1、2.2.4点到直线的距离1点(3,1)到直线y=2x的距离为()A.5B.5C.15D.55解析：直线方程化为2x-y=0,故所求距离d=|23-1|22+(-1)2=55=5.答案：B2已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值是()A.2B.2-2C.2-1D.2+1解析：由点到直线的距离公式,得|a-2+3|2=1,因为|a+1|=2,所以a=2-1.又因为a0,所以a=2-1.答案：C3已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,那么它们之间的距离是()A.4B.21313C.51326D.71326解析：因为两直线平行,所以3m=12,即m=4,
2、6x+my+1=0可化为3x+2y+12=0,由两平行直线间的距离公式得d=12+332+22=71326.答案：D4已知点P(a,b)是第二象限的点,那么它到直线x-y=0的距离是()A.22(a-b)B.b-aC.22(b-a)D.a2+b2解析：因为P(a,b)是第二象限的点,所以a0.所以a-b0.所以点P到直线x-y=0的距离d=|a-b|2=22(b-a).答案：C5若P,Q分别为3x+4y-12=0与3x+4y+3=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.3D.6解析：|PQ|的最小值即两条平行线间的距离,则根据两条平行线间的距离公式得|PQ|=|3+12|32
3、+42=3.答案：C6已知x,y满足3x+4y-10=0,则x2+y2的最小值为()A.2B.4C.0D.1解析：因为x2+y2视为原点到直线上的点P(x,y)的距离的平方,所以x2+y2的最小值为原点到直线3x+4y-10=0的距离的平方.因为d=|-10|32+42=2,所以x2+y2的最小值为4.答案：B7过点M(1,5)和点N(-2,9)分别作两条平行直线,使它们之间的距离等于5,则满足条件的直线共有()A.0组B.1组C.2组D.3组解析：因为|MN|=(-2-1)2+(9-5)2=5,所以满足条件的直线有且仅有1组,它们与线段MN所在的直线垂直.答案：B8已知定点A(0,1),点B
4、在直线x+y=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是.解析：可设B(x,-x),所以d(A,B)=x2+(-x-1)2=2x2+2x+1,又d(A,B)min=|0+1|2=22,这时x=-12,点B的坐标为-12,12.答案：-12,129已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m=.解析：由已知可得|m+4-1|m2+1=3,即|m+3|=3m2+1,解得m=0或m=34.答案：0或3410与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线m的方程为.解析：设所求直线为5x-12y+c=0,则由两平行直线间的距离公式得2=|c-6|52+(-12)2,解得c=
5、32或c=-20.故所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.答案：5x-12y+32=0或5x-12y-20=011已知直线l过直线y=-x+1和y=2x+4的交点,(1)若直线l与直线x-3y+2=0垂直,求直线l的方程;(2)若原点O到直线l的距离为1,求直线l的方程.解(1)由y=-x+1,y=2x+4得交点(-1,2),因为直线x-3y+2=0的斜率是13,直线l与直线x-3y+2=0垂直,所以直线l的斜率为-3,所以所求直线l的方程为y-2=-3(x+1),即3x+y+1=0.(2)如果lx轴,则l的方程为x=-1符合要求.如果l不垂直于x轴,设l的方程为y-
6、2=k(x+1),即kx-y+2+k=0,原点O到直线l的距离|2+k|1+k2=1,解之,得k=-34,此时l:y-2=-34(x+1).综上,直线l的方程为3x+4y-5=0或x=-1.12两条互相平行的直线分别过A(6,2),B(-3,-1)两点,并且各自绕着A,B点旋转(但始终保持平行关系).如果两条平行线间的距离为d.(1)求d的变化范围;(2)求当d取得最大值时两条直线的方程.解(1)根据题意可知,当两平行线均与线段AB垂直时,距离d=|AB|=310最大;当两平行线重合,即都过A,B点时,距离d=0最小.但平行线不能重合,所以0d310.(2)当d=310时,所求的两条直线的斜率
7、相同,且k=-3,所以两条直线的方程分别为3x+y-20=0和3x+y+10=0.13已知点P(2,-1),求:(1)过点P且与原点O距离为2的直线l的方程;(2)过点P且与原点O距离最大的直线l的方程,并求此最大距离.解(1)点P的坐标为(2,-1),由题意知可分两种情况:若直线l的斜率不存在,则其方程为x=2,原点到直线x=2的距离为2,满足题意;若直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知,得|-2k-1|k2+1=2,解得k=34.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)过点P且与
8、原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,故设直线l、直线OP的斜率分别为kl,kOP.由题意知kOP=-12,由lOP,得klkOP=-1,即kl=-1kOP=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线l:2x-y-5=0是过点P且与原点O距离最大的直线,且最大距离为|-5|5=5.14已知在ABC中,A(1,1),B(m,m)(1m4),C(4,2),则当m为何值时,ABC的面积S最大?解A(1,1),C(4,2),|AC|=(4-1)2+(2-1)2=10.又直线AC的方程为x-3y+2=0,根据点到直线的距离公式可得点B(m,m)到直线AC的距离d=|m-3m+2|10,S=12|AC|d=12|m-3m+2|=12m-322-14.1m4,1m2-12m-3212.0m-32214,S=1214-m-322.当m-32=0,即m=94时,S最大.故当m=94时,ABC的面积S最大.
