2015-2016学年高中数学北师大版选修2-1课件章末归纳总结2 .ppt

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1、成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修2-1第二章空间向量与立体几何成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 空间向量与立体几何第二章第二章空间向量与立体几何成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 章末归纳总结第二章第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 专题研究 2即时训练 3知识结构 1第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 知识结构第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1

2、第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 专题研究第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 1向量共线与向量共面的概念，共线向量定理与共面向量定理，是解决向量问题和用向量解决立体几何问题的基本依据，讨论三点共线、直线平行、四点共面、向量共面、线面平行等等都需要运用这两个基本原理如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 DD1 的中点，N 在AC 上，且 ANNC21，求证：A1N与A1B、A1M 共面第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 解析 A1B ABAA

3、1，A1M A1D1 D1M AD 12AA1，AN23AC23(ABAD)A1N ANAA1 23(ABAD)AA123(ABAA1)23(AD 12AA1)23A1B 23A1M.A1N 与A1B，A1M 共面第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M、N 分别在对角线 BD、AE 上，且 BM13BD，AN13AE.求证：向量MN、CD、DE 共面证明因为 M 在 BD 上，且 BM13BD，所以MB 13DB 13DA 13AB.同理AN13AD 13DE.第二章章末归纳

4、总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 所以MN MB BAAN13DA 13AB BA13AD 13DE23BA13DE 23CD 13DE.又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN、CD、DE 共面第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 2利用空间向量判定线面、面面位置关系(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则abab0.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (3)线面平行用向量

5、证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导

6、北师大版数学选修2-1 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：(1)MN平面A1BD；(2)平面A1BD平面B1D1C第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 证明(1)方法一：如图所示，以 D 为坐标原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则可求得 M(0,1，12)，N(12，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN(12，0，12)，DA1(1,0,1)，DB(1,1,0)第二章章末归纳总结成才

7、之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 设平面 A1BD的一个法向量是 n(x，y，z)，则 nDA1 0 且 nDB0，得xz0，xy0，取 x1，得 y1，z1.所以 n(1，1，1)又MN n(12，0，12)(1，1，1)0，所以MN n.又 MN平面 A1BD，所以 MN平面 A1BD第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 方法二：因为MN C1N C1M 12C1B1 12C1C 12(D1A1 D1D)12DA1，所以MN DA1，又因为 MN平面 A1BD，所以 MN平面 A1BD方法三：因为MN C1N C1M 12D1

8、A1 12D1D 12(DB BA)12(D1A1 A1D)12DB 12BA12D1A1 12A1D 12DB 12DA1 12(BADA)12DB 12DA1 12BD 12DA1 0DB.即MN 可用DA1 与DB 表示，故MN 与DA1，DB 是共面向量，所以MN 平面 A1BD，即 MN平面 A1BD第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (2)由(1)求得平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1)，同理可求得平面B1D1C的一个法向量m(1，1，1)，所以mn，所以平面A1BD平面B1D1C方法四：(1)M、N 分别为 CC1、B1C

9、1 的中点，MNB1C，又B1CA1D，MNA1D，又MN平面A1BD，A1D平面A1BD，MN平面A1BD(2)B1CA1D，B1C平面A1DB，A1D平面A1BDB1C平面A1BD，同理BD1平面A1BD，平面A1BD平面B1D1C第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 总结反思(1)方法一是建立坐标系，通过坐标运算证明结论，方法二和方法三没有建立坐标系，直接通过向量的分解等运算进行证明，当然在方法二和方法三中也可通过建立坐标系，利用坐标运算来证明，另外，在方法三中还可证明MN 可由A1B，A1D表示(2)面面平行的常见证法有两种：由线面平行面面

10、平行；由法向量共线面面平行第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 如图所示，已知 PA平面 ABCD，ABCD 为矩形，PAAD，M，N 分别为 AB，PC 的中点求证：(1)MN平面 PAD；(2)平面 PMC平面 PDC分析建立合适的空间直角坐标系，可以借助共面向量定理证明(1)，借助于法向量证明(2)第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 解析如图所示，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直角分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设 PAADa，ABB(1)可知 P(0,0，a)，A(0

11、,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)M，N 分别为 AB，PC 中点，M(b2，0,0)，N(b2，a2，a2)第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 MN(0，a2，a2)，AP(0,0，a)，AD(0，a,0)，MN 12AD 12AP.又MN平面 PAD，MN平面 PAD第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (2)由(1)可知，所以PC(b，a，a)，PM(b2，0，a)，PD(0，a，a)设平面 PMC 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)，则n1PC0，n1PM 0bx1

12、ay1az10，b2x1az10，解得x12ab z1，y1z1.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 令 z1b，则 n1(2a，b，b)设平面 PDC 的一个法向量为 n2(x2，y2，z2)，则 n2PC0，n2PD 0bx2ay2az20，ay2az20，解得x20，y2z2.令 z21，则 n2(0,1,1)n1n20bb0，n1n2.平面 PMC平面 PDC第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 3求空间中的角(1)求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面直线所成的角为

14、一点且 B1M2，点 N 在线段 A1D上，A1DAN.(1)求 cosA1D，AM；(2)求直线 AD 与平面 ANM 夹角的正弦值；(3)求平面 ANM 与平面 ABCD 夹角的余弦值第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 分析建立恰当空间直角坐标系，求出相应的向量，利用法向量求解解析(1)建立空间直角坐标系，如图AM(5,2,4)，A1D(0,8，4)AM A1D 016160，AMA1D.cosA1D，AM 0.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (2)A1DAM，A1DAN，A1D 平面 AMN，A

15、1D(0,8，4)是平面 ANM 的一个法向量又AD(0,8,0)，|A1D|4 5，|AD|8，A1D AD 64，cosA1D，AD 644 58 252 55.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 设 AD 与平面 AMN 的夹角为，则 A(0,0,0)，M(5,2,4)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)则 sin|cosA1D，AD|2 55.AD 与平面 AMN 夹角的正弦值为2 55.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (3)平面 ANM 的法向量是A1D(0,8，4)，平面 ABCD 的法向

16、量是 a(0,0,1)，cosA1D，a44 5 55.平面 ANM 与平面 ABCD 夹角的余弦值为 55.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 如图是一个直三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一平面所截得的几何体，截面为 ABC已知 A1B1B1C11，A1B1C190，AA14，BB12，CC13.(1)设点 O 是 AB 的中点，证明：OC平面A1B1C1；(2)求二面角 BACA1 的大小第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 解析如图，以 B1 为原点，分别以 B1C1，B1A1，B1B 所在直线为

17、 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,1,4)，B(0,0,2)，C(1,0,3)(1)因为 O 是 AB 的中点，所以 O(0，12，3)，OC(1，12，0)易知，n(0,0,1)是平面 A1B1C1 的一个法向量因为OC n0，OC n，OC平面 A1B1C1，所以 OC平面 A1B1C1.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (2)AB(0，1，2)，BC(1,0,1)，设 m(x，y，z)是平面 ABC 的法向量，则由ABm0，BCm0 得y2zxz0，取 xz1，则 m(1,2，1)显然，l(1,1,0)为平面 AA1C1

18、C 的一个法向量则 cosm，l ml|m|l|1206 2 32.结合图形可知所求二面角为锐角所以二面角 BACA1 的大小是 30.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 总结反思用向量法求两平面夹角的一般步骤是：(1)建立坐标系，标出点坐标；(2)求出两平面的法向量；(3)求法向量所成的角，再转化为平面夹角第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 4空间距离点面距的求法：设 n 是平面的法向量，AB 是平面的一条斜线，则点 B到面的距离 d|ABn|n|，如图所示线面距、面面距均可转化为点到平面的距离第

19、二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 如图，在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC，SASC2 2，M 为 AB 的中点(1)证明：ACBS；(2)求二面角 SCMA 的余弦值；(3)求点 B 到平面 SCM 的距离第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 解析(1)证明：取 AC 的中点 O，连 SO、MO，由题意易知OS、OA、OB 两两垂直如图，建立空间直角坐标系 Oxyz，则A(2,0,0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，B(0,2 3，0)AC(4,0,0)

20、，BS(0，2 3，2)ACBS(4,0,0)(0，2 3，2)0，ACBS.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (2)解：由(1)得 M(1，3，0)，CM(3，3，0)，CS(2,0,2)设 n(x，y，z)为平面 SCM 的一个法向量，则nCM 3x 3y0，nCS2x2z0.取 z1，则 x1，y 3，n(1，3，1)又OS(0,0,2)为平面 ABC 的一个法向量，cosn，OS nOS|n|OS|55.二面角 SCMA 的余弦值为 55.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (3)解：由(1)(2

21、)得CB(2,2 3，0)，又 n(1，3，1)为平面 SCM 的一个法向量点 B 到平面 SCM 的距离为 d|nCB|n|4 55.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 如图所示，已知四边形 ABCD、EADM 和 MDCF 都是边长为a 的正方形，点 P、Q 分别是 ED 和 AC 的中点，求：(1)PM 与FQ 所成的角；(2)P 点到平面 EFB 的距离；(3)异面直线 PM 与 FQ 的距离分析此题共有 3 问，包括两个向量的夹角的求解，两异面直线间的距离的求解和点到平面的距离的求解，可建立空间直角坐标系，进行求解第二章章末归纳总结成才

22、之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 解析如图，建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，M(0,0，a)，E(a,0，a)，F(0，a，a)，则由中点坐标公式得 P(a2，0，a2)，Q(a2，a2，0)第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (1)PM(a2，0，a2)，FQ(a2，a2，a)，所以PM FQ(a2)a20a2(a)34a2，且|PM|22 a，|FQ|62 a，所以 cosPM，FQ PM FQ|PM|FQ|34a222 a 62 a 32.所以PM 与FQ

23、所成的角为 150.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (2)设 n(x，y，z)是平面 EFB 的单位法向量，即|n|1，n平面 EFB，所以 nEF，且 nBE.又EF(a，a,0)，BE(0，a，a)，所以x2y2z21，axay0，ayaz0，得其中的一个解是x 33，y 33，z 33.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 所以 n(33，33，33)又PE(a2，0，a2)设所求距离为 d，则 d|PEn|33 A(3)设 e(x1，y1，z1)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由PM(a2

24、，0，a2)，FQ(a2，a2，a)，得x21y21z211，a2x1a2z10，a2x1a2y1az10.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 求得其中的一个解 e(33，33，33)而MF(0，a,0)，设所求距离为 m，则 m|MF e|33 a|33 a第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 5探索性问题对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在如图(1)，在 RtABC 中，C90，BC3，AC6.D、E

25、分别是 AC、AB 上的点，且 DEBC，DE2，将ADE沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CCD，如图(2)第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解析 (1)证明：ACBC，DEBC，DEAC DEA1D，DECD，DE 平面A1DCDEA1C又A1CCD，CDDED，A1C平面BCDE，A1C平面BCDE.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学

26、选修2-1 (2)解：如图所示，以 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Cxyz.则 A1(0,0,2 3)，D(0,2,0)，M(0,1，3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)设平面 A1BE 的法向量为 n(x，y，z)，则 nA1B 0，nBE0.又A1B(3,0，2 3)，BE(1,2,0)，第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 3x2 3z0，x2y0.，令 y1，则 x2，z 3，n(2,1，3)设 CM 与平面 A1BE 为所成的角为.CM(0,1，3)，sin|cosn，CM|nCM|n|CM|48 4 22.CM 与平面 A1BE

27、所成角的大小为4.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (3)解：线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直，理由如下：假设这样的点 P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中 p0,3设平面 A1DP 的法向量为 m(x，y，z)，则 mA1D0，mDP 0.又A1D(0,2，2 3)，DP(p，2,0)，2y2 3z0，px2y0.令 x2，则 yp，z p3，m2，p，p3，平面 A1DP平面 A1BE，当且仅当 mn0，即 4pp0.解得 p2，与 p0,3矛盾线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1

28、BE 垂直第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 如图，四棱锥 PABCD 的底面为菱形且DAB60，PA底面 ABCD，AB2a，PA2 3a，E 为 PC 的中点(1)求直线 DE 与平面 PAC 所成角的大小；(2)求二面角 EADC 的平面角的余弦值；(3)在线段 PC 上是否存在一点 K，使 PC平面 KBD 成立，如果存在，求出 KC 的长；如果不存在，请说明理由第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 解析(1)如图，连结 AC、BD 交于点 O，又由底面 ABCD为菱形可得 BDAC，且点 O 是 A

29、C 的中点，连结 OE，又 E 为PC 的中点，所以 EOPA，由 PA底面 ABCD可得 EO底面 ABCD，以 O 为原点，OA、OB、OE 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则有 O(0,0,0)，A(3a,0,0)，B(0，a,0)，C(3a,0,0)，D(0，a,0)，P(3a,0,2 3a)，E(0,0，3a)第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 依题意得DB(0,2a,0)，即为平面 PAC 的一个法向量，DE(0，a，3a)，cosDB，DE 2a22a2a12，所以DB，DE 60，直线 DE 与平面 PAC 所成角的

30、大小为 30.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (2)由 PA底面 ABCD 可知，AP(0,0,2 3a)是平面 CAD 的一个法向量设 n(x，y，z)为平面 EAD 的一个法向量，EA(3a,0，3a)，ED(0，a，3a)，由 nEA与 nED，得 3ax 3az0ay 3az0，令 x1，得 z1，y 3，所以 n(1，3，1)cosAP，n2 3a2 3a 5 55.由图可知二面角 EADC 的平面角为锐角，故二面角 EADC 的平面角的余弦值为 55.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (3

31、)设线段 PC 上存在一点 K(x1，y1，z1)及(0)，使PKKC及 PC平面 KBD 成立，则PK(x1 3a，y1，z12 3a)，KC(3ax1，y1，z1)，解得 K 的坐标为(3a11，0，2 3a1)，PC(2 3a,0，2 3a)，KB(3a11，a，2 3a1)，KD(3a11，a，2 3a1)第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 因为 PC平面 KBD，所以PCKB0，即6a21112a210，解得 3，故 K 的坐标为(32 a,0，32 a)，KC14PC 6a2.即线段 PC 上存在一点 K，使 PC平面 KBD 成立，即

32、KC62 A第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 即时训练第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 一、选择题1已知空间四边形 OABC，M、N 分别是对边 OA、BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且MGGN2，设OG xOA yOB zOC，则 x、y、z 的值分别是()Ax13，y13，z13Bx13，y13，z16Cx13，y16，z13Dx16，y13，z13答案 D第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 解析 MGGN2，MG 23MN，OG OM MG

33、 OM 23(ON OM)13OM 23ON 16OA 2312(OB OC)16OA 13OB 13OC.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 2如图，在六面体 PABCQ 中，QAQBQCABBCCA 2PA 2PB 2PC，则异面直线 PA 与 QC 所成角的大小为()A30 B45C60D90答案 B第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 解析设 P 点在面 ABC 内的射影为O.PAPBPC，O 为三角形 ABC 的外心以 OP 为 z 轴，取 BC 的中点 D，又ABBCCA，则 ODBC，则以 O

34、D 为 y轴过 O 作 OEBC 交 AB 于 E 点，则 E 为AB 的三分点，则以 OE 为 x 轴设 PAPBPC1，则 ABBCAC 2，AQBQCQ 2，则 P(0,0，33)，A(0，63，0)，C(22，66，0)，Q(0,0，23 3)第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 PA(0，63，33)，QC(22，66，23 3)由 cosPA，QC PAQC|PA|QC|22，故 PA 与 QC 所成的角为 45.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 3已知向量 n(1,0，1)与平面垂直，且经

35、过点 A(2,3,1)，则点 P(4,3,2)到的距离为()A32B 22C 2D3 22答案 B解析 PA(2,0，1)，又 n 与垂直，所以 P 到的距离为|2，0，11，0，1|1212 22，故选 B第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 二、填空题4如图，已知在一个二面角的棱上有两个点 A，B，线段 AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB4cm，AC6cm，BD8cm，CD2 17cm，则这个二面角的度数为_答案 60第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 解析设AC，BD

36、，CAAB，ABBD，ACABBD AB0，CA，BD 180，|CD|2(CAABBD)2|CA|2|AB|2|BD|22|CA|BD|cos(180)(2 17)2624282268(cos)，cos12，60.因此，所求二面角的度数为 60.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 5(2015四川理，14)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值为_答案 25第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学

37、选修2-1 解析建立坐标系如图所示设 AB1，则AF1，12，0，第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 E12，0，0.设 M(0，y,1)(0y1)，则EM 12，y，1，由于异面直线所成角的范围为0，2，所以 cos|1212y|11414y2121y5 4y2521y4y2521 8y14y25，令 8y1t,1t9，则 8y14y2516t81t 215，当 t1时取等号第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 所以cos|1212y|11414y2121y5 4y25 15 2525，当 y0 时，取得

38、最大值第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 三、解答题6如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 是侧棱 CC1 上的一点，CPm.(1)试确定 m，使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为3 2.(2)在线段 A1C1 上是否存在一定点 Q，使得对任意的 m，D1Q在平面 APD1 上的射影垂直于 AP？并证明你的结论第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 解析解法一：连接AC，设ACBDO，AP与平面BDD1B1交于点G，连接OG.如图所示，PC平面BDD1B1，平面BD

39、D1B1平面APCOG，OGPC又 O 为 AC 的中点，OG12PCm2.又 AODB，AOBB1，AO平面 BDD1B1.故AGO 即为 AP 与平面 BDD1B1 所成的角第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 在 RtAOG 中，tanAGOAOOG22m23 2，即 m13.故当 m13时，直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (2)存在点Q.证明：依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1QAP，可推测A1C1的中点O1即为所求的Q点 D1O1

40、A1C1，D1O1AA1，D1O1平面ACC1A1.又AP平面ACC1A1，故D1O1AP.从而D1Q在平面AD1P上的射影与AP垂直存在定点Q满足题意第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)则BD(1，1,0)，BB1(0,0,1)，AP(1,1，m)，AC(1,1,0)又由ACBD 0，ACBB1 0，知AC为平面 BB1D1D 的一个法向量第二章章末归纳总结成才之路高中

41、新课程学习指导北师大版数学选修2-1 设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为，则 sincos(2)|APAC|AP|AC|22 2m2.依题意，有22 2m23 213 22，解得 m13.故当 m13时，直线 AP 与平面 BDD1B1所成角的正切值为 3 2.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (2)若在 A1C1上存在这样的点 Q，设此点的横坐标为 x，则 Q(x,1x,1)，所以D1Q(x,1x,0)依题意，对任意的 m，D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 APD1QAPAPD1Q 0 x(1x)0 x12，即 Q 为 A

42、1C1的中点时，满足题意要求第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 7如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为CC1 的中点(1)求证：AB1平面 A1BD；(2)求二面角 AA1DB 的余弦值；(3)求点 C 到平面 A1BD 的距离第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 解析(1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC因为在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 ABC 平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取 B1C1 中点 O1

43、，以 O 为原点，OB、OO1、OA 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)，C(1,0,0)，所以AB1(1,2，3)，BD(2,1,0)，BA1(1,2，3)第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 因为AB1 BD 2200，AB1 BA1 1430，所以AB1 BD，AB1 BA1，即 AB1BD，AB1BA1，又 BD 与 BA1 交于点 B，所以 AB1平面 A1BD第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版

44、数学选修2-1 (2)连接 AD，设平面 A1AD 的法向量为 n(x，y，z)AD(1,1，3)，AA1(0,2,0)因为 nAD，nAA1，所以nAD 0，nAA1 0，即xy 3z0，2y0，解之可得y0，x 3z.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 令 z1，得 n(3，0,1)为平面 A1AD 的一个法向量由(1)知 AB1平面 A1BD，所以AB1 为平面 A1BD 的法向量cosn，AB1 nAB1|n|AB1|3 322 2 64，故二面角 AA1DB 的余弦值为 64.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版

45、数学选修2-1 (3)由(2)知AB1 为平面 A1BD 的法向量，因为BC(2,0,0)，AB1(1,2，3)，所以点 C 到平面 A1BD 的距离d|BCAB1|AB1|2|2 2 22.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 8如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，AC2 2，PA2，E 是 PC 上的一点，PE2EC(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 解析(1)以A为坐标原点，射

46、线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设 C(2 2，0,0)，D(2，b,0)，其中 b0，则 P(0,0,2)，E(4 23，0，23)，B(2，b,0)于是PC(2 2，0，2)，BE(23，b，23)，DE(23，b，23)，从而PCBE0，PCDE 0，故 PCBE，PCDE.又 BEDEE，所以 PC平面 BDE.第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 (2)AP(0,0,2)，AB(2，b,0)设 m(x，y，z)平面 PAB 的法向量，则 mAP0，mAB0，即 2z0 且 2xby0，令 xb，则 m(b，2，0)设 n(p，q，r)为平面 PBC 的法向量，则nPC0，nBE0，即 2 2p2r0 且 2p3 bq23r0，令 p1，则 r 2，q 2b，n(1，2b，2)第二章章末归纳总结成才之路高中新课程学习指导北师大版数学选修2-1 因为平面 PAB平面 PBC，故 mn0，即 b2b0，故 b 2，于是n(1，1，2)，DP(2，2，2)，cosn，DP nDP|n|DP|12，n，DP 60.因为 PD 与平面 PBC 所成角和n，DP 互余，故 PD 与平面 PBC 所成的角为 30.

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2015-2016学年高中数学北师大版选修2-1课件 章末归纳总结2 .ppt

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