1、4.7正弦定理、余弦定理及其应用211正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即_其中R是三角形外接圆的半径(2)正弦定理的其他形式：a2RsinA，b_，c_；sinA，sinB_，sinC_；abc_.2余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2_，b2_，c2.若令C90，则c2，即为勾股定理(2)余弦定理的推论：cosA_，cosB_，cosC_.若C为锐角，则cosC0，即a2b2_c2；若C为钝角，则cosC0，即a2b2_c2.故由a2b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角
2、或直角(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角_，余弦定理亦可以写成sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，类似地，sin2B_；sin2C_.注意式中隐含条件ABC.3解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用_定理，只有一解(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用_定理，可能有_如在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数(3)已知三边，用_定理有解时，只有一解(4)已知两边及夹角，用_定理，必有一解4三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S_其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半
3、径(2)ABC，则A_，_，从而sinA_，cosA_，tanA_；sin_，cos_，tan_.tanAtanBtanC_.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b_2sinB_2sincos2coscostantan.(4)在ABC中，abcosCccosB，b_，c_.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)自查自纠1(1)2R(2)2RsinB2RsinCsinAsinBsinC2(1)b2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosCa2b2(2)bcsinB知，C有两解也可依已知条件，画出ABC，由图知有两解故选C. ()设ABC的内角A, B, C所对的
4、边分别为a, b, c, 若bcosCccosBasinA, 则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosCsinCcosBsinAsinA，即sin(BC)sinAsinA，亦即sinAsinAsinA.0A，sinA1，A.ABC为直角三角形故选B. ()在ABC中，a4，b5，c6，则_.解：1.故填1. ()在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，a1，b，则B_.解：由正弦定理得，sinB.ba，BA，B或.故填或. 类型一正弦定理的应用ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知AC90，acb，
5、则C_.解：由acb及正弦定理可得sinAsinCsinB.又由于AC90，B180(AC)，故cosCsinCsinAsinCsin(AC)sin(902C)sin2(45C)sin(45C)2sin(45C)cos(45C)，即cos(45C).又0C90，45C60，C15.故填15.【点拨】利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，这是解此题的关键()在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为()A B. C1 D.解：由正弦定理得12121.故选D.类型二余弦定理的应用在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且.(1)求B的大小；(2)若b，ac4，
6、求ABC的面积解：(1)由余弦定理知，cosB，cosC，将上式代入得，整理得a2c2b2ac.cosB.B为三角形的内角，B.(2)将b，ac4，B代入b2a2c22accosB，得13422ac2accos，解得ac3.SABCacsinB.【点拨】根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A. B84 C1 D.解：由余弦定理得c2a2b22abcosCa2b2ab，代入(ab)2c24中得(ab)
7、2(a2b2ab)4，即3ab4，ab.故选A.类型三正、余弦定理的综合应用()ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcosCcsinB.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sinAsinBcosCsinCsinB.A(BC)，sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.由，和C(0，)得sinBcosB.又B(0，)，B.(2)ABC的面积SacsinBac.由已知及余弦定理得b2a2c22accosB，即4a2c22accos，又a2c22ac，ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.【点拨】(1)化边为角
8、与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值()已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为_解：由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，化简得b2c2a2bc.cosA，A.在ABC中，由余弦定理得4a2b2c22bccosAb2c2bcbc，当且仅当bc时取等号，SABCbcsinA4.故填.类型四判断三角形的形状在三角形ABC中，若tanAtanBa2b2，试判断三角形ABC的形状解
9、法一：由正弦定理，得，所以，所以，即sin2Asin2B.所以2A2B，或2A2B，因此AB或AB，从而ABC是等腰三角形或直角三角形解法二：由正弦定理，得，所以，所以，再由正、余弦定理，得，化简得(a2b2)(c2a2b2)0，即a2b2或c2a2b2.从而ABC是等腰三角形或直角三角形【点拨】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握()若ABC的三个内角满足sinAsinBsinC51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定
10、是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解：由sinAsinBsinC51113及正弦定理得abc51113，又由余弦定理得cosC0，角C为钝角，ABC一定是钝角三角形故选C.类型五解三角形应用举例某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20 n mile的A处，并以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶，经过t h与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到
11、30 n mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile，则S，故当t时，Smin10，此时v30.即小艇以30 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0AC，且对于线段AC上任意点P，有OPOCAC.而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇设COD(090)，则在RtCOD中，CD10tan，OD.由
12、于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t和t，所以.由此可得，v.又v30，故sin(30)，从而，300，故有ab0，即ab.故选A.6()在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC()A. B2 C. D2解：在ABD中，由正弦定理得sinADB，0ADB0，则()Asin20 Bcos0Csin0 Dcos20解：tan0，(kZ)，即是第一、三象限角2(2k，2k)(kZ)，再根据三角函数值在各象限的符号知，sin20.故选A.3()已知角是第二象限角，sin，那么角2为()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解：sin且角为第二象限角，cos，cos2
13、cos2sin2，sin22sincos.角2为第三象限角故选C.4函数ycos2x2sinx的最大值为()A1 B. C. D2解：ycos2x2sinx12sin2x2sinx2，当sinx时，ymax.故选C.5()将函数ysinx的图象向左平移个单位，得到函数yf(x)的图象，则下列说法正确的是()Ayf(x)是奇函数Byf(x)的周期为Cyf(x)的图象关于直线x对称Dyf(x)的图象关于点对称解：将函数ysinx的图象向左平移个单位，得到函数f(x)sincosx，易知其图象关于点对称故选D.6()已知函数f(x)sinxacosx的图象关于直线x对称，则实数a的值为()A B C
14、. D.解：由函数f(x)sinxacosx的图象关于直线x对称，可知fsinacos，可求得a.故选B.7已知sinsin，0，则cos()A B C. D.解：sinsinsincos，sincos.coscoscossinsincossin.故选C.8()如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在0，的图象大致为()解：由题意知，f(x)|cosx|sinx，x0，当x时，f(x)cosxsinxsin2x；当x时，f(x)cosxsinxsin
15、2x.观察各选项，故选C.9()在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，c2，1，则C()A. B.C.或 D.解：11，得cosA，A.又a2，c2，由正弦定理，得sinC，ca，CA，C.故选B.10把函数ycos2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()解：把函数ycos2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得y1cosx1，向左平移1个单位长度得y2cos(x1)1，再向下平移1个单位长度得y3cos(x1)令x0，得y30；令x1，得y30.观察各选项图象知，只
16、有选项A的图象满足要求，故选A.11()已知函数f(x)coscos2x，其中xR，给出下列四个结论：函数f(x)是最小正周期为的奇函数；函数f(x)图象的一条对称轴是直线x；函数f(x)图象的一个对称中心为；函数f(x)的递增区间为，kZ.则正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4解：f(x)coscos2xcos2xcossin2xsincos2xsin，不是奇函数，错；fsin1，正确；fsin0，正确；令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，正确综上知正确结论的个数为3.故选C.12()若tan2tan，则()A1 B2 C3 D4解：3.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
17、，共20分13cos43cos77sin43cos167的值为_解：cos43cos77sin43cos167cos43cos77sin43(sin77)cos120.故填.14()已知角的终边经过点P(3，4)，函数f(x)sin(x)(0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为_解：根据题意，T，3，sin，cos，fsinsin(sincos).故填.15()如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解：设此山高h(m)，则BCh，在A
18、BC中，BAC30，CBA105，BCA45，AB600(m)在ABC中，根据正弦定理得，即，解得h100(m)故填100.16()已知函数f(x)sinx.若存在x1，x2，xm满足0x1x2xm6，且|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x3)|f(xm1)f(xm)|12(m0，mN*)，则m的最小值为_解：f(x)sinx，|f(xm)f(x1)|f(x)maxf(x)min2，因此要使得满足条件|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x3)|f(xm1)f(xm)|12的m最小，可取x10，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x86，即m8.故填8.三、解答题：解答应写出文字说明、证明
19、过程或演算步骤17(10分)()ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinAsinC2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值解：(1)证明：a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sinAsinC2sinB.sinBsin(AC)sin(AC)，sinAsinC2sin(AC)(2)a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cosB，当且仅当ac时等号成立cosB的最小值为.18(12分)()设f(x)sinxcosxcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若
20、f0，a1，求ABC面积的最大值解：(1)由题意知f(x)sin2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.函数f(x)的单调递增区间是 (kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsinA0，得sinA，由题意知A为锐角，cosA.由余弦定理得a2b2c22bccosA，可得1bcb2c22bc，即bc2，当且仅当bc时等号成立SABCbcsinA.ABC面积的最大值为.19(12分)()设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtanA，且B为钝角(1)证明：BA；(2)求sinAsinC的取值范围解：(1)证明：由abtanA及正弦定理，
21、得，sinBcosA，即sinBsin.又B为钝角，故BA，即BA.(2)由(1)知，C(AB)2A0，A，于是sinAsinCsinAsinsinAcos2A2sin2AsinA12.0A，0sinA.因此2.由此可知sinAsinC的取值范围是.20(12分)()已知函数f(x)的图象是由函数g(x)cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)g(x)m在0，2)内有两个不同的解，求实数m的取值范围解：(1)将g(x)cos
22、x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y2cosx的图象，再将y2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y2cos的图象，故f(x)2sinx，从而函数f(x)2sinx图象的对称轴方程为xk(kZ)(2)f(x)g(x)2sinxcosxsin(x)(其中sin，cos)依题意，sin(x)在区间0，2)内有两个不同的解，当且仅当1，故m的取值范围是(，)21(12分)()已知向量a(m，cos2x)，b(sin2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x)的图象过点和点.(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图象，若yg(x)
23、图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间解：(1)由题意知f(x)abmsin2xncos2x.yf(x)的图象过点和， 即解得m，n1.(2)由(1)知f(x)sin2xcos2x2sin，由题意知g(x)f(x)2sin，设yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，由题意知x11，x00，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)，将其代入yg(x)得sin1.0，.因此，g(x)2sin2cos2x.由2k2x2k，kZ得kxk，kZ.函数yg(x)的单调递增区间为，kZ.22(12分)()已知函数f(x)2sinxcosx2sin2x(0)
24、的最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图象，若yg(x)在0，b(b0)上至少含有10个零点，求b的最小值解：(1)f(x)2sinxcosx2sin2xsin2xcos2x2sin，由最小正周期为，得1，故f(x)2sin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函数f(x)的单调递增区间是，kZ.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g(x)2sin2x1的图象令g(x)0，得xk或xk(kZ)，g(x)在0，上恰好有两个零点若yg(x)在0，b上至少含有10个零点，
25、则b不小于第10个零点的横坐标，即b的最小值为4.第五章平面向量与复数1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念了解向量的实际背景理解平面向量的概念和两个向量相等的含义理解向量的几何表示(2)向量的线性运算掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义(3)平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件(4)平面向量的数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(5)向量的应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题2数系的扩充和复数的引入(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件(2)了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义高考资源网（） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！
