1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 必修2第一章 立体几何初步成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2立体几何初步 第一章 第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2本章归纳总结第一章 第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2专 题 探 究 3知 识 结 构 1知 识 梳 理 2即 时 巩 固 4第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2知 识 结 构第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程
2、学习指导 北师大版 数学 必修2第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2知 识 梳 理第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修21多面体的结构特征对于多面体的结构要从其反映的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式第一章 本章归纳总结成才
3、之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修22旋转体的结构特征旋转体是一个封闭平面图形沿一个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转生成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质3表面积与体积的计算有关柱、锥、台、球的表面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修24.三视图与直观图的画法三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三
4、视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化5直线和平面平行的判定方法(1)定义：aa；(2)判定定理：ab，a，b a；(3)线面平行的性质：ba，b，a a；(4)面面平行的性质：，a a.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修26线线平行的判定方法(1)定义：同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线(2)公理：ab，bcac；(3)平面几何中判定两直线平行的方法；(4)线面平行的性质：a，a，bab；(5)线面垂直的性质：a，bab；(6)面面平行的性质：，a，bab.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修27证
5、明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与 内任何直线垂直a；(2)判定定理 1：m、n，mnAlm，lnl；(3)判定定理 2：ab，ab；(4)面面平行的性质：，aa；(5)面面垂直的性质；，l，a，ala.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修28证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为 90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a，b ab；(4)线面垂直的性质：a，bab.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修29判定两个平面平行的方法(1)依定义采用反证法；(2)利用判定定理：a，b
6、，a，b，abA；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行：a，a；(4)平行于同一平面的两个平面平行：，.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修210平行关系的转化由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时应把握这一点，灵活确定转化的思路和方向第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修211判定两个平面垂直的方法(1)利用定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直(2)判定定理：a，a.第一章
7、 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修212垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2专 题 探 究第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修21.考查空间几何体的三视图与几何体之间的相互转化，进而考查空间想象能力解决此类问题的
8、主要依据是三视图的概念及画法规则2考查几何体的表面积与体积，解决此类问题时要善于将几何体分割转化成柱、锥、台、球，另外要善于把空间图形转化为平面图形，特别注意应用柱、锥、台体的侧面展开图3考查三视图与体积、面积的综合问题解题的关键是把三视图还原成几何体再进行求解空间几何体的三视图及面积、体积问题第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2例1 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的主视图和俯视图第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必
9、修2(1)请画出该安全标识墩的左视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线BD平面PEG.思路分析(1)结合几何体的结构及所给的主视图和俯视图画出左视图；(2)解题时先把三视图中的数据还原到几何体中，然后把几何体的体积转化为正四棱锥和长方体的体积来求解(3)把证BD平面PEG转化为证HF平面PEG，只需证HF与平面PEG中的两条相交直线垂直即可第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2规范解答(1)左视图同主视图(略)(2)该安全标识墩的体积为 VVPEFGHVABCDEFGH13402604022032 00032 00064 000(cm3)(3)如
10、图，连接 EG、HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O 点，连接 PO，由正四棱锥的性质可知，PO平面 EFGH，POHF.又EGHF，HF平面 PEG.又BDHF，BD平面 PEG.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为轴的一个旋转要用动态的眼光看问题求解翻折问题的基本方法是：先比较翻折前后的图形，弄清在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些不变，特别要抓住不变量，一般地，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是变化了的，然后将不变的
11、条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立体几何问题平面图形的翻折问题第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2例 2 如下图所示，在矩形 ABCD 中，AB3 3，BC3.沿对角线 BD 将BCD 折起，使点 C 移到点 C，且 CO平面 ABD 于点 O，点 O 恰在 AB 上(1)求证：BC平面 ACD；(2)求点 A 到平面 BCD 的距离第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2规范解答(1)因为 CO平面 ABD，O 在 AB 上，AD平面 ABD，所以 CODA.因为 ABDA 及 ABCOO，所以
12、 DA平面 ABC，BC 平面 ABC.所以 DABC.又因为 BCCD，所以 BCCD.因为 DACDD，所以 BC平面 ACD.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2(2)如图所示，过 A 作 AECD，垂足为 E.因为 BC平面 ACD，所以平面 BCD平面 ACD.所以 AE平面 BCD.故 AE 的长就是 A 点到平面 BCD 的距离由(1)知 AD平面 ABC，所以 DAAC.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2在 RtACB 中，AC AB2BC23 2.在 RtBCD 中，CDCDAB3 3.在 RtCA
13、D 中，由面积关系得AEACADCD 3 233 3 6.故点 A 到平面 BCD 的距离是 6.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2规律总结 1.翻折与展开是一个问题的两个方面，不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相对变化及元素间的大小与位置关系哪些不变，哪些变化，这是至关重要的2本题通过作 AE，再证 AE面 BCD，按照点到平面的距离的定义去找垂线段的方法得到距离通常有“积不离高”的说法，于是该例的距离也可用等体积法求得：设 A 到平面 BCD 的距离为 h，则有 VBACDVABCD，即13BCSACD13hSBCD.第一
14、章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2“切、接”问题主要涉及球，一般来说需将问题转化为平面问题，作一适当的截面，如圆锥的轴截面，球的大圆，多面体的对角面等，这个截面必须反映出体与体之间的位置关系和数量关系涉及“切”“接”问题的有关计算例 3 已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a，(1)求它的外接球的体积；(2)求它的内切球的表面积第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2解析(1)设外接球的半径为 R，球心为 O，则 OAOCOS，点 O 为SAC 的外心，即SAC 外接圆的半径就是外接球的半径ABBCa，AC 2a.SA
15、SCAC 2a，SAC 为正三角形不难求出外接球的半径为 R 63 a，V 球43R38 627 a3.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2(2)设内切球的半径为 r，作 SE平面 ABCD，垂足为点 E，作 SFBC 于点 F，连接 EF，则有 SF SB2BF2 2a2a22 72 a，SSBC12BCSF 74 a2.S 棱锥全4SSBCS 底(71)a2.又 SE SF2EF2 72 a2a22 62 a，第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2V 锥13S 底h 66 a3.r 3V锥S棱锥全 42 612a，S
16、 球4r24 73a2.规律总结 处理“切、接”问题的两种方法处理多面体之间或多面体与球之间或旋转体与球之间的内切(内接)或外接(外切)关系问题时，一般可以采用两种转化的方法：一是转化为平面图形之间的内切或外接关系；二是利用分割的方式进行转化，使运算和推理变得更简单，这里体现的转化思想是立体几何中非常重要的思想方法.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修21.判定线面平行的方法有：(1)线面平行的判定定理；(2)平面与平面平行的性质定理2判定两个平面平行的方法有：(1)定义法；(2)利用判定定理；(3)利用由判定定理得到的结论；(4)垂直于同一条直线的两个平面
17、平行；(5)平行于同一平面的两个平面互相平行3在处理问题时要注意线线平行、线面平行、面面平行的相互转换直线、平面平行第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2例 4(陕西高考)如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O底面 ABCD，ABAA1 2.(1)证明：平面 A1BD平面 CD1B1；(2)求三棱柱 ABDA1B1D1 的体积第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2规范解答(1)由题设知，BB1 DD1，BB1D1D 是平行四边形，BDB1D1.又 BD 平面 CD1B1，B
18、D平面 CD1B1.A1D1 B1C1 BC，A1BCD1 是平行四边形，A1BD1C.又 A1B 平面 CD1B1，A1B平面 CD1B1.又 BDA1BB，平面 A1BD平面 CD1B1.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2(2)A1O平面 ABCD，A1O 是三棱柱 ABDA1B1D1 的高又 AO12AC1，AA1 2，A1O AA21OA21.又 SABD12 2 21，VABDA1B1D1SABDA1O1.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2直线、平面垂直1.判定线线垂直的方法有：(1)由线面垂直证得线线垂
19、直；(2)利用面面垂直的性质2判定线面垂直的方法主要有：(1)利用线面垂直的定义：l 与 内的任一直线都垂直l；(2)利用判定定理；(3)利用 ab，ab；(4)利用面面平行的性质定理：，aa；(5)利用面面垂直的性质定理：，l，a，ala.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修23判定面面垂直的方法有：(1)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)证明一个平面垂直于另一个平面内的一条直线这两种方法都是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”的问题4关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学
20、必修2例5 如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，侧棱BB1底面ABCD，E是侧棱CC1的中点(1)求证：AC平面BDD1B1；(2)证明：AC平面B1DE.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2证明(1)因为底面 ABCD 是菱形，所以 ACBD，因为 BB1底面 ABCD.所以 BB1AC，所以 AC平面 BDD1B1.(2)设 AC，BD 交于点 O，取 B1D 的中点 F，连接 OF，EF，则 OFBB1，且 OF12BB1.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2又 EC12CC1，BB1CC1，B
21、B1CC1，所以 OFCC1，且 OF12CC1，所以 OFEC，且 OFEC，所以四边形 OCEF 为平行四边形，OCEF，又 AC 平面 B1DE，EF 平面 B1DE，所以 AC平面 B1DE.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2立体几何中的探索性问题在近几年高考中经常出现，这种题型主要以平行、垂直、距离和角的问题等为背景，有利于空间想象能力、分析判断能力的考查，也有利于创新意识的培养，因此应注意高考中立体几何探索性命题的考查趋势立体几何探索性命题的类型主要有：一、探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么；二、探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什
22、么探索性问题第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2 例 6 如 图 所 示，已 知 正 四 棱 柱ABCDA1B1C1D1，点 P 为棱 D1D 的中点，且EOD45，AA12a，ABa.(1)Q 是 BB1 上一点，且 BQ 2 a，求证：DQ平面 EAC；(2)试判断 BP 是否平行于平面 EAC，并说明理由；(3)若点 M 在侧面 BB1C1C 及其边界上运动，并且总保持 AMBP，试确定动点 M 所在位置第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2规范解答(1)ABCDA1B1C1D1 为正四棱柱，ACBD 且 ACBB
23、1，AC平面 BD1.又 DQ 平面 BD1，ACDQ.又在 RtEDO 中，EOD45，OD 22 a，DE 22 a.又 BQ 2 a，可证 DQOE，DQ平面 EAC.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2(2)BP 不平行于平面 EAC.理由如下：若 BP平面 EAC，又 BP DPB，平面 DPB平面 EACOE，BPOE.又 O 为 BD 中点，则 E 为 DP 中点，这与 DPa，DE 22 a 矛盾，故 PB平面 EAC.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2(3)如上图，取 BB1 中点 G，连接 CG，
24、则 MCG.证明如下：由(1)知 BPAC，又取 AA1、CC1 中点 R、S，连接 PR、RG、GS、SP.可知 ABCDRGSP 为正方体，易证 CG平面 BSP.CGBP.则 BP平面 ACG.MCG.规律总结 本题综合性较强，第(2)小问为是否存在问题，证明方法一般为先假设存在，以假设为条件来证明第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2即 时 巩 固第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2一、选择题1若l，m，n是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()A若，l，n，则lnB若，l，则lC若l，
25、l，则D若ln，mn，则lm答案 C解析 对于选项C，若l，则在内必有直线n与l平行，从而n，于是.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修22一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()A至多有一个是直角三角形B至多有两个是直角三角形C可能都是直角三角形D必然都是非直角三角形答案 C第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2解析 注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多在线面垂直关系较多的情况下，如图所示长方体中，三棱锥 AA1C1D1 的三个侧面都
26、是直角三角形第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修23正方体 ABCDA1B1C1D1 中，以顶点 A，C，B1，D1 为顶点的正三棱锥的表面积为 4 3，则正方体的棱长为()A.2 B2C4D2 2答案 A解析 设正方体的棱长为 a，则侧面的对角线长为 2a，正三棱锥 B1ACD1 的棱长为 2a，它的全面积为 4 34(2a)24 3，a22，a 2.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修24(广东高考)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则m nB若，m，n，则mnC若m n，
27、m，n，则D若m，mn，n，则答案 D第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2解析 本题考查空间中直线与平面的平行与垂直关系m，mnn，又 n，由面面垂直的判定定理知：.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修25半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是()A.324R3B 38 R3C.524R3D 58 R3答案 A解析 令母线长为 l，底面半径为 r，则 l2r，l2r，又lR，r12R，高 h l2r2R214R2 32 R.V13r2h1314R2 32 R 324R3.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学
28、习指导 北师大版 数学 必修2二、填空题6长方体ABCDA1B1C1D1中截去一角B1A1BC1，则它的体积是长方体体积的_答案 16解析 设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则 V 长方体abc，VB1A1BC1VA1BB1C11312bca16abc，即 VB1A1BC116V 长方体第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修27棱长为2的正方体内有一个球，并且该球与正方体的六个面相切，则球的体积是_答案 43解析 球的直径等于正方体的棱长，则球的半径为 1，则球的体积为431343.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修
29、28在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120(如图所示)，若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是_答案 32第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2解析 ABC 旋转之后形成的几何体的体积为两圆锥的体积之差又AB2，ABC120，BD1，AD 3，VV1V213352133132.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2三、解答题9(2015北京高考)如图，在三棱锥 VABC 中，平面 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，ACBC 且 ACBC 2，O，M 分别为 AB，VA 的中点(1)求证：VB平
30、面 MOC；(2)求证：平面 MOC平面 VAB；(3)求三棱锥 VABC 的体积第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2解析(1)因为 O，M 分别为 AB，VA 的中点，所以 OMVB.又因为 VB 平面 MOC，OM 平面 MOC所以 VB平面 MOC.(2)因为 ACBC，O 为 AB 的中点，所以 OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC 平面ABC，平面VAB平面 ABCAB所以 OC平面 VAB.又因为 OC 平面 MOC所以平面 MOC平面 VAB.第一章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修2(3)在等腰直角三角形 ACB 中，ACBC 2，所以 AB2，OC1.所以等边三角形 VAB 的面积 SVAB 3.又因为 OC平面 VAB，所以三棱锥 CVAB 的体积等于13OCSVAB 33.又因为三棱锥 VABC 的体积与三棱锥 CVAB 的体积相等，所以三棱锥 VABC 的体积为 33.
