1、北京市通州区2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1. 函数f（x）lnx的定义域是（ ）A. （0，+）B. 0，+）C. （，0）（0，+）D. R【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的定义域选出正确选项.【详解】由于是对数函数，所以其定义域为.故选：A【点睛】本小题主要考查对数函数的定义域，属于基础题.2. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对选项逐一分析函数在区间上的单调性，由此确定正确选项.【详解】
2、对于A选项，在上递增，不符合题意；对于B选项，在上递增，不符合题意；对于C选项，在上递减，符合题意；对于D选项，在上递增，不符合题意；故选：C【点睛】本小题主要考查函数的单调性，属于基础题.3. 已知函数，那么方程f（x）0的解是（ ）A. B. x1C. xeD. x1或xe【答案】C【解析】【分析】通过解方程求得的解.【详解】依题意，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查函数零点的求法，属于基础题.4. 已知函数f（x）ex（1+x），那么不等式f（x）0的解集是（ ）A. （，e）B. （，1）C. （，1）D. （，e）【答案】B【解析】【分析】结合指数函数的性质，求得不等式的解集.【详
3、解】由于对任意，所以不等式，所以不等式的解集为故选：B【点睛】本小题主要考查含有指数函数的不等式的解法，属于基础题.5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，那么等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据诱导公式化简得，再根据三角函数单位圆定义即可求得答案.【详解】解：根据题意，由三角函数的单位圆定义得： 故选：B.【点睛】本题考查三角函数的定义，诱导公式，是基础题.6. 已知等比数列an的公比为，且a22，那么a6等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据等比数列通项公式求得.【详解】由于是等比数列，所以.故选：D
4、【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.7. 已知双曲线的一条渐近线方程为y2x，那么该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据和的关系求得离心率.【详解】由于双曲线的渐近线为，所以，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.8. 已知函数f（x）2ax2+（a+2）x+1（a0），那么不等式f（x）0的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对因式分解，比较所得两根的大小，由此求得的解集.【详解】依题意，令，由于，故解得，且，所以解集为.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解
5、法，属于基础题.9. 已知关于x的不等式2xa0在区间上有解，那么实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用分离常数法，结合指数函数的性质，求得的取值范围.【详解】由于关于的不等式在区间上有解，所以存在，使得，也即，由于在上递增，当时，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查存在性问题的求解，属于基础题.10. 已知函数，若函数g（x）f（x）+2x+lna（a0）有2个零点，则数a的最小值是（ ）A. B. C. 1D. e【答案】A【解析】【分析】令，将问题转化为函数与函数的图象有两个不同的交点来求解.【详解】令得，若有两个零点，则函数与函数的图象有两个不同
6、的交点.画出函数与函数的图象如下图所示，当直线过点时，两个函数图象有两个交点，此时.由图可知，当直线向下平移时，可使两个函数图象有两个交点，所以，所以的最小值为.故选：A【点睛】本小题主要考查函数零点问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11. 在ABC中，已知AC2，BC3，B，那么sinA_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理列方程，解方程求得.【详解】依题意，由正弦定理得，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.12. 已知等差数列an满足a11，a35，那么数列an的前8项和S8_【答案】【解析】
7、【分析】先求得，再求得.【详解】依题意，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和公式，属于基础题.13. 已知抛物线的标准方程为，那么该抛物线的准线方程是_【答案】【解析】【分析】根据抛物线的方程直接求解即可.【详解】解：因为抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在正半轴上，且，所以抛物线的准线方程为：.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的准线方程，是基础题.14. 已知二次函数f（x）ax22x+1在区间1，3上是单调函数，那么实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】由于为二次函数，所以
8、，其对称轴为，要使在区间上是单调函数，则需其对称轴在区间两侧，即或，解得，或，或，所以的取值范围是故答案为：.【点睛】本小题主要考查二次函数的单调性，属于中档题.15. 已知函数，若对于任意xt，t+1，不等式恒成立，那么实数t的最大值是_【答案】【解析】【分析】判断函数的奇偶性、单调性，根据函数的单调性进行求解即可.【详解】当时，而，函数单调递增，当时，而，函数单调递减，而，所以函数是实数集上的奇函数且是递增函数，因此有：，因为xt，t+1，所以x，要想对于任意xt，t+1，不等式恒成立，则有，实数t的最大值是.故答案为：【点睛】本题考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了奇函数的单调性的应
9、用，考查了数学运算能力.三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证期过程或演算步骤16. 已知等比数列的公比，且，（）求数列通项公式；（）设，求数列的前项和 【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）直接根据等比数列的通项公式列式解方程计算即可；（）先求出，再根据分组求和的方法求解即可得答案.【详解】解：（）根据题意得：，两式相除得：，由于，故， ，所以数列的通项公式为：.（）根据题意得：，根据分组求和的方法得：.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，分组求和法，考查运算能力，是基础题.17. 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（）求b的值；（）求AB
10、C的面积【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（I）利用余弦定理列方程，解方程求得的值.（II）先求得的值，再根据三角形的面积公式求得三角形的面积.【详解】（I）依题意，即，即，解得（负根舍去）.（II）由于，所以，所以【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18. 已知函数f（x）sinxcosxsin2x（）求的单调递增区间；（）求在区间上的最大值和最小值【答案】（I）；（II）最大值为，最小值为【解析】【分析】（I）化简解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间；（II）根据三角函数最值的求法，求得在区间上的最大值和最小值【详解】（I）.由，得，即，所
11、以的单调递增区间为.（II）由于，所以，所以，.所以在区间上的最大值为，最小值.【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间的求法，考查三角函数在给定区间上的最值的求法，属于中档题.19. 如图，在三棱柱中，平面,，分别是的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）不存在.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，交于点，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得则和平面的一个法向量，结
12、合向量的夹角公式，即可求解；（3）设，求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）取的中点，连接，交于点，可知为的中点，连接，易知四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则，设平面法向量为，则，即，令，可得，即，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）假设在棱是存在一点，设，可得，由，可得，设平面的法向量为，则，即，令，可得，即，又由平面一个法向量为，所以，因为平面与平面所成二面角为，可得，解得，此时，不符合题意，所以在棱上不存在一点，使得平面与平面所成二面角为.【点睛】本题考查
13、了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20. 已知函数f（x）满足f（x）+2f（x）x+m，mR（）若m0，求f（2）的值；（）求证：；（）若对于任意x1，e，都有成立，求m的取值范围【答案】（）；（）证明见解析；（）【解析】【分析】（）当m0时，分别在函数解析式中赋值，令和，列出方程组，解出的值；（）在原式中，以x代换x，联立两个方程，解出可证明命题成立；（）
14、由（）代入解析式，参变分离，利用对数函数的单调性求出最值，代入不等式求出m的取值范围【详解】（）m0时，f（x）+2f（x）x，时，时，即，代入上式，解得（）证明：由f（x）+2f（x）x+m可得f（x）+2f（x）x+m，解得f（x）2f（x）x+m，代入上式，解得（）由（），即化简得：又在1，e上单调递减综上：m的取值范围为【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题，考查函数解析式的求法，考查学生逻辑思维能力，属于中档题21. 已如椭圆C：1（ab0）的有顶点为M（2，0），且离心率e，点A，B是椭圆C上异于点M的不同的两点（）求椭圆C的方程；（）设直线MA与直线MB的斜率分别为k1，k2，若k1k2，证明：直线AB一定过定点【答案】（I）；（II）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据顶点坐标求得，根据离心率求得，由此求得，进而求得椭圆方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，根据，求得的关系式，由此判断直线过定点.【详解】（I）由于是椭圆的顶点，所以，由于，所以，所以，所以椭圆方程为.（II）由于是椭圆上异于点的不同的两点，所以可设直线的方程为，设，由消去并化简得，所以，即.，解得，所以直线的方程为，过定点.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题.
