1、第1讲 选择题的解法技巧 第二篇 掌握技巧，快速解答客观题 内容索引 题型概述 方法一 直接法 方法二 特例法 方法三 排除法 方法四 数形结合法 方法五 构造法 方法六 估算法 选择题突破练 题型概述 选择题考查基础知识、基本技能，侧重于解题的严谨性和快捷性，以“小”“巧”著称解选择题只要结果，不看过程，更能充分体现学生灵活应用知识的能力 解题策略：充分利用题干和选项提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做 方法一 直接法 直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的
2、结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法 例 1(1)(2015课标全国)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x22y21 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点，若MF1 MF2 0，则 y0 的取值范围是()A.33，33B.36，36C.2 23，2 23D.2 33，2 33解析 由题意知 a 2，b1，c 3，F1(3，0)，F2(3，0)，MF1(3x0，y0)，MF2(3x0，y0)MF1 MF2 0，(3x0)(3x0)y200，即 x203y200.点M(x0，y0)在双曲线上，x202y201，即 x202
3、2y20，22y203y200，33 y0 33.故选 A.答案 A(2)在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a 3，A3，cos B 55，则 b 等于()A.8 55B.2 55 C.4 55D.12 55解析 由题意可得，ABC 中，sin B1cos2B2 55，再由正弦定理可得 asin A bsin B，即3sin 3 b2 55，解得 b4 55.C 思维升华 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错 跟踪演练 1(1)数列an的前 n 项
4、和为 Sn，已知 a113，且对任意正整数 m、n，都有 amnaman，若 Sna 恒成立，则实数 a 的最小值为()A.12B.23 C.32D2解析 对任意正整数m、n，都有amnaman，取m1，则有 an1ana1an1an a113，故数列an是以13为首项，以13为公比的等比数列，则 Sn131 13n11312(1 13n)12，由于 Sn0.若f(0)是f(x)的最小值，则 a 的取值范围为()A.1,2 B.1,0 C.1,2 D.0,2 解析 若 a1，则 f(x)x12，x0，x1x1，x0，易知f(1)是f(x)的最小值，排除A，B；若 a0，则 f(x)x2，x0，
5、x1x，x0，易知f(0)是f(x)的最小值，故排除C.D正确.答案 D(2)已知等比数列an满足an0，n1,2,3，且a5a2n522n(n3)，当n1时，log2a1log2a3log2a2n1等于()A.n(2n1)B.(n1)2 C.n2D.(n1)2解析 因为a5a2n522n(n3)，所以令n3，代入得a5a126，再令数列为常数列，得每一项为8，则log2a1log2a3log2a5932.结合选项可知只有C符合要求.C 思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利
6、于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.跟踪演练2(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)等于()A.3B.1C.1D.3解析 f(x)g(x)x3x21，f(x)g(x)x3x21.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x).f(x)g(x)x3x21.f(1)g(1)1111.C(2)已知 O 是锐角ABC 的外接圆圆心，A60，cos Bsin CABcos Csin BAC2mAO，则 m 的值为()A.32B.2
7、C.1 D.12解析 如图，当ABC为正三角形时，ABC60，取D为BC的中点，AO 23AD，则有 13AB 13AC2mAO，13(ABAC)2m23AD，132AD 43mAD，m 32，故选 A.答案 A方法三 排除法 排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案.例3(1)(2015课标全国)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图.以下结论不正确的是()A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国
8、治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 解析 从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.答案 D(2)(2015浙江)函数 f(x)x1x cos x(x 且 x0)的图象可能为()解析 f(x)(x1x
9、)cos x，f(x)f(x)，f(x)为奇函数，排除A，B；当x时，f(x)0，排除C.故选D.答案 D 思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.跟踪演练 3(1)已知 f(x)14x2sin(2x)，则 f(x)的图象是()解析 f(x)14x2sin(2x)14x2cos x，故 f(x)(14x2cos x)12xsin x，记 g(x)f(x)，其定义域为 R，且 g(x)12(x)sin(x)(12xsin x)g(x
10、)，所以g(x)为奇函数，所以排除B，D两项，g(x)12cos x，显然当 x(0，3)时，g(x)0，a2 a1a3，故选项 C 正确；解析 设等差数列an的公差为d，若a1a20，a2a3a1da2d(a1a2)2d，由于d正负不确定，因而a2a3符号不确定，故选项A错；若a1a30，a1a2a1a3d(a1a3)d，由于d正负不确定，因而a1a2符号不确定，故选项B错；若0a10，d0，a20，a30，若a10，则(a2a1)(a2a3)d(d)d20，故选项D错.答案 C 方法四 数形结合法 在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形
11、的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法.例4 设 函 数g(x)x2 2(xR)，f(x)gxx4，xgx，gxx，xgx，则 f(x)的值域是()A.94，0(1，)B.0，)C.94，)D.94，0(2，)f(x)x2x2，x2，x2x2，1x2.解析 由xg(x)得xx22，x2；由xg(x)得xx22，1x2.即 f(x)x12274，x2，x12294，1x2.当1x2 时，94f(x)0.当x2；当x2时，f(x)8.当x(，1)(2，)时，函
12、数的值域为(2，).当 x1,2时，函数的值域为94，0.综上可知，f(x)的值域为94，0(2，).答案 D 思维升华 数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.使用数形结合法解题时一定要准确把握图形、图象的性质，否则会因为错误的图形、图象得到错误的结论.跟踪演练 4 函数 f(x)12|x1|2cos x(2x4)的所有零点之和等于()A.2B.4 C.6 D.8 解析 由 f(x)12|x1|2cos x0，得12|x1|2cos x，令 g(x)12|x1|(2x4)，h(x)2cos x(2x4)，又因为 g(x)12
13、|x1|12x1，1x4，2x1，2xf(x)，则有()A.e2 016f(2 016)e2 016f(0)B.e2 016f(2 016)f(0)，f(2 016)f(0)，f(2 016)e2 016f(0)D.e2 016f(2 016)f(0)，f(2 016)f(x)，并且ex0，所以g(x)f(0)，f2 016e2 016 g(0)，g(2 016)f(0)，f(2 016)0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(，1)(0,1)B.(1,0)(1，)C.(，1)(1,0)D.(0,1)(1，)解析 因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以
14、f(1)f(1)0.则当 x0 时，g(x)fxx xfxfxx20，则g(x)为偶函数，且g(1)g(1)0.故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数.所以在(0，)上，当0 x1时，g(x)g(1)0fxx 0f(x)0；g(x)g(1)0fxx 0f(x)0.在(，0)上，当x1时，综上，得使f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，选A.答案 A(2)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，ACBD，ADBC，给出下列五个命题：四面体ABCD每组对棱相互垂直；四面体ABCD每个面的面积相等；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180
15、；连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.其中正确命题的个数是()A.2B.3 C.4D.5 解析 构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x，y，z.对于，需要满足xyz，才能成立；因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证)，则四面体的同一顶点处对应三个角之和一定恒等于180，故正确，显然不成立；对于，由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断正确；每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，显然成立.故正确命题有.答案 C 由于选择题提供了唯
16、一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次.方法六 估算法 例6(1)已知x1是方程xlg x3的根，x2是方程x10 x3的根，则x1x2等于()A.6B.3C.2D.1解析 因为x1是方程xlg x3的根，所以2x13，x2是方程x10 x3的根，所以0 x21，所以2x1x24.B(2)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是边长为 3 的正方形，EFAB，EF32，EF与平面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为()A.92B
17、.5 C.6 D.152解析 该多面体的体积比较难求，可连接BE、CE，而 VEABCD13Sh13926，问题转化为四棱锥EABCD与三棱锥EBCF的体积之和，所以只能选D.答案 D 思维升华 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项.跟踪演练6(1)设alog23，则()A.bacB.cab C.cbaD.acalog231，2，1，所以ca，x1，x2，x3，x4，x5是方程 f(x)m 的五个不等的实数根，则 x1x2x3x4x5的取值范
18、围是()A.(0，)B.(，)C.(lg，1)D.(，10)12345678910 11 12 1314 15 16解析 函数f(x)的图象如图所示，结合图象可得x1x2，x3x4，若f(x)m有5个不等的实数根，需lg lg x51，得x510，12345678910 11 12 1314 15 16又由函数f(x)在，上对称，所以x1x2x3x40，故x1x2x3x4x5的取值范围为(，10).答案 D 12345678910 11 12 1314 15 16A.31B.21C.41D.316.如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P、Q满足A1PBQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分
19、成两部分，则其体积之比为()解析 将P、Q置于特殊位置：PA1，QB，此时仍满足条件A1PBQ(0)，则有 故选B.1 1 111,3ABC A B CCAA BAABCVVVB12345678910 11 12 1314 15 167.(2015湖北)设xR，x表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得t1，t22，tnn同时成立，则正整数n的最大值是()A.3B.4C.5D.6 解析 t1，则1t2；t22，则2t23tnn，则ntnn1.要使得上述式子同时成立，等价于上述不等式有交集.12345678910 11 12 1314 15 16t1，则1t2.t22，则2t23.明显不等式组
20、有交集，故存在t使得t1与t22同时成立；t33，则3t34.则.113334t 因为，则存在使得同时成立；111133222343113334t 12345678910 11 12 1314 15 16t44，则4t45，则.114445t 同理，可以求得存在使得同时成立；113435t t55，则5t56.则.115556t 因为，故与交集为空集.115363115556t 113435t 所以n的最大值是4.故选B.答案 B 12345678910 11 12 1314 15 168.函数yxcos xsin x的图象大致为()解析 函数yxcos xsin x为奇函数，排除B，取 x2
21、，排除 C；取x，排除A，故选D.D12345678910 11 12 1314 15 169.等差数列an的前n项和为Sn，若a10，且S2 0150，则当Sn取得最小值时，n的取值为()A.1 009B.1 008 C.1 007或1 008D.1 008或1 009 解析 等差数列中，Sn的表达式为n的二次函数，且常数项为0，故函数Sn的图象过原点，又a10，且存在n2 015使得Sn0，12345678910 11 12 1314 15 16可知公差 d0，Sn 图象开口向上，对称轴 n2 0152，于是当n1 007或n1 008时，Sn取得最小值，选C.答案 C 123456789
22、10 11 12 1314 15 1610.已知四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB平面ABC，ABAC，且AC1，PBAB2，则球O的表面积为()A.7B.8C.9D.10解析 依题意，记题中的球的半径是R，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2,1,2，于是有(2R)21222229,4R29，所以球O的表面积为9.C12345678910 11 12 1314 15 1611.若 a20.5，blog3，clog222，则有()A.abcB.bac C.cabD.bca 解析 32，log32loglog312，即12b1，而 a20.5 21，cl
23、og222 12，abc.A12345678910 11 12 1314 15 1612.若圆x2y2r2(r0)上恰好有相异两点到直线4x3y250的距离等于1，则r的取值范围是()A.4,6B.4,6)C.(4,6D.(4,6)解析 考查选项可知，本题选择的关键是r能否等于4或6，故可逐一检验，由于圆心到直线4x3y250的距离为5，则r4或6时均不符合题意，故选D.D12345678910 11 12 1314 15 1613.已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：若，m，则m；若m，n，且mn，则；若m，m，；若m，n，且mn，则.其中正确命题的序号是()A.B
24、.C.D.12345678910 11 12 1314 15 16解析 当，m时，有m，m，m等多种可能情况，所以不正确；当m，n，且mn时，或，相交，所以不正确，故选C.答案 C 12345678910 11 12 1314 15 16A.172B.5C.2 2D.9214.已知点P是抛物线x24y上的一个动点，则点P到点M(2,0)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值为()解析 抛物线x24y的焦点为F(0,1)，作图如下，12345678910 11 12 1314 15 16抛物线x24y的准线方程为y1，设点P到该抛物线准线的距离为d，由抛物线的定义可知，d|PF|，|PM|d
25、|PM|PF|FM|(当且仅当F、P、M三点共线时(P在F，M中间)时取等号)，点P到点M(2,0)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为|FM|，12345678910 11 12 1314 15 16|FM|5，故选 B.F(0,1)，M(2,0)，FOM为直角三角形，答案 B 12345678910 11 12 1314 15 1615.设a、b为两个非零的平面向量，下列说法正确的是()若ab0，则有|ab|ab|；|ab|a|b|；若存在实数，使得ab，则|ab|a|b|；若|ab|a|b|，则存在实数，使得ab.A.B.C.D.12345678910 11 12 1314 1
26、5 16解析 若ab0ab|ab|ab|.故正确，排除C，D；若存在实数，使得ab，等价于ab，即a与b方向相同或相反，而|ab|a|b|表示a与b方向相同，故错，则选B.答案 B 12345678910 11 12 1314 15 1616.已知函数f(x)1|2x1|，x0,1.定义：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，fn(x)f(fn1(x)，n2,3,4，满足fn(x)x的点x0,1称为f(x)的n阶不动点，则f(x)的n阶不动点的个数是()A.2nB.2n2C.2(2n1)D.2n 12345678910 11 12 1314 15 16解析 函数 f(x)1|2x1|2
27、x，0 x12，22x，12x1，当 x0，12时，f1(x)2xxx0，当 x(12，1时，f1(x)22xxx23，f1(x)的1阶不动点的个数为2，12345678910 11 12 1314 15 16当 x0，14时，f1(x)2x，f2(x)4xxx0，当 x(14，12时，f1(x)2x，f2(x)24xxx25，当 x(12，34时，f1(x)22x，f2(x)4x2xx23，12345678910 11 12 1314 15 16当 x(34，1时，f1(x)22x，f2(x)44xxx45，f2(x)的2阶不动点的个数为22，以此类推，f(x)的n阶不动点的个数是2n.答案 D12345678910 11 12 1314 15 16本节提示 选择题解法：直接法，特例法，排除法，数形结合法，构造法，估算法.谢谢观看
