1、北京市首师大附中2021届高三数学上学期开学试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1. 复数i（3+i）（ ）A. 1+3iB. 1+3iC. 13iD. 13i【答案】B【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可.【详解】i（3+i）3i+i21+3i.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.2. 函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正切三角函数周期公式求解即可【详解】由题意得，利用函数的最小正周期为，得出结论.解：函数的最小正周期为，故选：C.3. 已知向量，若与共线，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【
2、解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，即可得；由向量模的计算公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，向量，若与共线，则有，则；则；故选：B.4. 在二项式（12x）5的展开式中，x3的系数为（ ）A. 40B. 40C. 80D. 80【答案】D【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中的x3系数.【详解】因为（12x）5展开式的通项公式为（2x）r，令r3，所以x3系数为（2）380，故选：D.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.5. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单
3、调递减的是（ ）A. yx2B. y|lnx|C. y2xD. yxsinx【答案】A【解析】【分析】根据基本函数的性质，分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】A.f（x）是偶函数，且在（0，+）上是减函数，满足条件.B.函数的定义域为（0，+），函数为非奇非偶函数，不满足条件.C.函数为非奇非偶函数，不满足条件.D.f（x）xsin（x）xsinxf（x），f（x）为偶函数，在（0，+）不具备单调性，不满足条件.故选：A.【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键.属于基础题.6. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果
4、在区间上单调递减，那么实数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.【详解】将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，则，设，则当时，即，要使在区间上单调递减，则得，得，即实数的最大值为，故选：B.【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.7. 设点，不共线，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.【详解
5、】由于点，不共线，则“”；故“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.8. 有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A. 8B. 7C. 6D. 4【答案】A【解析】【分析】则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体
6、的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8，则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，从下往上第五层正方体的棱长为：，从下往上第六层正方体的棱长为：，从下往上第七层正方体的棱长为：，从下往上第八层正方体的棱长为：，改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选：A.【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.9. 某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 0【答案】C【解析】【分析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三
7、角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中，为直角三角形.该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.10. 在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由得，分别算出和的值，从而得到的值.【详解】，当时，当时，故选：D.【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.二、填空题（共5题，每题5分，共25分）11. 已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为_；准线方程为_.【答案】 (1). (2). ；【解析】【分析】计算双曲线的右顶点
8、坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步可得准线方程.【详解】由题可知：双曲线的右顶点坐标为所以可知抛物线的焦点坐标为，准线方程为故答案为：；【点睛】本题主要考查抛物线方程的应用，审清题意，注意细节，属基础题.12. 的展开式中的系数是_.【答案】；【解析】【分析】根据二项式定理的通项公式，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：的通项公式为，令所以的系数是故答案为：【点睛】本题考查二项式中指定项的系数，掌握公式，细心计算，属基础题.13. 在中，为的中点，则_.【答案】；【解析】【分析】计算，然后将用表示，最后利用数量积公式可得结果.【详解】由，所以又为的中点，所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量
9、的数量积运算，给出已知的线段与相应的夹角，通常可以使用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.14. 已知两点，若直线上存在点满足，则实数满足的取值范围是_【答案】【解析】【分析】问题转化为求直线与圆有公共点时，的取值范围，利用数形结合思想能求出结果【详解】解：直线，点，直线上存在点满足，的轨迹方程是如图，直线与圆有公共点，圆心到直线的距离：，解得实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题15. 集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为_
10、的值可以为2；的值可以为；的值可以为；【答案】【解析】【分析】根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算：，得到，得到答案.【详解】如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，集合：，故，即或，集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合，故所在的直线的倾斜角为，故：，解得，此时，此时.故答案为：.【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）16. 已知，满足，_，判断的面积是否成立？说明理由.从；这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答.注：如果选择多个条件分别解答
11、，按第一个解答计分.【答案】见解析【解析】【分析】选，先利用余弦定理可解得，从而求得三角形面积，由此作出判断；选，先利用余弦定理可得，结合已知条件可知是为直角的三角形，进而求得面积为，此时不成立.【详解】选，的面积成立，理由如下：当时，所以，所以，则的面积，因为，所以成立；选，的面积不成立，理由如下：当时，即，整理得，所以，因，所以是为直角的三角形，所以的面积，所以不成立.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.17. 年月日，我国开始施行个人所得税专项附加扣除操作办法，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金
12、、赡养老人.某单位有老年员工人，中年员工人，青年员工人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工中年员工青年员工（）在抽取的人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取人，记为选出的中年员工的人数，求的分布列和数学期望.【答案】（）老年员工、中年员工、青年员工分别有人、人、人；（）分布列见解析，【解析】【分析】（）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中
13、年、青年员工的数量即可；（）随机变量的可取值为、，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望.【详解】（）该单位员工共人，抽取的老年员工人，中年员工人，青年员工人；（）的可取值为、，.所以的分布列为：数学期望.【点睛】本题考查利用分层抽样求抽取的人数，同时也考查了超几何分布列以及随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.18. 如图，已知四边形为菱形，且，取中点为.现将四边形沿折起至，使得.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）若点满足，当平面时，求的值.【答案】（）见解析;（）；（）.【解析】【分析】（）只需证明，由线面垂直的判定定理
14、可得证明；（）以为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和平面的法向量.设二面角的大小为，可知为锐角，利用空间向量法即可得到所求值；（）由计算出向量的坐标，由，计算可得所求值.【详解】（）在左图中，为等边三角形，E为中点，所以，所以.因为，所以.因为，所以平面；（）设菱形的边长为，由（）可知，.所以以为原点，、所在直线分别为、轴，建立如图空间坐标系.可得，.设平面的法向量为，所以，即.令，则.平面的法向量为.设二面角的大小为，则为锐角，；（）由，因为平面，则，即，所以.【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角以及利用空间向量法求解动点问题，考
15、查推理能力与计算能力，属于中等题.19. 已知椭圆：()的右焦点为，离心率为.直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（3）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率.【答案】（1）.（2）证明见解析.（3）直线的斜率：【解析】【分析】（1）由题意知 ，可得，.故得到椭圆方程.（2）设直线的方程为()，将直线与椭圆进行联立，利用中点坐标公式，结合韦达定理得到，进而得解.（3）四边形为平行四边形，则.所以，又因为点在圆上，把点坐标代入椭圆方程，即可得出答案.【详解】（1）由已知， 又，解得， 所以椭圆
16、方程为.（2）设直线的方程为()联立消去得，不妨设， 则，因为为线段的中点所以， 所以 所以为定值.（3）若四边形为平行四边形，则所以因为点在椭圆上，所以 解得，即所以当四边形为平行四边形时，直线的斜率为【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题目.20. 已知函数()，().（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，过上一点作的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由.【答案】（1）.（2）2条切线，理由见解析【解析】【分析】（1）把转化为：，要使得恒成立，即满足的最小值大于0.（2）设切点，则，对方程化简，判断的个数即可，得出切线的条数.【详解】（1）令()所以令，解得.
17、当变化时，的变化情况如下表：-0+减极小值增所以在的最小值为 令，解得.所以当时，恒成立，即恒成立. （2）可作出2条切线. 理由如下：当时，.设过点的直线与相切于点， 则即整理得 令，则在上的零点个数与切点的个数一一对应.，令解得.当变化时，的变化情况如下表：-0+减极小值增所以在上单调递减，在上单调递增.且 所以在和上各有一个零点，即有两个不同的解.所以过点可作出的2条切线.【点睛】本题主要考查利用导数解决恒成立问题及切线的问题，考查了逻辑思维能力，属于中档题目.21. 有限个元素组成集合，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，称集合具有性质.（1），判断集合，是否具
18、有性质，并说明理由；（2）设集合，且()，若集合具有性质，求的最大值；（3）设集合，其中数列为等比数列，()且公比为有理数，判断集合是否具有性质并说明理由.【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析.（2）.（3）集合具有性质，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据定义即可判断，进而得出答案.（2）运用反证法即可得出答案.（3）设，假设当时有成立，进而结合反证法证明假设不成立，进而得出答案.【详解】（1）集合不具有性质，集合具有性质.，不具有性质；，具有性质. （2）若三个数，成等差数列，则不具有性质，理由是.因为且()所以，要使取最大，则；，易知不具有性质，要使取最大，则；，要使取最大，检验可得； （3）集合具有性质.设等比数列的公比为为，所以()且为有理数，假设当时有成立，则有因为为有理数，设(，)且(，互质)，因此有即（1），（1）式左边是的倍数，右边是的倍数，又，互质，显然不成立. 所以，所以集合具有性质.【点睛】本题考查了集合新定义问题，考查了等比数列的应用，以及学生的阅读能力，属于难题.
