1、第6讲 离散型随机变量的均值与方差 考纲要求考点分布考情风向标理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单问题2011 年新课标卷考查分布列，数学期望及方差；2012 年新课标卷考查分布列，数学期望及方差；2013 年新课标卷考查概率分布列与数学期望等；2014 年新课标卷考查正态分布及数学期望；2015 年新课标卷考查互斥事件、独立重复试验及概率公式高考中常将相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、期望与方差等知识放在一起在解答题中考查，主要考查运用概率知识解决实际问题的能力1.离散型随机变量的均值和方差一般地，若离散型随机变量 X
2、 的分布列为：则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.Xx1x2xixnPp1p2pipn2.均值和方差的性质设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 YaXb，aE(X)b则 E(Y)E(aXb)_，D(Y)D(aXb)a2D(X).称 D(X)1ni xiE(X)2pix1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn 为随机变量 X 的方差.它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小.方差 D(X)的算术平方根 DX叫做随机变量 X 的标准差，记作(X).3.两点分布及二项分布的均值和方差pnp(1)若 X
3、服从两点分布，则 E(X)_，D(X)p(1p).(2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)np(1p).101P0.50.30.21.已知的分布列为则 E()()DA.0B.0.2C.1D.0.3123P0.40.20.42.已知随机变量的分布列是：则 D()()BA.0.6B.0.8C.1D.1.2解析：E()10.420.230.42，则D()(12)20.4(22)20.2(32)20.40.8.01PpqD3.已知的分布列为：A.E()p，D()pqB.E()p，D()p2C.E()q，D()q2D.E()1p，D()pp2其中 p(0,1)，则()C4.已知随机变量 满足条
4、件 B(n，p)，且 E()12，D()125，则 n 与 p 的值分别为()A.16 与45 B.20 与25C.15 与45 D.12 与35解析：B(n，p)E()np12，D()np(1p)125.n15，p45.考点 1 离散型随机变量的期望例 1：(2015 年福建)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概
5、率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望.X123P解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A，(2)依题意，得 X 所有可能的取值是 1,2,3.所以 X 的分布列为则 P(A)56453412.又 P(X1)16，P(X2)561516，P(X3)5645123.所以 E(X)11621632352.161623【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型 分布列
6、，可直接套用公式E(X)x1p1x2p2xipixnpn求其均值.随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算.Xx1x2xixnPp1p2pipn【互动探究】1.(2012 年大纲)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换，每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.(1)求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；(2)表示开始第 4 次发球时乙的
7、得分，求的期望.解：记 Ai 为事件“第 i 次发球，甲胜”，i1,2,3，则 P(A1)0.6，P(A2)0.6，P(A3)0.4.(1)事件“开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2”为A1 A 2 A 3 A 1A2 A 3 A 1 A 2A3，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得P(A1 A 2 A 3 A 1A2 A 3 A 1 A 2A3)0.60.40.6 0.40.60.60.40.40.40.352.即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352；(2)由题意 0,1,2,3.P(0)P(A1A2A3)0.60.60.40.144；P(1)P(A 1A2A
8、3A1 A 2A3A1A2 A 3)0.40.60.40.60.40.40.60.60.60.408；P(2)0.352；P(3)P(A 1 A 2 A 3)0.40.40.60.096所以 E()0.40820.35230.0961.4.考点 2 离散型随机变量的方差例 2：(2013 年浙江)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c个蓝球，且规定：取出 1 个红球得 1 分，取出 1 个黄球 2 分，取出 1 个蓝球得 3 分.(1)当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取 2 个球(有放回，且每个球取到的机会均等)，记随机变量为取出这 2 个球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任
9、取 1 个球(且每个球取到的机会均等)，记bc.随机变量 为取出此球所得的分数.若 E()53，D()59，求 a解：(1)由已知，得当两次取出的球分别是红红时，2，当两次取出的球分别是红黄，或黄红时，3，当两次取出的球分别是黄黄，红蓝，或蓝红时，4，此时 P(2)336614；此时 P(3)3266236613；此时 P(4)226631661366 518；当两次取出的球分别是蓝蓝时，6，所以的分布列是：当两次取出的球分别是黄蓝，或蓝黄时，5，此时 P(5)1266216619；此时 P(6)1166 136.23456P141351819136(2)由已知，得有三种取值即 1,2,3，所
10、以的分布列是：故 abc321.123Paabcbabccabc则 E()53aabc2babc3cabc，D()591532aabc2532babc3532 cabc.解得2ab4c0，a4b11c0，即a3c，b2c.【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：xnE(X)2pn为随机变量X的方差(2)若X 是随机变量，且YaXb，其中a，b 是常数，则Y 也是随机变量，则 E(Y)E(aXb)aE(X)b，D(Y)D(aXb)a2D(X).(3)均值体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值在均值周围的变化，方差大，说明随机变量取值较分散
11、；方差小，说明取值较集中.Xx1x2xixnPp1p2pipn则称 D(X)1ni xiE(X)2pix1E(X)2p1x2E(X)2p2【互动探究】2.(2014 年浙江)随机变量 的取值为 0,1,2，若 P(0)15，E()1，则 D()_.解析：设 1 时的概率为 p，则 E()0151p21p15 1.解得 p35.故 D()(01)215(11)235(21)21525.25考点 3 二项分布的期望和方差 例 3：某商店根据以往某种玩具的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图 9-6-1.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.图 9-6-1(1)估计
12、日销售量的众数；(2)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；(3)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 E(X)及方差 D(X).解：(1)依据日销售量的频率分布直方图可得众数为1001502125.(2)记事件 A1：“日销售量不低于 100 个”，事件 A2：“日 销售量低于 50 个”，事件 B：“在未来连续 3 天里，有连续 2天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”.则 P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P
13、(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(3)X 的可能取值为 0,1,2,3.P(X0)C03(10.6)30.064，P(X1)C130.6(10.6)20.288，X0123P0.0640.2880.4320.216分布列为：因为 XB(3,0.6)，所以期望 E(X)30.61.8，方差 D(X)30.6(10.6)0.72.【规律方法】若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p).P(X2)C230.62(10.6)0.432，P(X3)C330.630.216.【互动探究】3.(2013 年福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了人有且
14、只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，求 X3 的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分.每解：(1)由已知，得小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这 2 人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A 的对立事件为“累计得分 X5”，P(X5)2325 415，P(A
15、)1P(X5)1115.这两人的累计得分 X3 的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为 X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2)由已知，得 X1B2，23，X2B2，25，E(X1)22343，E(X2)22545.E(2X1)2E(X1)83，E(3X2)3E(X2)125.E(2X1)E(3X2)，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.思想与方法利用分类讨论思想求数学期望例题：(2014 年湖北)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站
16、，过去 50 年的水文资料显示，水的年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.年入流量 X40X120发电机最多可运行台数123(1)求在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台
17、发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：(1)依题意，p1P(40X120)5500.1.由二项分布，得在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过120 的概率为pC04(1p3)4C14(1p3)3p30.9440.930.10.947 7.(2)记水电站年总利润为 Y 万元.安装 1 台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故1 台发电机运行的概率为1，对应的年利润 Y5000，E(Y)500015000；安装 2 台发电机的情形.依题意，当 40X80 时，1 台发电机运行，此时 Y5000800 4200，因此 P(Y
18、4200)P(40X80)p1 0.2；当 X80 时，2 台发电机运行，此时 Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.Y420010 000P0.20.8由此得 Y 的分布列如下：所以 E(Y)42000.210 0000.88840；安装 3 台发电机的情形.依题意，当40X80时，1台发电机运行，此时Y500016003400，因此P(Y3400)P(40X120时，3台发电机运行，此时Y5000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.Y3400920015 000P0.20.70.1由此得 Y 的分布列如下：所以 E(Y)
19、34000.292000.715 0000.18620.综上所述，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装 发电机 2 台.【规律方法】本题考查学生在不同背景下迁移知识的能力，关键在于如果迅速、准确将信息提取、加工，构建数学模型，化归为数学期望问题.1.古典概型中，A 发生的条件下 B 发生的条件概率公式为，其中，在实际应用中 P(B|A)n（AB）n（A）是一种重要的求条件概率的方法.2.相互独立事件与互斥事件的区别.相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为 P(AB)P(A)P(B).P(B
20、|A)P（AB）P（A）n（AB）n（A）3.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了 n 次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率，p 与(1p)的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A 有 k 次不发生的概率了.P(Xk)Cknpkqnk.其中 k0,1，n，q1p.4.独立重复试验中的概率公式 Pn(k)Cknpk(1p)nk 表示的
