1、课时作业67离散型随机变量的均值与方差1甲、乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲、乙两人从装有4个红球、1个黑球(除颜色外完全相同)的袋中轮流不放回摸取1个球，摸到黑球便结束该局，且摸到黑球的人获胜(1)若在一局游戏中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；(2)若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸并获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X的概率分布及数学期望解：(1)记“一局中甲先摸，甲在该局获胜”为事件A，易知黑球被摸到的情况有5种，且被甲摸到的情况有3种，所以P(A).故甲在该局获胜的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值
2、为0,1,2,3，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的概率分布为X0123P数学期望E(X)0123.2已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；(3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率解：(1)
3、该小组恰有两次失败的概率PC()2()42.(2)由题意可知X的取值集合为0,2,4，则P(X0)C()2()42，P(X2)C()1()41C()3()43，P(X4)C()4C()4.故X的分布列为X024PE(X)024，即所求数学期望为.(3)由题意可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，共有C20(个)基本事件，而满足恰有两次连续失败的基本事件共有A12(个)，从而由古典概型可得所求概率P.3为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围/度0,210(210,400(400，)某市随机抽
4、取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量/度538690124132200215225300410(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值解：(1)2100.5(400210)0.6(410400)0.8227(元)(2)设
5、取到第二阶梯电量的户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，故的分布列为0123PE()0123.(3)设从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯的有X户，则XB(10，)，可知P(Xk)C()k()10k(k0,1,2,3，10)，解得k，kN*，当k6时用电量为第一阶梯的可能性最大，k6.4某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7p0.9)(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活
6、的棵数为X，求X的分布列及E(X)(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活求一棵B种树苗最终成活的概率；若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？解：(1)由题意知，X的所有可能值为0,1,2,3，则P(X0)0.2(1p)2，P(X1)0.8(1p)20.2Cp(1p)0.8(1p)20.4p(1p)0.4p21.2p0.8，P(X2)0.2p20.8
7、Cp(1p)0.2p21.6p(1p)1.4P21.6P，P(X3)0.8p2.X的分布列为X0123P0.2p20.4p0.20.4p21.2p0.81.4p21.6p0.8p2所以E(X)1(0.4p21.2p0.8)2(1.4p21.6p)30.8p22p0.8.(2)当p0.9时，E(X)取得最大值一棵B树苗最终成活的概率为0.90.10.750.80.96.记Y为n棵B种树苗的成活棵数，M(n)为n棵B种树苗的利润，则YB(n,0.96)，E(Y)0.96n，M(n)300Y50(nY)350Y50n，E(M(n)350E(Y)50n286n，要使E(M(n)200 000，则有n6
8、99.3.所以该农户至少种植700棵B种树苗，就可获利不低于20万元5有两种理财产品A和B，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如图所示(每种理财产品的不同投资结果之间相互独立)：产品A：投资结果获利50%不赔不赚亏损30%概率产品B：投资结果获得40%不赔不赚亏损20%概率pq注：p0，q0.(1)若甲、乙两人分别选择了产品A，B投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数p的取值范围；(2)若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想？解：(1)记事件C为“甲选择产品A投资且获利”，记事件D为“乙选择产品B投资且获利”，记事
9、件E为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”，则P(C)，P()，P(D)p，P()1p，P(E)1P()1(1p)，p.又pq，且q0，p，p.(2)假设丙选择A产品投资，且记为投资收益(单位：万元)，则的分布列为投资收益(单位：万元)1006概率E()106.假设丙选择B产品投资，且记为投资收益(单位：万元)，则的分布列为投资收益(单位：万元)804概率pqE()8p4q8p412p3.当p时，E()E()，丙可在产品A和产品B中任选一个投资；当0pE()，丙应选产品A投资；当p时，E()E()，丙应选产品B投资 6某公司为了提高利润，从2012年到2018年每年都对生产环节的改进进行投资
10、，投资金额x(单位：万元)与年利润增长量y(单位：万元)的数据如表：年份2012201320142015201620172018投资金额x/万元4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长量y/万元6.07.07.48.18.99.611.1(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长量为多少？(结果保留两位小数)(2)现从2012年至2018年这7年中抽出3年进行调查，记年利润增长量投资金额，设这3年中2万元的年份数为，求随机变量的分布列与期望参考公式：，.参考数据：iyi359.6，259.解
11、：(1)6，8.3,7 348.6，1.571，8.31.57161.1261.13，所以回归直线方程为1.57x1.13.将x8代入方程得1.5781.1311.43，即该公司在该年的年利润增长量大约为11.43万元(2)由题意可知，年份2012201320142015201620172018/万元1.521.92.12.42.63.6的可能取值为1,2,3，P(1)；P(2)；P(3).则的分布列为123PE()123.7在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示(1)求这4 000名考生的竞赛平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)由直方图可认
12、为考生竞赛成绩z服从正态分布N(，2)，其中，2分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差s2，那么该区4 000名考生的成绩超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求P(3)(精确到0.001)附：s2204.75，14.31；0.841 340.501；zN(，2)，则P(z)0.682 7，P(2z2)0.954 5.解：(1)由题意知，中点值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1450.1550.15650.2750
13、.3850.15950.170.5，这4 000名考生的竞赛平均成绩为70.5分(2)依题意z服从正态分布N(，2)，其中70.5，2s2204.75，14.31，z服从正态分布N(，2)N(70.5,14.312)，而P(z)P(56.19z84.81)0.682 7，P(z84.81)0.158 7.又0.158 74 000634.8635.竞赛成绩超过84.81分的人数估计为635.(3)全市竞赛考生的成绩不超过84.81分的概率P10.158 70.841 3.而B(4,0.841 3)，P(3)1P(4)1C0.841 3410.5010.499.8(2019北京卷)改革开放以来，
14、人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额(元)支付方式(0,1 000(1 000,2 000大于2 000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个
15、月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由解：(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有189330人，仅使用B的学生有1014125人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有1003025540人所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为0.4.(2)X的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 00
16、0元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)0.4，P(D)0.6.所以P(X2)P(CD)P(C)P(D)0.24，P(X1)P(CD)P(C)P()P()P(D)0.4(10.6)(10.4)0.60.52，P(X0)P( )P()P()0.24.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)00.2410.5220.241.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数
17、没有变化，则由上个月的样本数据得P(E).答案示例1：可以认为有变化理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化9随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通信系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p(0p1)电子元件
18、串联起来成组进行检验，若检测通过，则全部为正品；若检测不通过，则至少有一个次品，再逐一检测，直到把所有的次品找出若检测一个电子元件的花费为5分钱，检测一组(n个)电子元件的花费为4n分钱(1)当n4时，估算一组待检元件中有次品的概率；(2)设每个电子元件检测费用的期望为A(n)，求A(n)的表达式；(3)试估计n的值，使每个电子元件检测费用的期望最小(提示：用(1p)n1np进行估算)解：(1)设事件A：一组(4件)待检元件中有次品，则事件一组(4件)待检元件中无次品，即4件产品均正品，又4件产品是否为次品相互独立，则P()(10.002)4，所以P(A)1P()1(10.002)41(140
19、.002)0.008.(2)解法1：设每组(n个)电子元件的检测费用为X，则X的所有可能取值为n4,6n4，P(Xn4)0.998n，P(X6n4)10.998n，则X的分布列为Xn46n4P0.998n10.998n所以E(X)(n4)0.998n(6n4)(10.998n)6n45n0.998n，则有A(n)650.998n(n1)解法2：设每个电子元件的检测费用为Y，则Y的所有可能取值为1，6，P0.998n，P10.998n，则Y的分布列为Y16P0.998n10.998n所以A(n)E(Y)0.998n(10.998n)650.998n(n1)(3)A(n)650.998n65(10.002)n65(10.002n)，A(n)65(10.002n)10.01n121.4，当且仅当0.01n时取等号，此时n20，所以估计当n20时，每个电子元件平均检测费用最低，约为1.4分钱
