1、第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算 1.平面向量基本定理(1)基底：平面内_的向量e1,e2叫做表示这一平面内的所 有向量的一组基底.(2)平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面 内的任意向量a,有且只有一对实数 1,2,使a=_.不共线 1e1+2e2 2.平面向量的坐标表示(1)向量的夹角：定义：如图，已知两个_ a和b，作 则向量a与b的夹角是 或AOB.范围：向量a与b的夹角的范围是 _.非零向量 OA,OB，ab0 180 当 0时,a与b_；当 180时,a与b_.当=90时,a与b_.(2)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相
2、_的向量，叫做把向量正交分解.同向 反向 垂直 垂直(3)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一 向量a可表示成a=xi+yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，把 有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=_，其中a在x轴 上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.(x,y)3.平面向量的坐标运算 向量的加 法、减法 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a+b _，a-b_ 向量的 数乘 设a=(x,y),R，则 a=_ 向量坐标 的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即 为向量的坐标 设A
3、(x1，y1)，B(x2，y2)，则 _(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x,y)AB(x2x1，y2y1)4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0，则a,b共线ab _.x1y2-x2y1=0 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)在ABC中，向量 的夹角为ABC.()(3)若a,b不共线，且 1a+1b=2a+2b，则 1=2,1=2.()AB,BC(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何 一个向量都可被这组基底唯一表示.()(5)若a(x1，y1)，b(x2
4、，y2)，则ab的充要条件可表示 成 ()1122xy.xy【解析】(1)错误.只有不共线的两个向量才能作为平面的一 组基底.(2)错误.由向量夹角的定义知在ABC中，向量 的夹角 为ABC的补角.(3)正确.由1a+1b=2a+2b，得(1-2)a+(1-2)b=0.又a,b不共线，故1-2=1-2=0,从而1=2,1=2.AB,BC(4)正确.由基底的定义及平面向量基本定理知正确.(5)错误.因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1.若向量a(1，1)，b(1，1)，c(4，2)，则c()(A)3a+b (B)3a-b(C)-a+3
5、b (D)a+3b【解析】选B.设c=xa+yb，则 c=3a-b.xy4x3xy2y1 ，2.在正方形ABCD中，的夹角是()(A)90 (B)45 (C)135 (D)0【解析】选C.由于ABD=45，而 的夹角是ABD的 补角，因此 的夹角为135.ABBD与ABBD与ABBD与3.设向量a(1，3)，b(2，4)，若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c()(A)(4，6)(B)(4，6)(C)(4，6)(D)(4，6)【解析】选C.设c(x，y)，则4a+(3b-2a)+c=0，4 6 2x0 x412 12 6y0y6.，4.若A(0，1)，B(1，2
6、)，C(3，4)，则 =_.【解析】由题意知 答案:(-3，-3)AB2BCAB11 BC2 2，AB2BC112 2 233.故，5.已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，则实数m_.【解析】ab(1，m1).(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案:1 考向 1 平面向量基本定理及其应用【典例1】(1)下列各组向量：e1=(-1,2)，e2=(5,7)；e1=(3,5),e2=(6,10)；e1=(2,-3),e2=()，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()(A)(B)(C)(D)13,24(2)(2013天津模拟)如图，在ABC中，DEBC 交A
7、C于E，BC边上的中线AM交DE于N.设 用a,b表 示向量 2ADAB,3AB,AC，abAE,BC,DE DN,AM,AN.，【思路点拨】题号 分析(1)判断向量e1,e2是否共线即可(2)由题意知平面的基底，找准向量的起点和终点，利用向量的加法和减法，转化表示即可【规范解答】(1)选A.中的两向量不共线；中e1=e2，故两向量共线；中e2=e1，故两向量共线.综上，只有 中的两向量可作为平面的一组基底.(2)DEBC，12142ADAB,322AEAC.33BCACAB.bba由ADEABC，得 又AM是ABC的中线，DEBC，22DEBC.33ba11DNDE.23111AMABBC.
8、2222ADNABM,ADAB321ANAM.33又，baabaabab【互动探究】在本例题(2)图中，连结CD交AM于点P，若 求,的值.APAM,CPCD ，【解析】22CDADACABAC33，ab11AMABAC.22ACAPPCAPCPAMCD112()()2232()().AC232 又，ababababb4205233.152 ，解得，【拓展提升】用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.【变式训练】
9、如图所示，E,F分别是四边形ABCD的对角线AC,BD的中点，已知 AB,BC,CD,DAEF.，求向量abcd【解析】方法一：连结AF,ACABBC11AEAC.22BD11BFBD221AFABBF2111EFAFAE.222，又，ababbcbcabcabcabacDBAC,1111DFDB,AEAC222211AFDFDA.22111EFAFAE.222 方法二：，可得daabdaabdadadadabbd考向 2 平面向量的基本运算【典例2】(1)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1)，则a-2b=()(A)(6,3)(B)(7,3)(C)(2,1)(D)(7,2)(2)已知点A
10、(2，1)，B(0，2)，C(-2，1)，O(0，0)，给出下面的结论：直线OC与直线BA平行；其中正确结论的个数是()(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个(3)已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且 =_.ABBCCA;OAOCOB;ACOB2OA.CM3CA，CN2CBMN，则向量【思路点拨】(1)利用向量坐标运算的法则求解即可.(2)根据向量的共线及向量坐标运算的法则逐一验证即可.(3)利用平面向量的基本概念及其坐标表示求解.【规范解答】(1)选B.a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).2C.OC2,1,BA2,1OCBAOC BAOCBAABBC
11、AC;OAOC0 2OB;OB2OA4 0 AC4 0.C.选由题意得，故，又，无公共点，故，正确；，故错误，故正确，故正确所以选(3)A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，答案:(9，-18)CA1 8 CB6 3.CM3CA3 1 83 24CN2CB2 6 312 6.MNCNCM12 63 24918.，【拓展提升】两向量相等的充要条件及其应用 两向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)相等的充要条件是它们的对应坐 标分别相等，即 利用向量相等可列出方程组求其中 的未知量，从而解决求字母的取值、点的坐标及向量的坐标 等问题.【提醒】当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即为
12、终点 坐标；反之也成立.1212xxyy，【变式训练】已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，O为坐标 原点.设 (1)求3a+b-3c.(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.AB,BC,CACM3,CN2.，且abccb【解析】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8).(1)3a+b-3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42).(2)mb+nc(6mn，3m8n)(5，5)，6mn5m13m8n5n1.，解得，考向 3 平面向量共线的坐标表示【典例3】(1)已知向量a=(1-sin ，1)，b=(1+sin )，若ab，则锐角 等于()
13、(A)30 (B)45(C)60 (D)75(2)已知a=(1,0),b=(2,1),当k为何值时，ka-b与a+2b共线；若 且A，B，C三点共线，求m的值.1,2AB23,BCmabab【思路点拨】题号 分析(1)运用两向量平行的充要条件转化为三角函数知识解决(2)根据向量共线的条件得到k的方程 利用向量共线的坐标表示解题【规范解答】(1)选B.由ab得，(1-sin)(1+sin)-1 =0，解得sin=又为锐角，所以=45.122.2(2)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).ka-b与a+2b共线，2(k-2)-(-1)
14、5=0,即2k-4+5=0,得k=方法一:A，B，C三点共线，1.2ABBC.2,323m,m.3m,2 abab即解得方法二：=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),A，B，C三点共线，8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,ABBCABBC，3m.2【拓展提升】1.向量共线的两种表示形式.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=b(b0)；ab x1y2-x2y1=0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用.2.两向量共线的充要条件的作用.判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问
15、题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值.【变式训练】(1)若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，则x=_.【解析】a=(-1,x)与b=(-x,2)共线，(-1)2-x(-x)=0，x=a与b方向相同，x=答案:2.2.2(2)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线，则 的 值为_.【解析】由条件得 根据三点共线得(a-2)(b-2)=4，整理得2(a+b)=ab，答案:11abABa2,2,AC2,b2，ab1111,.ab2ab2所以即12【易错误区】忽视分类讨论致误【典例】(2013信阳模拟)已知平行四边形的三个顶点的
16、坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5)，求第四个顶点的坐标.【误区警示】(1)解答此题时容易出现的错误是思维定势，认为平行四边形只是如图1所示的一种情形，从而忽视了另外的两种情形.图1(2)若已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标，则点D的坐标只有一种情形，而此题中给出了平行四边形的三个顶点，并没有给出顺序，故应存在三种可能.【规范解答】如图2所示，设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y).图2(1)若四边形ABCD1为平行四边形，则 D1(-3,-5).1ADBC，1ADx1,y BC2,5,x12x3y5y5.而，解得，(2)若四边形ACD2B为平行
17、四边形，则 D2(5,-5).2ABCD，2AB4,0,CDx1,y5x14x5y50y5.而，解得，(3)若四边形ACBD3为平行四边形，则 D3(1,5).综上所述，平行四边形的第四个顶点的坐标为(-3,-5)或(5,-5)或(1,5).3ADCB，3ADx1,y CB2,5,x12x1y5y5.而，解得，【思考点评】1.注意转化方法的利用 求点的坐标可转化为求向量的坐标，通过设出所求点的坐标，进而求得向量的坐标，利用向量的共线或向量的相等建立方程(或方程组)，进而求得点的坐标.2.注意分类讨论思想的运用 由于平行四边形的形状和位置不确定，故应进行分类讨论，将平行四边形的各种情况考虑全，以
18、免漏解.1.(2012广东高考)若向量 则 =()(A)(-2,-4)(B)(2,4)(C)(6,10)(D)(-6,-10)【解析】选A.BA2,3 CA4,7，BC BCBAACBACA2,34,72,4.2.(2013厦门模拟)如图，正方形ABCD内有一个正三角形ABE,设 则 等于()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.故选B.AB,AD，ijDE1124ij12322ij1124ij12322ij123123DEDC()DAABAD222212322，ij3.(2013南平模拟)已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点，点 C在AOB内，且AOC=45，设 则 的值为()OC
19、OAOBR，112A 1BCD323【解析】选D.如图，过C作CEx轴于点E，则|OE|=|CE|=2，所以 所以(-2，0)=(-3，0)，故 故选D.OCOEOBOAOB,OEOA 即，2.3 4.(2012山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单 位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_.OP【解析】设圆心运动到C时，圆与x轴的切点为D，则弧PD的长 为2，所以PCD=2,点P的横坐标为2-cos(2-)=2-sin 2，点P的纵坐标为1+sin(2-)=1-cos 2，所以点P的坐标为(2
20、-sin 2,1-cos 2)，即 的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).答案:(2-sin 2,1-cos 2)22OP1.在平面直角坐标系中,若O为坐标原点,则A，B，C三点在同 一直线上的充要条件为存在唯一的实数,使得 成立,此时称实数 为“向量 的终点 共线分解系数”.若已知P1(3,1)，P2(-1,3),P1，P2，P3三点 共线且向量 与向量a=(1,1)垂直,则“向量 和 的终点共线分解系数”为()(A)-3 (B)3 (C)1 (D)-1 OCOA 1OB OCOAOB关于和3OP31OPOP关于2OP【解析】选D.(t0),(t,-t)=(3,1)+(1-)(-1,3
21、)=(4-1,3-2),两式相加得2+2=0,=-1.33OP1,1,OP(t,t)由与向量垂直 可设a312OPOP(1)OP 由得41t32t ，2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量 其中a(3,1)，b(1,3).若 a b，且0 1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()OAOB，abOC【解析】选A.方法一：由题意知 =(3+,+3),设 C(x,y),则 由于01，整理得 画出该不等式组所表示的平面区域，可知选A.OC31xy,x388y313xy.88 ，解得，31130 xyxy1,8888 所以3xy0 xyx3y8.，方法二：由题意知 =(3+,+3)，取特殊值，=0，区域中包含该点，因此只有A项正确.OC11 3C()22 2，则，3.对于n个向量a1,a2，an，若存在n个不全为零的实数k1,k2,kn，使得k1a1+k2a2+knan=0成立，则称向量a1,a2,an是线性相关的.按此规定，能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1)，a3=(2，2)是线性相关的实数k1,k2,k3的值依次为_(只需写出一组值即可).【解析】根据线性相关的定义，得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0，令k3=1,则k2=2,k1=-4,k1,k2,k3的一组值为-4,2,1.答案:-4,2,1(答案不唯一)12323kk2k0,k2k0,
