1、北京市首都师范大学第二附属中学2021届高三数学下学期开学考试试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. 复数(为虚数单位)的虚部是（ ）A. B. C. 1D. 1【答案】C【解析】【分析】先对化简，然后再求其虚部【详解】解：，所以其虚部为1，故选：C2. 已知，下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项，对于A，构造函数，由指数函数的性质分析即可；对于B，构造函数，利用幂函数的性质分析即可；对于C，D作差分析【详解】解：对于A，构造函数，由于，则函数在上为减函数，又由于，则有，所以A错误；对于B，构造函数，由
2、于，则函数在上为增函数，又由于，则，所以B错误；对于C，由于，所以，所以，所以，所以C错误；对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确，故选：D【点睛】此题考查不等式比较大小，考查不等式性质的应用，属于基础题3. 已知平面=l，m是内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（ ）A. 若m，则mlB. 若ml，则mC. 若m，则mlD. 若ml，则m【答案】D【解析】【分析】A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断.【详解】A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
3、B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；故选：D.【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.4. 已知函数，则“函数的图象经过点（，1）”是“函数的图象经过点（）”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由的图象经过点求出；再由的图象经过点求出，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结
4、果.【详解】函数的图象经过点（，1）时，有，所以，因为所以，函数为：，当时，所以，充分性成立；当函数的图象经过点（）时，所以，即,，当时，不一定等于1，所以，必要性不成立故选A【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.5. 向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用表示出，进而可得出.【详解】由题中所给图像可得：，又 ，所以.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.6. 一个空间几何体的三视图如图所示，
5、则该几何体的体积为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可知该几何体是底面为等腰三角形，且等腰三角形有底为2，高为2，几何体的高为2，从而可求出几何体的体积【详解】解：由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，且平面，边上的高为2，所以，故选：D7. 等差数列的前项和某三角形三边分别为，则该三角形最大角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据公式化简得到，得到，再计算三边为，利用余弦定理计算得到答案.【详解】，；当时，等差数列，故，故 三边长为： 利用余弦定理得到最大角满足： 故选【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，前N项和，余弦定理，意在考
6、查学生对于知识的综合应用.8. 如图正方体的棱长为1，线段上有两个动点且，则下列结论错误的是（ ）A. 与所成角为B. 三棱锥的体积为定值C. 平面D. 二面角是定值【答案】A【解析】【分析】利用线面平行和线面垂直的判定定理和棱锥的体积公式以及二面角的定义对选项进行逐个判断即可得到答案.【详解】选项A，ACBD，ACBB1，且BD AC面DD1B1B，即得ACBE，此命题错误；选项B, 由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故三棱锥ABEF的体积为定值，此命题正确；选项C，由正方体ABCDA1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上且EF与平面AB
7、CD无公共点，故EF平面ABCD，此命题正确；选项D，由于E、F为线段B1D1上有两个动点，故二面角AEFB的平面角大小始终是二面角AB1D1B的平面角大小，为定值，故正确；故选A.【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的判定定理的应用，考查棱锥体积公式以及二面角定义的应用，属于基础题.9. 双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：，焦点为，即，即，则，即，考点：抛物线的标准方程及几何性质10. 曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，给出
8、下列三个结论：曲线关于轴对称； 若点在曲线上，则；若点在曲线上，则.其中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】由题得曲线的轨迹方程为：，再依次讨论即可.【详解】点在曲线上，则有，化简得：对于，将换为，表达式不变，故正确对于， ，故正确对于， ， ，故正确故选：D【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，利用方程研究曲线的性质，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件得曲线上的点满足，再分类讨论得曲线的方程，进而求解.二、填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分.11. 展开式中的常数项为_（用数字作答）【答案】15【解析】【详解】由题得展
9、开式的通项为，令6-2r=0,所以r=3.所以展开式的常数项为,故填15.12. 在等比数列中，且，则的值为_.【答案】5【解析】【分析】设等比数列的公比为q，结合条件建立关于q的方程，求出和即可【详解】设等比数列的公比为q，则有解得或，所以或故=5【点睛】本题考查等比数列的通项公式及基本量的计算，属于基础题，较简单13. 函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则=_；=_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】观察函数图像可得，由函数最值求A，由图象经过点（0，1）可求=，由，代入解析式可求=【详解】由图可知A=2，根据f（x）的图象经过点（0，1），得2s
10、in=1，sin=，|，=由五点作图法的过程可得+（）=（），由图可得，=，故答案为 【点睛】由图像求函数f（x）=Asin（x+）的解析式通常从以下几点解决：由函数的最大（最小）值确定A；对称轴与对称轴之间的距离或对称轴与零点之间的距离或零点与零点之间的距离确定函数周期，再由周期确定，由图像与坐标轴交点，或某特殊点求，灵活应用图像，关注图像的对称性，一定可以找到问题的突破口14. 已知函数给出下列结论：在上有最小值，无最大值；设则为偶函数；在上有两个零点.其中正确结论的序号为_.（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】【分析】对函数进行求导，由导函数与函数的单调性，最值关系判断；利用函数奇
11、偶性的定义判断；画出和在区间上的图像，结合函数零点与函数图像的交点的转换可判断.【详解】，由于，所以，所以在上递减，所以在上有最小值，无最大值，故正确.，依题意，由于，所以不是偶函数，故错误.，令得，画出和在区间上的图像如下图所示，由图可知和在区间上的图像有两个交点，则在上有两个零点，故正确.故答案为：.【点睛】本题主要考查了应用导数判断函数的单调性，函数的最值，考查函数零点的判断以及奇偶性，考查数形结合的思想.属于中档题.15. 定义：函数在区间上的最大值与最小值的差为在区间上的极差，记作.若，则_； 若，且，则实数的取值范围是_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】（1）根据
12、二次函数在区间上的单调性，直接计算极差；（2）对进行分类，再考虑的单调区间满足什么条件时，能使得条件成立.【详解】由题意知，所以，所以.当时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，要满足，只需，所以当时，函数在区间上单调递增，不满足.综上所述，.填.【点睛】本题属于新定义问题，难度中等，中间涉及到的对勾函数的单调区间需要注意.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）的值；（）的面积.条件：；条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（I）答案见解析；（）答案见解析.
13、【解析】【分析】（1）选择条件，化简，得，从而算得.由余弦定理算得，运用面积公式可算出的面积.（2）选择条件，化简得，从而算得.由余弦定理算得，运用面积公式可算出的面积.【详解】选择条件：（）因为，所以， 因为，所以. 所以. 所以. （）由余弦定理，得，所以.解得或（舍负）.所以. 所以的面积. 选择条件：（）因为，所以， 解得或.因为，所以. 所以. （）由余弦定理， 得，所以， 解得或（舍负）.所以. 所以的面积.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式
14、变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围17. 智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下：序号智能体温计测温（）水银体温计测温（）序号智能体温计测温（）水银体银计测温（）0136.636.61136.336.20236.636.51236.736.70336.536.71336.
15、236.20436.536.51435.435.40536.536.41535.235.30636.436.41635.635.60736.236.21737.237.00836.336.41836.836.80936.536.51936.636.61036.336.42036.736.7（）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；（）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望；（）医学上通常认为，人的体温在不低于且不高于时处于“低热”状态.该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是，能否由上表中
16、的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由.【答案】（I）；（）分布列见解析，；（）答案见解析.【解析】【分析】（）根据题意找出用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号，用其个数除以总个数；（）由题意可得，且，根据二项分布公式计算其概率并列出其分布列即可；（）根据表格找出高于其真实体温的序号为，共计4种情况由此估计用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为，计算其概率，根据概率分析.【详解】（）表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是，共有12种情况. 由此估计所求概率. （）随机变量X的所有可能取值为.由（）可知，用智能体温计测量该社区1人“测
17、温准确”的概率为.所以； ； ；所以X的分布列为X0123P故X数学期望. （）设这3人中至少有1人处于“低热”状态为事件.表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为，共计4种情况，由此估计从社区任意抽査1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为.由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为. 结论1：因为，接近于1，由此可以认定这3人中至少有1人处于“低热”状态.结论2：因为，所以有可能这3人都不处于“低热”状态.【点睛】独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略：（1）在求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率时，首先要确定好和的值，再准确利用
18、公式求概率；（2）在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数和变量的概率，求得概率.18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，且（）若点为上一点且，证明：平面；（）求二面角的大小；（）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的长；若不存在，说明理由【答案】（）见解析；（）；（）存在，且.【解析】【分析】（）过点作，交于，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（）求二面角，由于图中已知两两垂直，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小；（）假设存在
19、点，设，由求得即可【详解】（）过点作，交于，连接，因为，所以又，所以所以为平行四边形, 所以又平面，平面，所以平面（）因为梯形中，所以因为平面，所以,如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,所以设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,因为所以，即，取得到，因为，所以，即，令得，所以,因为二面角为锐角，所以二面角为；（）假设存在点，设，其中，所以，所以，解得，所以存在点，且【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若
20、半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.19. 已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；（3）求线段MN的长度的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用直线x2y+2=0经过椭圆C：=1（ab0）的左顶点A和上顶点D，求出A，D的坐标，即可求椭圆C的方程；（2）设点S的坐标为（x0，y0），可得=，利用点S在椭圆上，即可证明k1
21、k2为定值；（3）设直线AS的方程为y=k1（x+2），可得M的坐标，利用，可得直线BS的方程，从而可得N的坐标，求出MN，利用基本不等式，即可求线段MN的长度的最小值【详解】（1）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为 （2）设 （3）（常规方法，函数思想）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而 由得0设则得，从而即又由得 故又当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题20. 已知函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若，讨论函数的单调性； （）当时，恒成立，求取
22、值范围.【答案】（）；（）答案见解析；（）.【解析】【分析】（）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程；（）由题意得，讨论根据判定其单调区间；（）法一：由题意得，讨论根据单调性判定是否成立即可得出答案；法二：原命题等价于在上恒成立，用参变分离法求出函数最值.【详解】（）当时， ， 所以切线方程为：，即：； （）由题，可得 由于，的解为， （1）当，即时，则在上单调递增； （2）当，即时，在区间上，在区间上，所以的单调增区间为；单调减区间为. (3)当，即时，在区间 上，在区间上，则在上单调递增，上单调递减. （）解法一：（1）当时，因为，所以，所以，则在上单调递增，成立 （2
23、）当时，所以在上单调递增，所以成立. （3）当时，在区间上，；在区间，所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意. 综上所述，取值范围是. 解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.即在上恒成立. 当时，所以. 当时， ，所以恒成立.设，则因为，所以，所以在区间上单调递增.所以，所以. 综上所述，的取值范围是.【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象
24、，利用数形结合的方法求解.21. 若或，则称为和的一个位排列，对于，将排列记为，将排列记为，依此类推，直至，对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数，叫做和的相关值，记作，例如，则，若，则称为最佳排列（）写出所有的最佳排列（）证明：不存在最佳排列（）若某个（是正整数）为最佳排列，求排列中的个数【答案】详见解析【解析】【详解】试题分析：（）根据最佳排列的定义可得，最佳排列为、；（）由，可得，之中有个，个，而经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在，使得；（）与每个人有个对应位置数码相同，有个对应位置数码不同，设， ，中有个，个，则，可得，解得或，从而得出结论.试题解析：（）最佳排列为、（）设，则，因为，所以，之中有个，个，按的顺序研究数码变化，有上述分析可知由次数码不发生改变，有次数码发生了改变，但是经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在，使得，从而不存在最佳排列（）由或，得，以上各式求和得，另一方面，还可以这样求和：设， ，中有个，个，则，所以，得或，所以排列中的个数是或个
