1、烟台市2019-2020学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 已知全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图形可得阴影部分表示的集合为，求出即可.【详解】根据图形可得阴影部分表示的集合为,.故选：C.【点睛】本题考查根据图形判断集合运算，属于基础题.2. 已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别判断出，的范围即可.【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题考查的是指对数式的大小比较，较简单.3. 函数的定
2、义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求使函数有意义的取值范围，即解可得解.【详解】要使函数有意义，只需得，即或所以函数定义域为，故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域的求法，属于基础题.4. 已知函数为偶函数，则在处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数是偶函数可得，可求出，求出函数在处的导数值即为切线斜率，即可求出切线方程.【详解】函数为偶函数，即，解得，则，且，切线方程为，整理得.故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用导数求切线方程，属于基础题.5. 根据我国车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验规定，车辆驾驶
3、人员100mL血液中酒精含量在（单位：mg）即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过小时才能开车，则的最小整数值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】根据指数函数列不等式，解不等式即得结果.【详解】由题意得故选：C【点睛】本题考查指数函数实际应用、解指数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.6. 若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（ ）A. 或B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可知在其定义域上不单调等价于有两个
4、解，利用即可求解.【详解】可得，在其定义域上不单调等价于方程有两个解，解得或.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.7. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据函数奇偶性的概念可判断出函数为奇函数，于是排除选项和；再对比选项和，只需计算时的函数值，并与0比较大小即可作出选择【详解】解：因为，所以为奇函数，排除选项和；又因为，所以排除选项，故选：【点睛】本题考查函数的图象与性质，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题8. 已知函数，若，则的取值范围为（ ）A B.
5、C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得为奇函数且在上为增函数，据此可得原不等式等价于，则有，解可得的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，其定义域为，有，函数为奇函数，又由，则在上为增函数，即的取值范围为；故选：【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数奇偶性与单调性的判断，属于中档题二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9. 下列四个命题中，为假命题的是（ ）A. ，B. “，”的否定是“，”C. “函数在内”是“在内单调递增”的充要条件D. 已知在处存在导数
6、，则“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件【答案】BC【解析】【分析】根据各命题对应的知识逐个判断即可解出对于，利用导数判断其单调性，再根据零点存在性定理即可判断；对于，由全称命题的否定是特称命题即可判断；对于，根据函数的单调性与导数的关系即可判断；对于，根据极值存在的条件即可判断；【详解】解：对于，设，因为，所以在上单调递增，而，（1），（1），即，使得，即，正确；对于，“，”的否定是“，” 不正确；对于，“函数在内”是“在内单调递增”的充分条件，不正确；对于，因为在处存在导数，根据极值点的定义可知，“是函数的极值点”可以推出“”，但是“”不一定可以推出“是函数的极值点”，比如函数在处有，
7、但是不是函数的极值点，正确故选：BC【点睛】本题主要考查函数零点分布判断，全称命题的否定，以及导数与函数单调性，极值的关系应用，属于中档题10. 已知函数，则（ ）A. 对于任意实数，在上均单调递减B. 存在实数，使函数为奇函数C. 对任意实数，函数在上函数值均大于0D. 存在实数，使得关于的不等式的解集为【答案】ABD【解析】【分析】根据各选项条件，逐一判断即可解出对于，判断函数的导数在上的符号即可；对于，根据奇函数的定义即可求出是否存在这样的实数；对于，赋值即可判断；对于，根据方程的根与不等式的解集端点的关系即可判断【详解】解：对于，当，所以，对于任意实数，在上均单调递减，正确；对于，函数
8、定义域为，定义域关于原点对称，由可得，变形可得，解得，即存在实数，使函数为奇函数，正确；对于，取，（1），不正确；对于，当时，不等式的解集为，正确故选：【点睛】本题主要考查通过函数的解析式研究函数的性质，以及导数的应用，属于中档题11. 为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒教室内每立方米空气中的含药量（单位：mg）随时间（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），则（ ）A. 当时，B. 当时，C. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下D. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下【答案】AD【解析
9、】【分析】利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况【详解】解：当时，设，则，故，即，故正确；当时，把代入可得：，即，故错误；令，即，解得，故错误，正确故选：【点睛】本题考查函数图象的意义，函数解析式及不等式解法，属于基础题12. 已知函数，下述结论正确的是（ ）A. 存在唯一极值点，且B. 存在实数，使得C. 方程有且仅有两个实数根，且两根互为倒数D. 当时，函数与的图象有两个交点【答案】ACD【解析】【分析】对进行求导可得，利用导数研究函数的单调性和极值，逐个判断即可得解.【详解】对进行求导可得：，显然为减函数，故存在，使得，并且，为增函数， ， ，为减函数，故为极大
10、值点，所以A正确；所以，可得：，因为，所以，故B错误，若是的一解，即，则，故和都是的解，故C正确，由，可得，令，令 ，因为，所以，故为减函数，而，所以当，即，为增函数，即，为减函数，所以，故当，有两个解，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了方程双根问题，同时考查了虚设零点问题以及二次求导问题，是导数作为选择题压轴题的典型题型，对思路要求和计算能力要求非常高，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 设集合，若，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】画出数轴图，分析即可得到答案.【详解】画出数轴图，要使，满足即可.故答案为：
11、.【点睛】本题考查根据集合间的基本关系求参数，属于基础题.14. 高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，当时，函数的值域为_【答案】【解析】【分析】根据高斯函数定义分类讨论求函数值【详解】，则，当时，当时，当时，值域为故答案为：【点睛】本题考查新定义函数，解题关键是理解新函数，利用新函数定义分类讨论求解15. 设满足，满足，则_【答案】2【解析】分析】令得到，利用函数在上单调递增，可得，即，故可求得答案【详解】解：因为满足，即有，令，则，则可化为，即，由题知满足，即有，因为函数在上单调递增，所以此函数
12、只有一个零点，又因为，所以，即，所以故答案为：2【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及换元思想，转化思想，属于中档题16. 已知，函数，当时，不等式的解集是_；若函数恰有2个零点，则的取值范围是_【答案】 (1). (2). 或【解析】【分析】（1）分情况解不等式组求出的范围；（2）对的取值范围进行讨论，得出的零点个数，得出答案【详解】解：（1）时，由可得：或，解得或，的解集是（2）令可得或，令可得若，则在，上无零点，在上有两个零点0，1，符合题意；若，则在，上有1个零点，在上有两个零点0，1，不符合题意；若，则在，上有1个零点，在上有1个零点1，符合题意；，则在，上有1个零点，在上无零
13、点，不符合题意；综上，或故答案为：，或【点睛】本题考查了函数零点个数判断，考查分类讨论思想，属于中档题四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知集合，（1）若，求；（2）设：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，分别求出集合，集合，然后求并集即可；（2）先表示出集合，集合，根据题意判断出集合是集合的真子集，即可求出实数的取值范围【详解】（1）若，由，解得，所以，当时，所以，所以（2）由，可得，所以集合，由（1）知，因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，所以，解得，所以实数的取值范围为【点睛】
14、本题主要考查集合间的基本关系，以及对充分条件，必要条件的理解，属于中档题18. 已知函数（1）求函数的极值；（2）若函数有3个零点，求的取值范围【答案】（1）极大值，极小值；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，令导数值为0，求出，列表分析函数的单调性，即可判断极值点并求出极值；（2）根据（1）中得到的变化情况列出不等式即可计算.【详解】（1），令，解得或，则有：00单增极大值单减极小值单增所以，当时，取得极大值，当时，取得极小值；（2）要使函数有3个零点，只需，解得【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，以及已知函数零点个数求参数范围，属于中档题.19. 已知是定义域为的奇函数，当时，（
15、1）求的解析式；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质即可求出解析式；（2）根据函数的奇偶性和单调性将不等式化为有解，即可求解.【详解】（1）当，又因为是奇函数，所以，所以;（2）当时，所以在上是增函数又是为的奇函数，所以在上是增函数于是,等价于，即于是原问题可化为，存在，使得有解只需或，由得或，由得或，故或【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.20. 已知函数（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，由在上恒
16、成立，用分离参数法转化为求函数的最小值，可得结论；（2）求出，利用（1）中结论得存在唯一解，也是的最小值点，计算并转化为的函数，然后求得这个新函数的单调性，证明结论成立【详解】（1）由题意，在上恒成立即在上恒成立令，则，所以在上单调递增于是，所以（2）当时，由（1）知，函数在单增，且因此，存在唯一的满足，且当时，即；当时，即因此为在上的极小值，也是最小值下证：因为，所以，于是，不等式得证【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数不等式的证明，证明函数不等式关键是问题的转化，由导数得出函数的最小值，这个最小值含有参数，因此利用极值点的定义把转化为关于的函数，再由函数的知识证明结论考查了转化
17、与化归思想21. 某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入假设2020年利润增加值（千万元）与科研经费投入（千万元）之间的关系满足：与成正比，其中为常数，且；当时，；2020年科研经费投入不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%（1）求关于的函数表达式；（2）求2020年利润增加值的最大值以及相应的的值【答案】（1），；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据已知函数模型求出函数表达式；（2）利用导数研究函数的单调性，得最大值注意分类讨论【详解】（1）设，当时，可得，所以，因为不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%；所以
18、定义域为， 所以关于的函数表达式为，（2）令，则当时，恒成立，在上单调递增，此时，当时，在单调递减，在单调递增，此时，又，所以，当时，当时，综上：当时，科研经费投入6千万元，利润增加值的最大值为千万元；当时，科研经费投入2千万元，利润增加值的最大值为千万元【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，利用已知函数模型求出函数表达式，然后用导数求得函数的最值是解此类问题的基本方法22. 已知函数，（1）讨论函数极值点的个数；（2）若函数有两个极值点，证明：【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，研究在上解个数，由的正负确定的单调性，确定极值点个数；（2）由（1）知
19、，当时，函数有两个极值点，且，计算并转化为关于的函数，然后求出函数的单调性证明结论成立详解】解：（1），当时，在单调递增，没有极值点；当时，令，时，或，设当时，方程的两根为，且若，则，注意到，知的两根，满足当，单增；当，单减，所以只有一个极值点；若，则，即恒成立，在单调递增，所以没有极值点；若，则，注意到，知的两根，满足当，单增；当，单减；当，单增；所以有两个极值点综上：当时，有一个极值点；当时，没有极值点；当时，有两个极值点（2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，且，所以，令，则，所以在单调递减，所以，所以【点睛】本题考查用导数研究函数的极值问题，证明有关极值点的不等式，证明有关极值点不等式的关键是问题的转化，利用极值点与题中参数关系，把问题转化为关于参数的函数，转化为确定函数的单调性
