1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。5简单的幂函数 1幂函数(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数(2)五种常见幂函数图像比较：(3)幂函数的性质：所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图像都过点(1，1)；如果0，则幂函数的图像过原点，并且在区间0，)上是增加的；如果0，即m，所以m2.3(教材练习改编)若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数【解析】选A.因为f(x)ax2bx
2、c(a0)是偶函数，所以f(x)f(x)，得b0，所以g(x)ax3cx，所以g(x)a(x)3c(x)g(x)，又定义域为R，所以g(x)为奇函数类型一幂函数的图像与性质(数学抽象、直观想象)【典例】函数f(x)(m2m1)xm2m2是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是减少的(1)求f(x)的解析式(2)用描点法作出f(x)的图像(3)给出yf(x)的单调区间及其值域，并判断其奇偶性【思路导引】1.利用幂函数的定义，得到m2m11，求得m2或m1，之后再结合函数在x(0，)上递减，将m2排除，从而求得结果2先求出函数解析式，画出图像，根据图像进行解答【解析】(1)因为f(x)(m2m1)x
3、 为幂函数，且在(0，)上为减少的，所以m2m11且m2m20，所以m1，即f(x)x2(x0).(2)列表x4210124y1416不存在1641作图如图所示(3)由(2)可知，f(x)的单调区间为(，0)及(0，).其中f(x)在区间(，0)上是增加的，在区间(0，)上是减少的，且f(x)的值域为(0，).因为f(x)f(x)，且定义域关于原点对称，所以f(x)是偶函数求幂函数解析式的方法(1)待定系数法：借助幂函数的定义，设幂函数或所要求函数中相应量(2)定指数：结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征(3)定系数：如函数f(x)kx是幂函数，求f(x)的解析式，由定义知必有k1，即f(
4、x)x.函数f(x)(m2m5)xm1是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增加的，则m的值为_【解析】根据幂函数的定义得m2m51，解得m3或m2.当m3时，f(x)x2在(0，)上是增加的；当m2时，f(x)x3在(0，)上是减少的，不符合题意故m3.答案：3类型二函数的奇偶性及其应用(逻辑推理、数学运算)角度1函数奇偶性的判定【典例】判断下列函数的奇偶性(1)f(x).(2)f(x).(3)f(x).(4)f(x)【思路导引】确定函数的奇偶性，首先确定其定义域是否关于原点对称，然后化简解析式，要注意等价转化再验证f(x)与f(x)的关系【解析】(1)函数的定义域为(，0)(0，)，关于原
5、点对称，又因为f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数(2)函数的定义域为(，)，关于原点对称又因为f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数(3)易知定义域为2，2，关于原点对称f(x)0，所以满足f(x)f(x)且f(x)f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(4)函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)(x)22(x)3x22x3f(x)；当x0时，x0，f(x)(x)22(x)3x22x3(x22x3)f(x).综上可知，f(x)为奇函数角度2奇函数、偶函数的图像特征【典例】下列图像表示的函数中具有奇偶性的是()【思路导引】奇函数的图像关于原点对称，偶函数
6、的图像关于y轴对称，据此可判断出正确答案【解析】选B.选项A中的图像关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图像表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图像关于y轴对称，其表示的函数是偶函数角度3函数奇偶性的简单应用【典例】(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为，则a_，b_(2)已知函数f(x)为奇函数，则ab_【思路导引】(1)由偶函数可得定义域关于原点对称，即a12a0，求出a的值，然后利用f(x)f(x)，求出b.(2)可利用奇函数定义，由对应系数相等求解，也可采用赋值法求出ab的值【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12
7、a，解得a，则f(x)x2bxb1，由f(x)是偶函数，且其图像的对称轴为直线x，可知0，所以b0.(2)方法一：由奇函数的定义得f(x)f(x)0，当x0，所以f(x)ax2bx，所以ax2bxx2x0，即ax2bxx2x，故a1，b1.经检验知，f(x)为奇函数，故ab0.方法二：因为f(x)为奇函数，f(1)ab，f(1)0，所以f(1)f(1)0，即ab0.答案：(1)0(2)0判断函数奇偶性的常见方法(1)定义法若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f(x)是否等于f(x)或f(x)，或判断f(x)f(x)是
8、否等于零，或判断是否等于1等(2)图像法根据函数图像的对称情况进行判断，即奇(偶)函数的等价条件是它的图像关于原点(y轴)对称(3)性质法设非零函数f(x)，g(x)的定义域分别是F，G，若FG，则奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性如表所示：f(x)g(x)f(x) g(x)f(x) g(x)f(x)g(x)f(g(x)偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数1下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定经过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)0(x
9、R)，其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】选A.偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此正确，错误；奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确；若yf(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)0，但不一定xR，只要定义域关于原点对称即可，故错误，既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零，区别在定义域2设函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2xb(其中b为实数)，则f(1)的值为_【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x2xb，则f(0)1b0，解得b1，则f(x)x2x1，所以f(1)1，因
10、此f(1)1.答案：13已知函数f(x)，aR.(1)判断f(x)的奇偶性，说明理由(2)判断f(x)在(1，1)上的单调性，说明理由【解析】(1)函数f(x)，aR的定义域为xR|x1当a0时，f(x)0，满足f(x)f(x)f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数；当a0时，f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(2)当a0时f(x)0在(1，1)上是常数函数，不具有单调性；当a0时f(x)在(1，1)上是减少的；当a0时f(x)在(1，1)上是减少的设x1，x20，1)，且x10，0x1x20，x1x210，(x1)(x1)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以当
11、a0时f(x)在0，1)上是减少的又f(x)在(1，1)上是奇函数，所以函数图像关于原点对称，所以f(x)在(1，0)上也是减少的所以f(x)在(1，1)上是减少的同理可证：当a0，故排除选项B；对于选项A，定义域为0，)，故不是偶函数；对于选项D，(x) x，是奇函数；对于选项C，(x)4x4，是偶函数2.如图是函数yf(x)在6，6的图像，则此函数的奇偶性为()A偶函数B奇函数C奇函数且偶函数D非奇非偶函数【解析】选A.由于函数yf(x)的图像关于y轴对称，所以f(x)为偶函数3(教材练习改编)下列函数不具有奇偶性的是()Ayx ByCy Dyx22【解析】选C.函数具有奇偶性的前提条件是
12、函数的定义域关于原点对称，而选项C中函数的定义域为，不关于原点对称4已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)_【解析】当x0时，f(x)x2，所以f(1)112.又f(x)为奇函数，所以f(1)2.答案：25已知函数f(x)(m2m1)x5m3，m为何值时，f(x)：(1)是幂函数(2)是正比例函数(3)是反比例函数(4)是二次函数【解析】(1)因为f(x)是幂函数，故m2m11，即m2m20，解得m2或m1.(2)若f(x)是正比例函数，则5m31，解得m.此时m2m10，故m.(3)若f(x)是反比例函数，则5m31，则m，此时m2m10，故m.(4)若f(x)是二次函数，则5m32，即m1，此时m2m10，故m1.关闭Word文档返回原板块15