1、2独立性检验21条件概率与独立事件1条件概率求已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)，当P(B)0时，其公式为P(A|B)(其中AB也可以记成AB)类似地，当P(A)0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A).(1)0P(B|A)1.(2)若B、C互斥，则P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)2相互独立事件一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)P(A)P(B)，则称A、B相互独立如果A，B相互独立，则A与，与B，与也相互独立如果A1，A2，A n相互独立，则有P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)A、B独立，则A(或B)是否发生对另一事
2、件B(或A)发生的概率没有影响 判断下列说法是否正确(在题后标注“”或“”)(1)P(B|A)P(AB)()(2)P(B|A)P(A|B)()答案：(1)(2) 抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为1，2，3，4，5，6，记事件A2，3，5，B1，2，4，5，6，则P(A|B)()A.BC.D解析：选C.P(B)，P(AB)，故P(A|B). 在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是()A0.12B0.88C0.28D0.42解析：选D.甲、乙两地不下雨的概率分别为0.3，0.4，则甲
3、、乙两地下雨的概率分别为0.7，0.6，故甲、乙两地都下雨的概率为0.70.60.42. 设某种动物从出生算起活到20岁以上的概率为0.9，活到25岁以上的概率为0.5，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁以上的概率为_解析：设该动物活到20岁、25岁以上记为A、B，则P(A)0.9，P(B)P(AB)0.5，所以P(B|A).答案：对条件概率计算公式的理解已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间来计算AB发生的概率，即P(B|A). 古典概型的条件概率盒中装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝
4、色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？【解】将题目信息列表如下：类别颜色玻璃球木质球红色23蓝色47令事件A为任取一个球是蓝球，令事件B为任取一个球为玻璃球，显然事件AB为一个蓝色的玻璃球法一：由于任取一个球是等可能的，且A包含的基本事件数n(A)11，事件AB包含的基本事件数n(AB)4，故所求事件的概率P(B|A).法二：由题意可知P(A)，P(AB)，所以P(B|A).计算事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，有两种方法：(1)利用定义计算分别计算概率P(AB)和P(A)，然后将它们相除得到，即条件概率P(B|A).(2
5、)利用缩小样本空间的观点计算在这种观点下，原来的样本空间缩小为已知的事件A，原来的事件B缩小为事件AB，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型计算概率的公式计算条件概率，即事件B的条件概率为P(B|A).1.(1)把一枚硬币任意掷两次，事件A第一次出现正面，事件B第二次出现正面，则P(B|A)等于()A.BC.D(2)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)_解析：(1)由题意知P(A)，P(AB)，所以P(B|A).故选B.(2)P(A)，P(AB)，则P(B|A).答案：(1)B(2)几何概型的条件概率一个面积
6、为9的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)、P(A|B)【解】如图，n()9，n(A)3，n(B)4，所以n(AB)1，所以P(AB)，P(A|B).几何概型的条件概率与求古典概型的条件概率方法、步骤类似 2.(1)任意向(0，1)区间上投掷一个点，用x表示该点的坐标，令事件A，B，则P(B|A)_(2)如图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆
7、子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(A)_；P(B|A)_解析：(1)由题意可得：AB，所以P(AB)，又因为P(A)，所以P(B|A).(2)由题意可得，事件A发生的概率P(A).事件AB表示“豆子落在EOH内”，则P(AB).故P(B|A).答案：(1)(2)相互独立事件的概率某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，求(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率【解】记“甲、乙、丙三人100 m跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，
8、B，C相互独立，则P(A)，P(B)，P(C).设恰有k人合格的概率为Pk(k0，1，2，3)(1)三人都合格的概率：P3P(ABC)P(A)P(B)P(C).(2)三人都不合格的概率：P0P()P()P()P().在本例中，出现恰有几人合格时的概率最大？解：恰有两人合格的概率：P2P(AB)P(AC)P(BC)，恰有一人合格的概率：P11P0P2P31.结合例题解析可知P1最大所以出现恰有1人合格的概率最大3.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，从这两批种子中各随机地抽取一粒，求：(1)两粒都能发芽的概率；(2)至少有一粒种子能发芽的概率；(3)恰好有一粒种子能发芽的概率解：设以A
9、，B分别表示取自甲、乙两批种子中的某粒种子发芽这一事件，则表示取自甲、乙两批种子中的某粒种子不发芽这一事件，则P(A)0.8，P(B)0.7，且A，B相互独立，故有(1)P(AB)P(A)P(B)0.80.70.56，故两粒都能发芽的概率为0.56.(2)法一：P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.80.70.560.94.法二：至少有一粒种子能发芽的概率，即为两粒种子都不发芽这一事件的对立事件的概率，即P(AB)1P()1P()P()1(10.8)(10.7)0.94.故至少有一粒种子能发芽的概率为0.94.(3)P(AB)P(A)P(B)0.8(10.7)(10.8)0.70.38.故恰
10、好有一粒种子能发芽的概率为0.38.思想方法相互独立事件的判定方法容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？【解】(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的
11、概率有影响，所以二者不是相互独立事件(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件判断两事件是否相互独立的方法有：(1)通过计算P(B|A)P(B)可以判断两个事件相互独立；(2)通过验证P(AB)P(A)P(B)也可以判断两个事件相互独立.1如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.BC.D解析：选A.设第一个、第二个圆盘指针落在奇数区域分别为事件A、B，则A、B相互独立，且P(A)，P(B)，故P(AB)P(A)P(B).2已知P(AB)，P(A)，则P(B|
12、A)()A.BC.D解析：选B.P(B|A).故选B.3有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为_，问题得到解决的概率为_解析：设事件A：“甲解决这道难题”，事件B：“乙解决这道难题”，所以A，B相互独立所以两人都未解决的概率为P().问题得到解决的概率为P(A )P(B)P(AB)1P()1.答案：A基础达标1设有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.6和0.9，若各射击一次，则目标被击中的概率是()A0.56B0.92C0.94D0.96解析：选D.两名射手射击一次，均未击中目标的概率为(10.6)(10.9
13、)0.40.10.04.所以目标被击中的概率为10.040.96.2抛掷两枚骰子，在已知点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率为()A.BC.D解析：选A.设“至少有一枚出现6点”为事件A，“两枚骰子的点数不同”为事件B，则n(B)6530，n(AB)10，所以P(A|B).3甲、乙两人投球命中率分别为，甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为()A.BC.D解析：选C.设甲投一次球命中为事件A，乙投一次球命中为事件B，则A与B独立，且P(A)，P(B)，所求概率为P(AB)P(A)P(B)P(A)1P(B)1P(A)P(B).4一袋中装有3个红球和2个白球，另一袋中装有2个红球和1个白球
14、，从每袋中任取一球，则至少取到一个白球的概率是()A.BC.D解析：选B.至少取一白球共有三种情况：P1，P2，P3.所以PP1P2P3.5某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9.在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽并能成长为幼苗的概率为()A0.02B0.08C0.18D0.72解析：选D.设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽并成长为幼苗”为事件AB，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B|A，则P(A)0.8，P(B|A)0.9，由条件概率公式，得P(AB)P(B|A)P(A)0.90.80.72.6设A，
15、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为_解析：由题意P(AB)，P(B|A)，所以P(A).答案：7甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为_(答案用分数表示)解析：从甲袋中取出一个球是红球的概率为，从乙袋中取出一个球是红球的概率为，故分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，取出的两个球都是红球的概率为.答案：8某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击
16、中目标相互之间没有影响，有下列结论：他第3次击中目标的概率是0.9；他恰好击中目标3次的概率是0.930.1；他至少击中目标1次的概率是10.14.其中正确结论的序号是_解析：“恰好击中目标3次”包括四种情形，每种情形的概率都为0.930.1，所以其概率为40.930.1.答案：9甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人不放回地依次各抽1题，在甲抽到选择题的前提下，乙抽到判断题的概率是多少？解：设甲抽到选择题为事件A，乙抽到判断题为事件B，则P(A)，P(AB).所以P(B|A)，即在甲抽到选择题的前提下，乙抽到判断题的概率是.10三人独立破译同
17、一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响(1)求恰有两人破译出密码的概率；(2)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？解：记“第i个人破译出密码”为事件Ai(i1，2，3)，依题意有P(A1)，P(A2)，P(A3)，且A1，A2，A3相互独立(1)设“恰有两人破译出密码”为事件B，则有BA1A23A12A31A2A3，且A1A23，A12A3，1A2A3彼此互斥于是P(B)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3).故恰有两人破译出密码的概率为.(2)设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.D123，且1，2，3相互独立，则有
18、P(D)P(1)P(2)P(3).而P(C)1P(D)，故P(C)P(D)故密码被破译的概率比密码未被破译的概率大B能力提升11已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为()A75%B96%C72%D78.125%解析：选C.记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P(A)1P()14%96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B.由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)P(B)由合格品中75%为一级品知P(B|A)75%；故P(B)P(AB)P(A)P(B|A)96%75%72%.12明天上午李明要参加黄山三日游活动，为了准时起床，他用甲、乙两
19、个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是_解析：记甲闹钟准时响为事件A，乙闹钟准时响为事件B，甲乙两闹钟至少有一个准时响为事件C，则P(C)1P()P()1(10.80)(10.90)0.98.答案：0.9813计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为，；在上机操作考试中合格的概率分别为，.所有考试是否合格相互之间没有影响(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大
20、？(2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率解：记“甲理论考试合格”为事件A1，“乙理论考试合格”为事件A2，“丙理论考试合格”为事件A3，记“甲上机操作考试合格”为事件B1，“乙上机操作考试合格”为事件B2，“丙上机操作考试合格”为事件B3.(1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，则P(A)，P(B)，P(C)，有P(B)P(C)P(A)，故乙获得合格证书的可能性最大(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D.P(D)P(A1B1)(A2B2)(A3B3)P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3)P(A1)
21、P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3).所以，这三人计算机考试都获得合格证书的概率是.14(选做题)已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，至少需布置几门高炮？解：(1)设“敌机被第k门高炮击中”的事件为Ak(k1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345.因为事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，所以敌机未被击中的概率为P(12345)P(1)P(2)P(3)P(4)P(5)(10.2)5.所以敌机未被击中的概率为.(2)设需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率击中，仿照(1)可得：敌机被击中的概率为1，令10.9，所以，两边取常用对数，得n10.3.因为nN，所以n11.所以至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机
