1、 类型1三角函数式的化简与求值本章主要学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、倍角公式等(1)牢记两个基本关系式sin2cos21及tan ，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明在应用中，要注意掌握解题的技巧比如：已知sin cos 的值，可求cos sin .注意应用(sin cos )212sin cos .在倍角公式中特别关注cos 2cos2sin22cos2112sin2及其变形(2)诱导公式可概括为k(kZ)的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限【例1】(1)已知sinsin，则的值为_(2)化简：(2)(1)(1)，sin
2、cos.sinsinsincossin，sin，即cos 2.又，2(，2)，sin 2.cos2.(2)解原式.2，.cos 0.原式cos .1已知sin cos ，且(0，)(1)求tan 2的值；(2)求2sin2sin.解(1)由sin cos ，得sin cos ，因为(0，)，所以，所以sin cos ，解得sin ，cos ，故tan ，所以tan 2.(2)2sin2sin1cossin1cos sin sin cos 1cos . 类型2三角函数的图象与性质(1)三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，一般先通过恒等变换将函数表达式变形为yA
3、sin(x)k或yAcos(x)k等形式，然后将x看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧(2)函数yAsin(x)的图象“五点法”作图；图象伸缩、平移变换【例2】已知函数f(x)4sincos x在x处取得最值，其中(0,2)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象若为锐角，且g()，求cos 的值解(1)f(x)4sincos x4cos x2sin xcos x2cos2xsin2xcos 2x2sin.因为f(x)在x处取得最值，k，kZ，即2k，kZ，又(0,2
4、)，.f(x)2sin.函数f(x)的最小正周期T.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y2sin2sin的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y2sin的图象，即g(x)2sin.为锐角，g()2sin，sin.cos.cos coscossin.2(1)已知曲线C1：ycos x，C2：ysin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到
5、原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2(2)已知函数f(x)sinsin xcos2x.求f(x)的最小正周期和最大值；讨论f(x)在上的单调性(1)D因为ysincos2xcos，所以曲线C1：ycos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线ycos 2x，再把得到的曲线ycos 2x向左平移个单位长度，得到曲线ycos 2cos.故选D.(2)解f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此
6、f(x)的最小正周期为，最大值为.当x时，02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增，当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减 类型3三角函数模型的应用如果某种现象的变化具有周期性，那么我们可以根据这一现象的特征和条件利用三角函数知识建立数学模型三角函数模型在解题中务必关注以下两点：(1)自变量的取值范围；(2)数形结合的灵活运用【例3】如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点
7、距离地面超过70 m.解(1)建立如图所示的平面直角坐标系设(02)是以Ox为始边，OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角，OP在t min内转过的角为t，即t.以Ox为始边，OP为终边的角为(t)，即P点纵坐标为40sin(t)，P点距地面的高度为z5040sin(t)，(02)，由题可知，z5040sin5040cost.(2)当5040cost70时，解得，2kt2k，持续时间为min.即在摩天轮转动一圈内，有minP点距离地面超过70 m.3.如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式
8、；(其中t以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量解(1)设种群数量y关于t的解析式为yAsin(t)b(A0，0)，则解得A100，b800.又周期T2(60)12，y100sin800.又当t6时，y900，900100sin800，sin()1，sin 1，取，y100sin800.(2)当t2时，y100sin800750，即当年3月1日动物种群数量约是750.1(2020全国卷)若为第四象限角，则()Acos 20Bcos 20Csin 20Dsin 20D法一：由题意，知2k2k(kZ)，所以4k20，sin 20，故选D.法二：当时，cos 20，sin 21
9、，排除A，B，C，故选D.2(2020全国卷)已知sin sin1，则sin()ABCDBsin sinsin cos sin1，sin，故选B.3(多选)(2020新高考全国卷)如图是函数ysin (x)的部分图象，则sin (x)()AsinBCcosDcosBC由题图可知，函数的最小正周期T2，2.当2时，ysin(2x)，将点代入得，sin0，22k，kZ，即2k，kZ，故ysin.由于ysinsinsin，故选项B正确；ysincoscos，选项C正确；对于选项A，当x时，sin10，错误；对于选项D，当x时，cos11，错误当2时，ysin(2x)，将代入，得sin0，结合函数图象，知22k，kZ，得2k，kZ，ysin，但当x0时，ysin0，与图象不符合，舍去综上，选BC.4(2020江苏高考)将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_x因为函数y3sin的图象向右平移个单位长度可得g(x)f 3sin3sin，则yg(x)的对称轴为2xk，kZ，即x，kZ.当k0时，x，当k1时，x.所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x.5(2020浙江高考)已知tan 2，则cos 2_，tan_.tan 2，则cos 2. tan.
