1、第5讲 离散型随机变量及其分布列 考纲要求考点分布考情风向标1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题2011 年 新课标 卷考 查分布列，数学期望及方差；2012 年 新课标 卷考 查分布列，数学期望及方差；2013 年新课标卷考查概率分布列与数学期望等；2014 年新课标卷考查正态分布及数学期望；2015 年新课标卷考查互斥事件、独立重复试验及概率公式对于离散型随机变量的分布列，要注意利
2、用它的两条性质检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质，这说明计算过程中一定存在错误，即离散型随机变量的这两条性质是判断计算过程中是否存在错误的主要方法，在实际应用中，要结合具体实例体会随机变量的意义，找准概率模型，确定随机变量各个值的概率，从而列出其分布列1.随机变量(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母 X，Y，表示.(2)所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.2.条件概率及其性质(1)条件概率的定义：A 发生的条件下，事件 B 发生的概率.(2)条件概率的
3、求法：求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概设 A，B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)PABPA 为事件型概率公式，即 P(B|A)nABnA.(3)条件概率的性质：01条件概率具有一般概率的性质，即_P(B|A)_；若 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A).3.事件的相互独立性P(A)P(B)(1)设 A，B 为两个事件，若 P(AB)_，则称事件A 与事件 B 相互独立.(2)若事件 A 与事件 B 相互独立，则 A 与 B、A 与 B、A与B 也都相互独立.4.离散型随机变量的分布列称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为
4、X 的分布列.有时为了表达简单，也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示 X 的分布列.一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表：Xx1x2xixnPp1p2pipnX01P1pp5.离散型随机变量分布列的性质(1)pi0(i1,2，n).(2)p1p2pn1.6.常见的离散型随机变量的分布列(1)两点分布：如果随机变量 X 的分布列为：其中 0p1，称 X 服从两点分布，而称 pP(X1)为成功概率.(2)超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰k0,1,2，m(其中
5、mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN*)，称随机变量 X 服从超几何分布，其分布列如下表：有 X 件次品，则随机事件 Xk 发生的概率为 P(Xk)CkMCnkNMCnN，X01mPC0MCn0NMCnNC1MCn1NMCnNCmMCnmNMCnN(3)二项分布：一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复(k0,1,2,n).此时称随机变量 X 服从二项分布.记作 XB(n，p)，并称 p 为成功概率.其分布列如下表：试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(Xk)Cknpk(1p)nkX01knP
6、C0np0(1p)nC1np1(1p)n1Cknpk(1p)nk Cnnpn(1p)01.下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()CDC2.设随机变量 的分布列为 P(i)a13i，i1,2,3，则 a的值为()A.1 B.913 C.1113 D.27133.某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球 5 次，恰好投进 3 个球的概率为()A.34B.58 C.516 D.532678910P0.10.20.25x0.154.某一射手射击所得的环数的分布列如下：0.7此射手“射击一次命中环数不小于 8 环”的概率为_.考点 1 离散型随机变量的分布列例 1：(2014 年
7、四川)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率.除 200分(即获得200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且12解：(1)X 可能的取值为 10,20,100，200.根据题意，有P(X10)C13121112238，P(X20)C23122112138，P(X100)C33123112018，P(X20
8、0)C03120112318.X1020100200P所以 X 的分布列为：38381818(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1,2,3)，则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)11831 1512511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.【规律方法】离散型随机变量的分布列的求法：写出 X 的所有可能取值(注意准确理解 X 的含义，以免失误)；利用概率知识(古典概型或相互独立事件的概率)求出 X取各值的概率；列表并检验，写出分布列.【互动探究】1.(2013 年山东)
9、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概结果相互独立.(1)分别求甲队以 30,31,32 获胜的概率；(2)若比赛结果为 30 或 31，则胜利方得 3 分，对方得0 分；若比赛结果为 32，则胜利方得 2 分，对方得 1 分.求乙队得分 X 的分布列.率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛解：(1)记“甲队以 30,31,32 获胜”分别为事件 A1，A2，A3.由题意，各局比赛结果相互独立，故 P(A1)233 827，P(A2)C23232123 23 827，P(A3)C24232123212 427.所以甲队
10、以 30,31,32 获胜的概率分别是 827，827，427.(2)设“乙队以 32 获胜”为事件 A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以由题意，随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3，根据事 件的互斥性，得 P(A4)C241232232112 427.P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)1627，P(X1)P(A3)427，X0123P故 X 的分布列为：P(X2)P(A4)427，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)19.162742742719考点 2 超几何分布例 2：(2014 年天津)某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学.在这 10 名同学中
11、，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X的分布列及数学期望.所以随机变量 X 的分布列为：解：(1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则 P(A)C13C27C03C37C3104960.所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.P(Xk)Ck4C3k6
12、C310(k0,1,2,3)，X0123P随机变量 X 的数学期望【规律方法】对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不同类别的小球等概率模型.1612310130E(X)0161122 3103 13065.【互动探究】2.(2015 年四川)某市 A，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐 3 名男生，2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生，4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随
13、机抽取 3 人，女生中随机抽取 3人组成代表队.(1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率.(2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 的分布列和数学期望.解：(1)由题意，参加集训的男女生各有 6 名.参赛学生全从 B 中抽取(等价于 A 中没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C36 1100.因此，A 中学至少 1 名学生入选的概率为 1 1100 99100.(2)根据题意，X 的可能取值为 1,2,3.P(X1)C13C33C46 15，X123P所以 X 的分布列为：P(X2)C23C23C46 35，P(X
14、3)C33C13C46 15，E(X)1152353152.153515考点 3 二项分布的应用例 3：(2014 年广东珠海二模)已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲甲、乙二人准备进行三局比赛.(1)求在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率；(2)用表示三局比赛中甲获胜的局数，求的分布列.获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，且各局比赛互不影响.现在解：(1)设事件 A 表示“在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局”，则 P(A)353525 18125.(2)方法一，由题意知，的可能取值为 0,1,2,3.P(0)C03252525 8125，P(1
15、)C13352525 36125，P(2)C23353525 54125，P(3)C33353535 27125.0123P0123P则的分布列为：则的分布列为：8125361255412527125方法二，由题意知，B3，35，则 P(k)Ck335k253k(k0,1,2,3).8125361255412527125【规律方法】(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关 键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否必居其 一；二是重复性，即试验是否独立重复进行了 n 次.(2)二项分布满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的；各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果：事
16、件要么发生，要么不发生；随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数.【互动探究】3.(2011 年大纲)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立.(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；(2)X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数.求 X 的期望.解：记 A 表示事件：该地的 1 位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种；D 表示事件：该地的 1
17、 位车主甲、乙两种保险都不购买；(1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB，P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8.(2)DC，P(D)1P(C)10.80.2，XB(100,0.2)，即 X 服从二项分布，所以期望 E(X)1000.220.思想与方法分类讨论思想与离散型随机变量的结合例题：(2014 年福建)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求：顾客
18、所获的奖励额为 60 元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值为 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值为 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解：(1)设顾客所获的奖励额为 X.依题意，得 P(X60)C11C13C24 12，即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为12.X2060P0.50.5依题意，得X 的所有可能取值20,60.即 X 的分布列为：所以顾客所获的
19、奖励额的期望为 E(X)200.5600.540.P(X60)12，P(X20)C23C2412，(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对 于 面 值 由 10 元 和 50 元 组 成 的 情 况，如 果 选 择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1；对 于 面 值 由 20 元 和 40 元 组 成 的 情 况，同 理 可 排 除(20,20
20、,20,40)和(40,40,40,20)的 方 案，所 以 可 能 的 方 案 是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案 1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则 X1 的分布列为 X12060100P162316X1 的期望为 E(X1)201660231001660，X1 的方差为 D(X1)(2060)216(6060)223(10060)21616003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则 X2 的分布列为：由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励 额的方差比方案 1 的
21、小，所以应该选择方案 2.X2406080P162316X2 的期望为 E(X2)40166023801660，X2 的方差为 D(X2)(4060)216(6060)223(8060)2164003.【规律方法】本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率的计算，考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力.尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时候，可通过检查最后求出的分布列是否符合分布列的两个性质来检查分类讨论是否有所遗漏或重复.1.对于随机变量 X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量 X 的取值范围以及取这些值的概率.2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出 X 取各个值的概率.要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.3.对于常用的两点分布、超几何分布、二项分布要弄清楚基本模型.
