1、1.4.2 存在量词 问题 引航1.什么是存在量词?常见的存在量词有哪些?2.什么是全称命题与特称命题?如何判断它们的真假?1.存在量词与特称命题(1)存在量词:短语“_”“至少有一个”在逻辑中通 常叫做存在量词,并用符号“_”表示.(2)特称命题:含有_的命题叫做特称命题.(3)符号表示:符号简记为:_,读作:“存在一个x0属于M,使p(x0)_”.存在一个 存在量词 x0M,p(x0)成立 1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.()(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.()(3)全称命题一定含有全称量词,特称命题一
2、定含有存在量词.()【解析】(1)“有些”“某个”“有的”等短语是存在量词,故说法是错误的.(2)结合全称量词和存在量词的含义知,这种说法是正确的.(3)有些命题虽然没有写出全称量词和存在量词,但其意义具备“任意性”或“存在性”,这类命题也是全称命题或特称命题,如“正数大于0”即“所有正数都大于0”,故说法是错误的.答案:(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是 ,该量词是 量词(填“全称”或“存在”).(2)“负数没有对数”是 命题(填“全称”或“特称”).(3)全称命题“xR,x20”是 命题(填“真”或“假”).【解析】(1)命
3、题“有些长方形是正方形”含有量词“有些”,它属于存在量词.答案:有些 存在(2)负数没有对数指的是所有的负数都没有对数,因此,该命题是全称命题.答案:全称(3)当x=0时,x20不成立,故命题“xR,x0”是假命题.答案:假【要点探究】知识点 全称命题与特称命题 1.理解全称命题及特称命题时应关注的三点(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“一切”“每一个”等,相应的词语是“都”.(2)有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.(3)特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量
4、词还有“有的”“存在”等.2.全称命题与特称命题的区别(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.(2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.【知识拓展】全称命题、特称命题不同表述形式的应用 命题 全称命题“xM,p(x)”特称命题“x0M,p(x0)”表 述 方 法 所有的xM,有p(x)成立 对一切xM,有p(x)成立 对每一个xM,有p(x)成立 任选一个xM,有p(x)成立 凡xM,都有p(x)成立 存在x0M,使p(x0)成立 至少有一个x0M,使p(x0)成立 对有些x0M,使p(x0)成立 对某个x
5、0M,使p(x0)成立 有一个x0M,使p(x0)成立【微思考】(1)同一个全称命题的表述是否是惟一的?提示:不惟一,对于同一个全称命题,由于自然语言不同,可以有不同的表述方法,只要含义正确即可.(2)全称命题中的“x,M与p(x)”表达的含义分别是什么?提示:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“xN,x0”.【即时练】下列命题是全称命题的个数是()任何实数都有平方根;所有的素数都是奇数;有的等差数列是等比数列;三角形的内角和是180.A.0 B.
6、1 C.2 D.3【解析】选D.命题含有全称量词,而命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180,”故有三个全称命题.【题型示范】类型一 全称命题与特称命题的判定【典例1】(1)命题“自然数的平方大于零”是 命题(填“全称”或“特称”),其省略的量词是 .(2)判断下列命题是全称命题,还是特称命题.凸多边形的外角和等于360;有一个实数a,a不能取对数;任何数的0次方都等于1.【解题探究】1.题(1)中的自然数是指哪些数?2.题(2)中省略了什么量词?命题中分别含有什么量词?【探究提示】1.指的是所有的自然数.2.命题中省略了量词“所有的”,命题中分别含有量词“有一个”“任何”.【自主解答】
7、(1)自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零,故该命题是全称命题,其省略的量词是“所有的”.答案:全称 所有的(2)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360,故为全称命题;含有存在量词“有一个”,因此是特称命题;含有全称量词“任何”,故是全称命题.【延伸探究】本例(2)中的命题若换为:有些凸多边形的外角和等于360;所有的实数a,a不能取对数.其结论又如何呢?【解析】命题中含有量词“有些”,故是特称命题,命题中含有量词“所有”,故是全称命题.【方法技巧】判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路【变式训练】判断下列命题是全称命题还是特称命题.(1)所有的合数都是偶数.(2)有一个实数
8、x0,使x02+x0+1=0.(3)存在x0R,x02+11.(4)正方形都是矩形.【解题指南】判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有全称量词还是存在量词.【解析】(1)全称命题.(2)特称命题.(3)特称命题.(4)全称命题.【补偿训练】下列命题不是特称命题的是()A.有些实数的平方可以等于零 B.存在x00,使x020 D.x0Z,14x0;0,0,使cos(0-0)=cos 0-cos 0;x,yN,都有x-yN.12【解题探究】1.题(1)中哪些命题是特称命题,哪些是全称命题?2.判断全称命题为假命题的思路是什么?【探究提示】1.题(1)中A,C是全称命题;B,D是特称
9、命题.2.判断全称命题为假命题的思路是找一个x0使命题不成立即可.【自主解答】(1)选C.若x2-1=0,则x=1,A错误;若3x-1=0,则x=Z,B错误;若14x0恒成立,故选C.(2)真命题.因为x2-x+1-=x2-x+所以x2-x+1 恒成立.真命题.例如,=,=,符合题意.假命题.例如,x=1,y=5,x-y=-4N.1313x,44 1212422111(x)0.24412【方法技巧】全称命题与特称命题的真假判断的技巧(1)全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,却只要能举出集合M中的一个x=x0,
10、使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)特称命题的真假判断 要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.【变式训练】判断下列语句是全称命题还是特称命题,并判断真假.(1)有一个实数 0,使tan 0无意义.(2)任何一条直线都有斜率吗?(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.(4)圆内接四边形,其对角互补.【解题指南】先判断命题的类型,再判断命题的真假.【解析】(1)特称命题.=时,tan不存在,所以,特称命题“有一个实数0,使tan0无意义”是真命题.(2)不是命题.(3)含有全称量词,
11、所以该命题是全称命题.又任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径,所以,全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径”是真命题.2(4)“圆内接四边形,其对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形,其对角都互补”,所以该命题是全称命题且为真命题.【补偿训练】下列命题中,真命题是()A.m0R,使函数f(x)=x2+m0 x(xR)是偶函数 B.m0R,使函数f(x)=x2+m0 x(xR)是奇函数 C.mR,使函数f(x)=x2+mx(xR)都是偶函数 D.mR,使函数f(x)=x2+mx(xR)都是奇函数【解析】选A.当m=0时f(x)=x2+mx是偶函数,故A正确.类型三 含量词命题的应用【典
12、例3】(1)若“x0R,x02+2x0+2=m”是真命题,则实数m的取值范围是 .(2)已知命题p:“x0R,sinx00恒成立”,若pq是真命题,求实数m的取值范围.【解题探究】1.题(1)中“x0R,x02+2x0+2=m”是真命题,则对应的方程的根的情况是什么?2.题(2)中由“pq是真命题”能得出p与q的真假是什么?【探究提示】1.由题意可知对应的方程有实数解,即0.2.由pq是真命题可以得出p与q均是真命题.【自主解答】(1)方法一:由于“x0R,x02+2x0+2=m”是真命题,则实数m的取值集合就是二次函数f(x)=x2+2x+2的值域,即m|m1.方法二:依题意,方程x2+2x
13、+2-m=0有实数解,所以=4-4(2-m)0,解得m1.答案:1,+)(2)由于pq是真命题,则p,q都是真命题.因为“x0R,sinx0-1.又因为“xR,x2+mx+10恒成立”是真命题,所以=m2-40,解得-2m2.综上所述,实数m的取值范围是(-1,2).【方法技巧】利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧(1)含参数的全称命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题.(2)含参数的特称命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.【变式训练】已知命题p:x2-2x+a0在R上恒成立,命题q:x
14、0R,x02+2ax0+2-a=0,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.【解析】若p是真命题,则=4-4a0,所以a1;若q为真命题,则方程x2+2ax+2-a=0有实根,所以=4a2-4(2-a)0,即a1或a-2,依题意得p,q一真一假,当p真q假时,得a;当p假q真时,得a-2.综上所述,a的取值范围为a-2.【补偿训练】若命题“x0R,使得x02+mx0+2m-30恒成立,则a的取值范围为 .【解析】令2x=t,因为x(-,1,所以t(0,2,所以原不等式可化为:a2-a ,要使上式在t(0,2上恒成 立,只需求出f(t)=在t(0,2上的最小值即可.2t1t2t1t答案：222min2t111111f t()().tttt24113,),f tf 2,t24313aa,a.4221 3a(,).2 2因为因为所以所以所以所以 的取值范围是1 3(,)2 2
