1、第7讲 抛物线 考纲要求考点分布考情风向标1.了解抛物线的定 义、几 何 图形和标准方程，知 道 它 们 的 简单几何性质(范围、对 称 性、顶点、离心率).2.理解数形结合的思想.3.了解圆锥曲线的简单应用2011年新课标卷以求三角形的面积为背景，考查抛物线的方程与几何性质；2012年新课标卷考查双曲线与抛物线的方程及几何性质；2012年新课标卷考查直线、圆与抛物线的综合应用；2013年新课标卷以求三角形面积为背景，考查抛物线的定义及几何性质；2014年新课标卷考查抛物线的定义；2015年新课标卷以求线段长度为背景，考查椭圆、抛物线的几何性质1.本节复习时，应紧扣抛物线的定义、熟练掌握抛物线
2、的标准方程、几何图形、简单的几何性质及其应用.要善于利用抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离进行转化.2.由于高考对抛物线这一知识点的要求属于“掌握”这一层次，而且以抛物线为背景的试题中渗透考查了数学的主要思想，且高考的考查基于“多思少算”的考虑，所以，以抛物线为背景的解答题在高考中明显增多，因此我们应重视这一知识点的复习1.抛物线的定义平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的_.准线标准方程y22pxy22pxx22pyx22py图形焦点准线2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p0)Fp2
3、，0Fp2，0F0，p2F0，p2xp2xp2yp2yp2(续表)标准方程y22pxy22pxx22pyx22py范围x0，yRx0，yRxR，y0 xR，y0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e11.已知抛物线 C：y2016x2，则()A.它的焦点坐标为(504,0)B.它的焦点坐标为(0,504)C.它的准线方程是 y 18064D.它的准线方程是 y504C解析：将抛物线 C：y2016x2 化为标准方程得 x2 12016y，所以其焦点坐标为0，18064，准线方程为 y 18064.2.(2015年陕西)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点B(1,1)，则抛物线焦点坐标
4、为(A.(1,0)C.(0，1)B.(1,0)D.(0,1)解析：由抛物线 y22px(p0)得准线 xp2，因为准线经过点(1,1)，所以 p2，所以抛物线焦点坐标为(1,0).故选 B.3.(教材改编题)已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程是()AA.x212yC.y212xB.x212yD.y212x解析：p23，p6.x212y.4.(2015年陕西)若抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线x2 y21的一个焦点，则p_.解析：抛物线 y22px(p0)的准线方程是 xp2，双曲线x2y21 的一个焦点 F1(2，0)，因为抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线
5、 x2y21 的一个焦点，所以p2 2，解得 p2 2，所以答案应填 2 2.2 2考点 1 抛物线的标准方程例 1：(1)已知抛物线的焦点在 x 轴上，其上一点 P(3，m)到焦点距离为 5，则抛物线的标准方程为()A.y28x B.y28x C.y24x D.y24x答案：B解析：已知抛物线焦点在 x 轴上，其上有一点为 P(3，m)，显然开口向左，设 y22px，由点 P(3，m)到焦点距离为 5，所以点 P(3，m)到准线距离也为 5，即 3p25，p4，故标准方程为 y28x.(2)焦点在直线 x 2y 4 0 上的抛物线的标准方程为_，对应的准线方程为_.答案：y216x(或x28
6、y)x4(或y2)解析：令 x0，得 y2；令 y0，得 x4.抛物线的焦点为(4,0)或(0，2).当焦点为(4,0)时，p24，p8，此时抛物线方程为 y216x.当焦点为(0，2)时，p22，p4，此时抛物线方程为 x28y.所求抛物线方程为 y216x 或 x28y，对应的准线方程分别是 x4 或 y2.【规律方法】第(1)题利用抛物线的定义直接得出 p 的值可以减少运算；第(2)题易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.【互动探究】A1.(2014年新课标)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，A.1B.2C.4D.8解析：根据抛
7、物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0()于到准线的距离，又抛物线的准线方程为 x14，则有|AF|x014，即54x0 x014，x01.考点 2 抛物线的几何性质例2：已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B.3 C.5 D.92解析：由抛物线的定义知，点 P 到该抛物线准线的距离等 于点 P 到其焦点的距离，因此点 P 到点(0,2)的距离与点P 到该 抛物线准线的距离之和即为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点的距离之和.显然，当 P，F，(0,2
8、)三点共线时，距离之和取得最答案：A小值，最小值为0122202 172.【规律方法】求两个距离和的最小值，当两条直线拉直(三点共线)时和最小，当直接求解怎么做都不可能三点共线时，联 想到抛物线的定义，即点 P 到该抛物线准线的距离等于点P 到其焦点的距离，进行转换再求解.【互动探究】A2.已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.2 B.3 C.115 D.3716解析：直线 l2：x1 为抛物线 y24x 的准线.由抛物线的定义知，点 P 到 l2 的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离，故本题转化为在
9、抛物线 y24x 上找一个点 P，使得点 P 到点 F(1,0)和到直线 l1的距离之和最小，最小值为 F(1,0)到直线 l1：4x3y60 的距离，即 dmin|406|52.故选 A.考点 3 直线与抛物线的位置关系例 3：(1)(2013 年大纲)已知抛物线 C：y28x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A、B 两点.若MA MB 0，则 k()A.12B.22 C.2 D.2答案：D解析：抛物线 C 的焦点为 F(2,0)，则直线方程为 yk(x2)，与抛物线方程联立，消去 y 化简得 k2x2(4k28)x4k20.设点 A(x1，y1)，B(x
10、2，y2)，则 x1x248k2，x1x24.所以 y1y2k(x1x2)4k8k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为MA MB(x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简，得 k24k40.所以 k2.图 7-7-1(2)(2014 年新课标)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP4FQ，则|QF|等于()A.72B.52 C.3 D.2|QQ|3，根据抛物线定义可知|QQ|QF|3.故选C.解析：F
11、P4FQ，|FP|4|FQ|.|PQ|PF|34.如图 7-7-1，过 Q 作 QQl，垂足为 Q，设 l 与 x 轴的交点为 A，则|AF|4.|PQ|PF|QQ|AF|34，答案：C【互动探究】AA.4B.4C.p2D.p23.已知抛物线 y22px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2x1x2的值一定等于()解析：若焦点弦 ABx 轴，则 x1x2p2，所以 x1x2p24；若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴，可设 AB：ykxp2，联立 y22px 得 k2x2(k2p2p)xp2k24 0，则 x1x2p24.故 y1y2p2.故y1
12、y2x1x24.思想与方法 利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题 A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 例题：AB为过抛物线焦点的动弦，P为AB的中点，A，B，P在准线l的射影分别是A1，B1，P1.在以下结论中：FA1FB1；AP1BP1；BP1FB1；AP1FA1.其中，正确的个数为()解析：如图 7-7-2(1)，AA1AF，AA1FAFA1，又AA1F1F，AA1FA1FF1，则AFA1A1FF1.同理BFB1B1FF1，则A1FB190，故 FA1FB1.如图 7-7-2(2)，PP1AA1BB12AFBF2AB2，即AP1B为直角三角形，故 AP1BP1.如图 7-7-2(
13、3)，BB1BF，即BB1F 为等腰三角形，PP1PB，PP1BPBP1.又 BB1P1P，PP1BB1BP1，则PBP1B1BP1，即 BP1 为角平分线，故 BP1FB1.如图772(4)，同有AP1FA1.综上所述，都正确.故选 D.(1)(2)(3)(4)图7-7-2答案：D【规律方法】利用抛物线的定义“P 到该抛物线准线的距 离等于点 P 到其焦点的距离”能得到多个等腰三角形，然后利用平行线的性质，得到多对相等的角，最后充分利用平面几何的性质解题.1.对于抛物线的标准方程有四种形式，重点把握好两点：“p”是焦点到准线的距离，恒为正数；要搞清方程与图形的对应性，其规律是“对称轴看一次项
14、，符号决定开口方向”.对抛物线的标准方程要准确把握，注意和二次函数的形式区分抛物线的方程时，要注意对称轴和抛物线开口方向，防止设错抛物线的标准方程.开，例如抛物线 y2x2 化成标准方程为 x212y.用待定系数法求2.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点 M，一个定点 F(抛物线的焦点)，一条定直线 l(抛物线的准线)，一个定值 1(抛物线的离心率).3.抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化在解题中有着重要作用.4.抛物线的焦半径、焦点弦.y22px(p0)的焦半径|PF|xp2；x22py(p0)的焦半径|PF|yp2.过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为 2p.AB 为抛物线 y22px(p0)的焦点弦，则 xAxBp24，yAyBp2，|AB|xAxBp.5.直线与抛物线只有一个交点并不表明直线与抛物线相切，因为直线与对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，但该种关系显然不是相切.因此通过方程判断直线与抛物线的位置关系时，要注意这种特殊情形.
