1、12.3 三角形中的几何计算zxx k【学习目标】1运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解有关三角形的问题2掌握三角形的面积公式的推导和简单应用zxx k1三角形的高的计算在ABC 中，边 BC，CA，AB 上的高分别记为 ha，hb，hc，则 ha bsinC csinB，hb _ _，hc _.bsinA练习 1：边长为 a 等边三角形的高为_csinAasinCasinB3a2zxx k2三角形的面积(1)ABC 中用 a 和 BC 边上的高 h 表示三角形面积的公式为_(2)在ABC 中，用 a，b 和角 C 表示三角形面积的公式为_练习 2：ABC 中，已知 A30，b4，c3，
2、则ABC的面积为_3S12ahS12absinCzxx k【问题探究】答案：都适用个？1三角形的面积公式 S12absinC 对任何三角形都适用吗？2三角形的面积公式除了 S12absinC，你还可以写出几答案：S12bcsinA，S12casinB.3上面的三角形的面积公式中涉及的边与角有何关系？答案：两边与它们的夹角zxx k题型 1 求三角形的面积【例 1】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，(1)求角 A；c，若 cosBcosCsinBsinC12.(2)若 a2 3，bc4，求ABC 的面积zxx k解：(1)cosBcosCsinBsinC12，即 cos(BC
3、)12，BC60.从而A120.(2)由余弦定理，得b2c2bca212，又bc4，b2c22bc16.由，得bc4，SABC12bcsinA124 32 3.zxx k理解熟记三角形的面积公式：S12absinC12bcsinA12acsinB.一定要注意是两边的夹角，解题之前一定要进行判断zxx k【变式与拓展】1(2013 年重庆)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别(1)求 A；值，并指出此时 B 的值是 a，b，c，且 a2b2c2 3bc.(2)设 a 3，S 为ABC 的面积，求 S3cosBcosC 的最大zxx k解：(1)由余弦定理，得 cosAb2c2a22bc 3
4、bc2bc 32，A 为三角形的内角，A56.(2)由(1)，得 sinA12，由正弦定理，得 basinBsinA，csinAasinC 及 a 3，S12bcsinA12asinBsinA asinC3sinBsinC，则 S3cosBcosC3(sinBsinCcosBcosC)3cos(BC)，则当 BC0，即 BCA2 12时，S3cosBcosC 取最大值为 3.zxx k题型 2 巧作辅助线求多边形面积【例 2】如图 1-2-16，圆内接四边形 ABCD 的边长分别为AB2，BC6，CDDA4.求四边形 ABCD 的面积图 1-2-16zxx k思维突破：由 CDDA 及等弧所对
5、圆周角相等可知：连接BD 后有ABDDBC，由此求出 BD 的长，然后借助余弦定 理和三角形面积公式求SABD，SBCD.解：连接BD.CDDA，ABDDBC.cosABDcosDBC.22BD24222BD62BD24226BD，解得 BD2 7.zxx k在多边形中构造三角形是解此类题型的常见思路在ABD 中，cosABD22BD24222BD 42816222 72 77.sinABD 1cos2ABD 217.S 四边形 ABCDSABDSDBC12ABBDsinABD12BCBDsinDBC122 7 217(26)8 3.zxx k60，且 cos(BC)【变式与拓展】2在ABC
6、中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B1114.(1)求 cosC 的值；(2)若 a5，求ABC 的面积zxx k解：(1)cos(BC)1114，sin(BC)1cos2BC5 314.cosCcos(BC)Bcos(BC)cosBsin(BC)sinB1114125 314 32 17.zxx k(2)由(1)，可得 sinC 1cos2C4 37.在ABC 中，由正弦定理，得casinCsinA 8.S12acsinB1258 32 10 3.zxx k【例3】在ABC中，AB2，BC4，C30，求ABC的面积易错分析：忽略三角形面积公式的应用条件：已知两边长 及其夹角或
7、夹角的正弦值此题已知的角 C 不是 AB 和 BC 的夹角解：由余弦定理的推论 cosCBC2AC2AB22BCAC，得 AC24 3AC120，解得 AC2 3.SABC12ACBCsinC122 34sin302 3.zxx k方法规律小结1求三角形的面积问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的面积2利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系3许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时，要及时考虑其他公式列式4若问题有单位，回答时要注意书写zxx k13 实习作业(略)zxx k
