，abp5.所以 pq9.故选 D.1.等比数列的判定方法.(1)定义法：an1an q(nN*，q0 是常数)an是等比数列；(2)中项法：a2n1anan2(nN
11、*)且 an0an是等比数列.2.解决与等比数列有关问题时常见的思想方法.(1)函数思想：在等比数列中 ana1q qn，它的各项是该函数图象上的一群孤立的点.(2)方程思想：准确分析a1，q，an，Sn，n之间的关系，通过列方程(组)可做到“知三求二”.(3)整体思想：在应用等比数列an的性质“若mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq”或用“Sna11qn1q a11q a11qqn”时，要会用整体思想进行代换(将 a11q视为一个整体).(4)类比思想：等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比.关注它们之间的异同有助于类比思想的推广，更有利于我们从整体上把握，使我们的学习达到事半功倍的效果.3.求和时应特别注意q1时，Snna1这一特殊情况.4.在等比数列中，Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立.
