1、1.4 全称量词与 存在量词 1.4.1 全称量词 3x,3;xR x思考?下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)与(4)之间有什么关系?(1);(2)2x+1是整数;(3)对所有的(4)对任意一个2x+1是整数.,xZ 短语”对所有的”对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,常见的全称量词还有:“所有的”,“任意一个”,“对一切”,“对每一个”,“任给”,“凡”等.短语“对所有的”对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.1,212nn例如：）对任意是奇数。）所有的正方形都是矩形。符号全称
2、命题“对M中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为读作”对任意x属于M,有p(x)成立”.,()xM p x 通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。例 1 判断下列全称命题的真假.（1）所有的素数都是奇数；（2）；（3）对每一个无理数 x，x2 也是无理数；（4）每个指数函数都是单调函数.11,2xMx 要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。1.4.2 存在量词 思考：下列语句是命题吗？与，与之间有什么关系？2x+1=3；x
3、能被 2 和 3 整除；存在一个 x0R，使 2x0+1=3；至少有一个 x0Z，x0能被 2 和 3 整除.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”，这些词语都是表示整体的一部分的词通常叫做存在量词。用符号“”表示常用的存在量词还有：“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”,“某些”，“有的”等.含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）12例如：）有一个素数不是奇数。）有的平行四边形是菱形。特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为读做“存在一个x0,使p(x0)成立”.x0M,p(x0)假假真真假是向量b,1将“x2y22xy”改写成全称命题，
4、下列说法正确的是()Ax，yR，都有x2y22xy Bx0，y0R，使xy2x0y0 Cx0，y0，都有x2y22xy Dx00，y03 对任意一个xZ,2x21为奇数 A0 B1 C2D3 3下列命题，是全称命题的是_；是特称命题的是_ 正方形的四条边相等；有两个角是45的三角形是等腰直角三角形；正数的平方根不等于0；至少有一个正整数是偶数 解析：是全称命题，是特称命题 答案：4指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)当a1时，则对任意x，曲线yax与曲线ylogax有交点(2)xR，使得x2x10.(3)被5整除的整数的末位数字都是0.(4)有的四边形没有外接圆
5、对于(4)，只有对角互补的四边形才有外接圆，(4)是真命题.解析：(1)、(3)是全称命题，(2)、(4)是特称命题，对(1)当 a1 时，yax 与 ylogax 都是增函数且两函数是互为反函数；图象关于直线 yx 对称故没有交点(1)是假命题对于(2)，x2x1x1223434恒成立，(2)是假命题对于(3)，末位数字是 5 的整数也能被 5 整除(3)是假命题将下列命题用量词符号“”或“”表示，并判断真假(1)实数的平方是非负数；(2)整数中1最小；(3)方程ax22x10(a0；(5)若直线l垂直于平面内任一直线，则l.解题过程题号符号表示真假判断(1)xR，x20真(2)xZ，x1假
6、(3)x0，有ax22x10(a0真(5)若a，la，则l真2.(1)用“量词”表述下列命题，并判断真假：存在实数对(x，y)，使 2x3y20 成立；有些三角形不是等腰三角形；至少有一个实数使不等式 x23x60 成立；对所有正实数 t，t为正且 tt.(2)用文字语言表述下列命题：xR，x20；R，sin cos.a.存在角R，使sin cos 成立；b至少有一个角，使sin cos 成立；c对于有些角，满足sin cos.解析：(1)xR，yR,2x3y20.真命题；x三角形，x 不是等腰三角形，真命题；xR，x23x60 且 tt.假命题(2)a.对任意实数 x，都有 x20；b对所有
7、实数 x，都有 x20；c对每一个实数 x，都有 x20.4判断下列命题的真假：(1)xR，sin xcos x 2.(2)x3,5,7,3x1 是偶数；(3)x0Q，x203；(4)x0R，x20 x010.解析：(1)sin xcos x 2sinxx4 2恒成立，对任意的实数 x，sin xcos x 2都成立，故该命题是真命题(2)因为对集合3,5,7中的每一个值，都有 3x1 是偶数，所以“x3,5,7,3x1 是偶数”是真命题(3)由于使 x23 成立的实数只有 3，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于 3，所以“x0Q，x203”是假命题(4)因为对于x2x1
8、0，0，所以方程x2x10无实数根，所以“x0R，xx010”是假命题 要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。练 习：2sin1sin),2,0(.D21,.C0)1(,.B.A12xxxxxRxxRx所有的素数是奇数）命题是：（）下列全称命题中，真（是有理数是无理数于同一直线存在两个相交平面垂直整除和能被，至少有一个）命题是：（）下列特称命题中，假（22,.D.C32.B032,.A2xxxxZxxxRx6、全称命题与特称命题的否定特称命题：q:xA,q(x),它的否定是：q:
9、xA,q(x).全称命题：p:xA,p(x),它的否定是：p:xA,p(x).全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.(4)xR,x0;例3.写出下列命题的否定(1)所有能被3整除的数都是奇数;(2)(3)有的三角形是等边三角形;(4)(5)奇函数的图象关于原点对称.xR，x2+11;xR，x0;解:(1)有些能被3整除的数不是奇数;(2)xR,x2+11;(3)所有的三角形都不是等边三角形;(5)存在一个奇函数的图象不关于原点对称.例2.写出下列命题的非，并判断其真假：（1）p:xR,x2x+0；14（2）q:所有的正方形都是矩形；（3）r:xR,x2+2x+20;（4）s:至少有一个实数x，使x3+1=0解：(1)p:xR,x2x+0;(真)解：s:xR，x3+10.(假)
