1、解三角形1.2 应用举例河北省邯郸市第三中学郭瑞第一章 引言 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,遥不可及的月亮离地球有多远呢?1671年,两个法国天文学家测出了地球与月球之间的距离大约为385 400km,他们是怎样测出两者之间距离的呢？(1)三角形常用内角和公式：;A B C1、三角形边与角的关系：(2)大角对大边，小角对小边。复习回顾2、正弦定理:,其中R是三角形外接圆的半径，由正弦定理可以变形为:sinAa sinCcsinBb2R (2);(3)sinA=，sinB=,sinC=等形式,以解决不同的三角形问题。2Ra2Rb2Rcc=2Rs
2、inC(1):sin:sin:sin;a b cC2 sin,2 sin,aRbRB3、余弦定理:a2=,b2=,c2=,余弦定理可以变形为:cosA=,cosB=,cosC=。4、SABC=absinC=acsinB。2121b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC2bc a-cb222 2bc b-ca222 2bc c-ba222 bcsinA 21 5、正弦定理应用范围：已知两角和任意边，求其他两边和一角。已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(注意解的情况)。6、余弦定理应用范围:已知三边求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。（
3、1）测量距离；（2）测量高度；（3）测量角度。正余弦定理在生活中的应用正余弦定理应用一测量距离测量者在A同侧，如何测定河不同岸两点A、B间的距离？AB思考 例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，BAC51o，ACB75o，求A、B两点间的距离。分析：已知三个量：两角一边，可以用正弦定理解三角形sinsinABACCB导入 一个不可到达点的问题参考数据sin75 0.96sin54 0.8解：根据正弦定理，得答：A,B两点间的距离为66米。sinsinsinsin55sinsin55sin 7555sin 756
4、6()sin(1805175)sin54ABACACBABCACACBABABCACBABCm例题讲解变式1如图，A、N两点之间的距离为.变式2为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_ 答案：宽度为60 m 答案：40如何测定河对岸两点A、B间的距离？AB思考 解：如图，测量者可以在河岸边选定两点C、D，设CD=a，BCA=，ACD=，CDB=，ADB=。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。导入 二个不可到达点的问题例2、如图
5、,A,B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量，求A,B两点距离的方法。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=。在ADC和BDC中，应用正弦定理得sin()sin(),sin()sin 180()sinsin,sin()sin 180()aaACaaBC例题讲解计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离222cosABACBCAC BC例题讲解变式 3如图，为测量河对岸 A、B 两点的距离，在河的这边测出 CD 的长为 32 km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求 A、B 两
6、点间的距离解 在BDC 中，CBD1803010545，由正弦定理得 BCsin 30 CDsin 45，则 BCCDsin 30sin 45 64(km)在ACD 中，CAD180606060，ACD 为正三角形ACCD 32(km)在ABC 中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 4534 6162 32 64 22 38，AB 64(km)答 河对岸 A、B 两点间距离为 64 km.方法总结距离测量问题包括(一个不可到达点)和(两个不可到达点)两种，设计测量方案的基本原则是：能够根据测量所得的数据计算所求两点间的距离，计算时需要利用(正、余弦定理)。解三角形应用题的一般思路：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解课堂归纳总结课后作业课本第22页第1、2、3题
