1、基础诊断考点突破课堂总结第8讲 函数与方程、函数的应用 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.函数的零点(1)函数零点的概念 函数yf(x)的图像与横轴的交点的_称为这个函数的零点.(2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的
2、图象与_有交点函数yf(x)有_.x轴零点横坐标(3)零点存在性定理 若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反即f(a)f(b)0)的图像与零点的关系 b24ac 0 0 0)的图像 与x轴的交点 _ _ 无交点 零点个数 2 1 0(x1，0)，(x2，0)(x1，0)基础诊断考点突破课堂总结3.常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y_.(2)反比例函数模型：y_(k0).(3)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c 为常数，a0).(4)指数函数模型：yabxc(b0，b1，a0).(5)对数函数模型：ymlogaxn(a0，a1，m0).kxk
3、xb(k0)基础诊断考点突破课堂总结4.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性 单调_ 单调_ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x的增大逐渐表现为与_平行 随x的增大逐渐表现为与_平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax 递增递增y轴x轴基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)函数f(x)lg x的零点是(1，0).()(2)图像连续的函数yf(x)(xD)在区间(a，b)D内有零点，则f(
4、a)f(b)0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x).()基础诊断考点突破课堂总结解析(1)f(x)lg x的零点是1，故(1)错.(2)f(a)f(b)0是连续函数yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破课堂总结2.(教材改编)函数f(x)ex3x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3 解析 由已知得 f(x)ex30，所以 f(x)在 R 上单调递增
5、，又 f(1)1e30，因此函数 f(x)有且只有一个零点.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结3.(2015安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.ycos xB.ysin x C.yln xD.yx21 解析 由函数是偶函数，排除选项B、C，又选项D中函数没有零点，排除D，ycos x为偶函数且有零点.答案 A 基础诊断考点突破课堂总结4.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A.100只B.200只 C.300只 D.400只 解析 由题意知100alog3(21)，a100，y100log3(x
6、1)，当x8时，y100log39200.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结5.函数 f(x)ax12a 在区间(1，1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是_.解析 因为函数 f(x)ax12a 在区间(1，1)上是单调函数，所以若 f(x)在区间(1，1)上存在一个零点，则满足f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，解得13a1.答案 13，1基础诊断考点突破课堂总结考点一 函数零点所在区间的判断【例1】(1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B.(，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c
7、，)内D.(，a)和(c，)内(2)设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)基础诊断考点突破课堂总结解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.(2)法一 函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图像交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：基础诊断考点突破课堂总结可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).法二
8、 易知f(x)ln xx2在(0，)上为增函数，且f(1)1210.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点.答案(1)A(2)B 基础诊断考点突破课堂总结规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图像是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】已知函数 f(x)ln x12x2的零点为 x0，则 x0所在的区间是()A.(0，1)B.(1，
9、2)C.(2，3)D.(3，4)解析 f(x)ln x12x2在(0，)上是增函数，又 f(1)ln 1121ln 120，f(2)ln 2120ln 210.故 f(x)的零点 x0(2，3).答案 C 基础诊断考点突破课堂总结考点二 函数零点个数的判断【例 2】(1)函数 f(x)x22，x0，2x6ln x，x0的零点个数是_.(2)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.4基础诊断考点突破课堂总结解析(1)当 x0 时，令 x220，解得 x 2(正根舍).所以在(，0上有一个零点.当 x0 时，f(x)21x0 恒成立，所以 f(x)在(0
10、，)上是增函数.又因为 f(2)2ln 20，所以 f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数 f(x)的零点个数为 2.基础诊断考点突破课堂总结(2)令 f(x)2x|log0，5x|10，得|log0.5x|12x.设 g(x)|log0.5x|，h(x)12x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图像(如图).由图像知，两函数的图像有两个交点，因此函数f(x)有 2 个零点.答案(1)2(2)B 基础诊断考点突破课堂总结规律方法 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a
11、)f(b)0，再结合函数的图像与性质确定函数零点个数；(3)利用图像交点个数，作出两函数图像，观察其交点个数即得零点个数.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(2015湖北卷)f(x)2sin xsinx2 x2 的零点个数为_.解析 f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，则函数的零点即为函数ysin 2x与函数yx2图像的交点，如图所示，两图像有2个交点，则函数有2个零点.答案 2 基础诊断考点突破课堂总结考点三 函数零点的应用【例3】(2017昆明调研)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上f(x)x，若关于x的方程f(x)logax有三个不同
12、的实根，求a的取值范围.解 由f(x4)f(x)知，函数的周期T4.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(4x)，因此函数yf(x)的图像关于x2对称.基础诊断考点突破课堂总结又 f(2)f(6)f(10)2.要使方程 f(x)logax 有三个不同的实根.由函数的图像(如图)，必须有f（6）2，a1.即loga62，a1.解之得 6a0(aR)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是()A.(，1)B.(，0)C.(1，0)D.1，0)(2)(2016山东卷)已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)
13、b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)当 x0 时，f(x)3x1 有一个零点 x13.因此当 x0 时，f(x)exa0 只有一个实根，aex(x0)，则1am时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.答案(1)D(2)(3，)基础诊断考点突破课堂总结考点四 构建函数模型解决实际问题(易错警示)【例4】(1)(2016四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金
14、开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 基础诊断考点突破课堂总结(2)(2017河南省实验中学期中)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.求k的值及f(
15、x)的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.基础诊断考点突破课堂总结(1)解析 设 2015 年后的第 n 年该公司投入的研发资金为 y 万元，则 y130(112%)n.依题意 130(112%)n200，得 1.12n2013.两边取对数，得 nlg1.12lg 2lg 1.3 nlg 2lg 1.3lg 1.120.300.110.05195，n4，从 2019 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结(2)解 当 x0 时，C8，k40，C(x)403x5(0 x10)，f(x)6x20403x5 6x 8003x5
16、(0 x10).由得 f(x)2(3x5)8003x510.令 3x5t，t5，35，基础诊断考点突破课堂总结则 y2t800t 10，y2800t2，当 5t20 时，y0，y2t800t 10 为减函数；当 200，y2t800t 10 为增函数.函数 y2t800t 10 在 t20 时取得最小值，此时 x5，因此 f(x)的最小值为 70.隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为70 万元.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.构建分段函数模型，应用分段函数分段
17、求解的方法.构建 f(x)xax(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.(2)解函数应用题的程序是：审题；建模；解模；还原.易错警示 求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.基础诊断考点突破课堂总结【训练4】(1)(2017成都调研)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.(2)某旅游景点预计 2017 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)
18、12x(x1)(392x)(xN*，且 x12).已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位：元)与 x 的近似关系是 q(x)=352x（xN*，且1x6），160 x （xN*，且7x12）.基础诊断考点突破课堂总结写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；试问2017年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？(1)解析 由已知条件，得 192eb 又 48e22kbeb(e11k)2e11k4819212141212，设该食品在 33 的保鲜时间是 t 小时，则 te33kb192 e33k192(e11k)319212324.答案 24 基
19、础诊断考点突破课堂总结(2)解 当 x1 时，f(1)p(1)37，当 2x12，且 xN*时，f(x)p(x)p(x1)12x(x1)(392x)12(x1)x(412x)3x240 x，验证 x1也满足此式，所以 f(x)3x240 x(xN*，且 1x12).第 x 个月旅游消费总额为g(x)（3x240 x）（352x）（xN*，且1x6），（3x240 x）160 x （xN*，且7x12），即 g(x)6x3185x21 400 x（xN*，且1x6），480 x6 400 （xN*，且7x12）.基础诊断考点突破课堂总结()当 1x6，且 xN*时，g(x)18x2370 x1
20、400，令 g(x)0，解得 x5 或 x1409(舍去).当 1x0，当 5x6 时，g(x)0，当 x5 时，g(x)maxg(5)3 125(万元).()当 7x12，且 xN*时，g(x)480 x6 400 是减函数，当 x7 时，g(x)maxg(7)3 040(万元).综上，2017 年 5 月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为 3 125 万元.基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.转化思想在函数零点问题中的应用 方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)
21、根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数yf(x)g(x)的零点个数转化为函数yf(x)与yg(x)图象公共点的个数来判断.基础诊断考点突破课堂总结3.求解函数应用问题的步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.函数的零点不是点，是方程f(x)0的实根.2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.基础诊断考点突破课堂总结3.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.并根据实际问题，合理确定函数的定义域.4.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.