1、第七节抛物线课标要求考情分析1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2理解数形结合的思想3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.1.抛物线的定义、标准方程、几何性质是近几年高考命题方向方向的热点2常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇命题方向方向3题型主要以解答题的形式出现，属于中高档题，有时也会以选择题、填空题的形式出现，属中低档题. 知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线数学表达式：|MF|d(其中d为点M到准线的距离)当定点在定直线上时，
2、轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线知识点二抛物线的标准方程及几何性质抛物线常见的几何性质1焦半径、通径：抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径过焦点垂直于对称轴的弦称为通径，通径长等于2p，是过焦点最短的弦2直线AB过抛物线y22px(p0)的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图可得y1y2p2，x1x2.|AB|x1x2p，x1x22p，即当x1x2时，弦长最短为2p.为定值.弦长AB(为AB的倾斜角)以AB为直径的圆与准线相切焦点F对A，B在准线上射影的张角为90.1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”
3、或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线y24x的焦点到准线的距离是4.()(3)若一抛物线过点P(2,3)，其标准方程可写为y22px(p0)()2小题热身(1)以x1为准线的抛物线的标准方程为(D)Ay22x By22xCy24x Dy24x(2)设抛物线y22px(p0)的焦点在直线2x3y80上，则该抛物线的准线方程为(D)Ax1 Bx2Cx3 Dx4(3)已知点F，直线l：x，点B是l上的动点若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(D)A双曲线 B椭圆C圆 D抛物线(4)抛物线8x2y0的焦点坐标为
4、.(5)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是.解析：(2)因为抛物线y22px的焦点在2x3y80上，所以p8，所以抛物线的准线方程为x4，故选D.(3)由已知得|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线(4)由8x2y0，得x2y.2p，p，焦点为.(5)M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点F到准线l的距离为2，则C的焦点坐标为()A(4,0) B(2,0)C(1,0) D(，0)(2)已知抛物线y224ax(a0)
5、上的点M(3，y0)到其焦点的距离是5，则该抛物线的方程为()Ay28x By212xCy216x Dy220x【解析】(1)因为抛物线焦点到准线的距离为2，所以p2，所以抛物线的方程为y24x，抛物线的焦点坐标为(1,0)，选C.(2)抛物线y224ax(a0)的准线方程为x6a，点M(3，y0)到其焦点的距离是5，根据抛物线的定义可知，点M(3，y0)到准线的距离也为5，即36a5，a，y28x，故选A.【答案】(1)C(2)A方法技巧1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|
6、PF|x0|f(p,2)或|PF|y0|.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.1已知椭圆x21与抛物线x2ay有相同的焦点F，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|4，则|PA|PO|的最小值为(A)A2 B4C3 D4解析：椭圆x21，c2514，即c2，则椭圆的焦点为(0，2)，不妨取焦点(0,2)，抛物线x2ay，抛物线的焦点坐标为，椭圆x21与抛物线x2ay有相同的焦点F，2，即a8，则抛物线方程为x28y，准线方程为y2，|
7、AF|4，由抛物线的定义得A到准线的距离为4，y24，即点A的纵坐标y2，又点A在抛物线上，x4，不妨取点A坐标为(4,2)，A关于准线的对称点的坐标为B(4，6)，则|PA|PO|PB|PO|OB|，即O，P，B三点共线时，有最小值，最小值为|OB|2，故选A.2设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(C)Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析：由已知得抛物线的焦点F，设点M(x0，y0)，则，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5，得5.
8、又p0，解得p2或p8.考点二抛物线的标准方程及几何性质【例2】(1)设F为抛物线C：y24x的焦点，M为抛物线C上的一点，O为原点，则使OFM为等腰三角形的点M的个数为()A1 B2 C4 D6(2)已知抛物线y24x的焦点为F，以F为圆心的圆与抛物线交于M，N两点，与抛物线的准线交于P，Q两点，若四边形MNPQ为矩形，则矩形MNPQ的面积是()A16 B12C4 D3【解析】(1)当|MO|MF|时，有2个点M满足题意；当|OM|OF|时，有2个点M满足题意所以点M的个数为4，故选C.(2)根据题意，四边形MNPQ为矩形，可得|PQ|MN|，从而得圆心F到准线的距离与到MN的距离相等，所以
9、有M点的横坐标为3，代入抛物线方程，从而求得M(3,2)，N(3，2)，所以|MN|4，|NP|4，所以矩形MNPQ的面积S4416.【答案】(1)C(2)A方法技巧(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化；(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了用数形结合思想解题的直观性.1若抛物线y24x的焦点是F，准线是l，点M(4，m)是抛物线上一点，则经过点F，M且与l相切的圆有(D)A0个B1个C2个D4个解析：因为点M(4，m)在抛物线y24x上，所以可得m4.由于圆经过焦点F且与准线l相切，
10、所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上又圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，故圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点结合抛物线的性质知对于点M(4,4)和(4，4)，线段FM的垂直平分线与抛物线都各有2个交点，所以满足条件的圆有4个，故选D.2抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点已知抛物线y24x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(B)A. B C D解析：将y1，代入y24x，可得x
11、，即A.由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以kAB，故选B.考点三直线与抛物线的位置关系命题方向1焦点弦问题【例3】(1)过抛物线y28x的焦点F作倾斜角为135的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为()A4 B8 C12 D16(2)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F与双曲线4y21的右焦点相同，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A，B两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|DE|的最小值为()A16 B20 C24 D32【解析】(1)抛物线y28x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为1
12、35，故直线AB的方程为yx2，代入抛物线方程y28x，得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|x1x2412416.(2)由双曲线方程知其右焦点坐标为(1,0)，所以1，即p2，所以抛物线C的方程为y24x.由题意可设直线l1的方程为yk1(x1)(k10)，直线l2的方程为yk2(x1)(k20)，则kk1，于是由消去y，得kx2(2k4)xk0，所以xAxB2，同理可得，xDxE2.因为F为抛物线的焦点，所以由抛物线的定义可得|AB|DE|(xAxB)(xDxE)xAxBxDxE2p22488824，当且仅当kk时，|AB|DE|取得最小值24，故选C
13、.【答案】(1)D(2)C命题方向2 直线与抛物线的位置关系【例4】已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|a(a0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y22px(p0)在第一象限分别交于D，C两点(1)若ap，点A与抛物线y22px的焦点重合，求直线CD的斜率；(2)若O为坐标原点，记OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围【解】(1)由题意知A(，0)，则B(a,0)，D(，p)，则C(a，)，又ap，所以kCD1.(2)设直线CD的方程为ykxb(k0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由，得ky22py2pb0，所以4p28pkb0，得kb0，y
14、1y20，可知k0，b0，因为|CD|x1x2|a，点O到直线CD的距离d，所以S1aab.又S2(y1y2)|x1x2|a，所以，因为0kb，所以00直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0)的准线为l，l与双曲线y21的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AB|4，则a.(4)如图，已知抛物线y28x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆(x2)2y21于A，B，C，D四点，则|AB|4|CD|的最小值为13.解析：(1)结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)(2)由消去y得ax2kx
15、b0，可知x1x2，x1x2，令kxb0得x3，所以x1x2x1x3x2x3.(3)抛物线yax2(a0)的准线l：y，双曲线y21的两条渐近线分别为yx，yx，可得xA，xB，可得|AB|4，解得a.(4)抛物线y28x的焦点F(2,0)，圆(x2)2y21的圆心为(2,0)，与抛物线的焦点重合，且半径为1，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，因为直线AD过焦点F，所以x1x24，则|AB|4|CD|(|AF|1)4(|DF|1)|AF|4|DF|5(x12)4(x22)5x14x25252513，当且仅当x14x2，即x14，x21时取“”故|AB|4|CD|的最小值为13.第1课时最值
16、、范围、证明问题考点一最值问题【例1】椭圆1(ab0)的焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，直线l：xa2交x轴于点A，且2.(1)试求椭圆的方程；(2)过点F1，F2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点(如图所示)，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值【解】(1)由题意知，|F1F2|2c2，A(a2,0)，2，F2为线段AF1的中点，则a23，b22，则椭圆方程为1.(2)当直线DE与x轴垂直时，|DE|，此时|MN|2a2，四边形DMEN的面积S4.同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积S4.当直线DE，MN与x轴均不垂直时，设直线DE：yk(x1)
17、(k0)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，代入椭圆方程，消去y可得(23k2)x26k2x3k260，则x1x2，x1x2，|x1x2|，|DE|x1x2|.同理|MN|，四边形DMEN的面积S，令uk2，则S4.uk22，当k1时，u2，S，且S是以u为自变量的增函数，则S4.综上可知，S4，故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为.方法技巧处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参
18、数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.1在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为.解析：双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.2(2018浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围解：(1)证明：设P(x
19、0，y0)，Ay，y1，By，y2.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，因此，PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因为x1(x00)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|2x0.(1)求抛物线C的方程；(2)过点P引圆M：(x3)2y2r2(0r)的两条切线PA，PB，切线PA，PB与抛物线C的另一交点分别为A，B，线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围【解】(1)由抛物线定义，得|PF|x0，由题意得，
20、解得所以抛物线C的方程为y24x.(2)由题意知，过P引圆(x3)2y2r2(02，所以9b0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围解：(1)由题意，得a2c，bc，则椭圆E为1.由得x22x43c20.直线1与椭圆E有且仅有一个交点M，44(43c2)0c21，椭圆E的方程为1.(2)由(1)得M(1，)，直线1与y轴交于P(0,2)，|PM|2，当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|(2)(2)1，|PM
21、|2|PA|PB|，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(34k2)x216kx40，依题意得，x1x2，且48(4k21)0，|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)1，(1)，k2，b0)的离心率为，F为该椭圆的右焦点，过点F任作一直线l交椭圆于M，N两点，且|MN|的最大值为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左顶点为A，若直线AM，AN分别交直线x2a于P，Q两点，求证：PFQF.【解】(1)依题意知2a4，即a2，c1，所以b2a2c23，所求椭圆C的方程为1.(2)证明：由(1)知A(2,0)，F(1,0)()当直线l的斜
22、率不存在时，不妨取M，N，直线AM：y(x2)，所以P(4,3)同理Q(4，3)，所以(3,3)，(3，3)，所以0，所以PFQF.()当直线l的斜率存在时，设直线l：yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(4，y3)，Q(4，y4)由得(34k2)x28k2x4k2120，所以x1x2，x1x2.由A，M，P三点共线得y3，同理y4，所以P，Q，所以，所以99990，所以PFQF.综上，PFQF.方法技巧圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接证明，但有时也会
23、用到反证法.在平面直角坐标系xOy中，点F的坐标为，以线段MF为直径的圆与x轴相切(1)求点M的轨迹E的方程；(2)设T是E上横坐标为2的点，OT的平行线l交E于A，B两点，交曲线E在T处的切线于点N，求证：|NT|2|NA|NB|.解：(1)设点M(x，y)，因为F，所以MF的中点坐标为.因为以线段MF为直径的圆与x轴相切，所以，即|MF|，故 ，得x22y，所以M的轨迹E的方程为x22y.(2)证明：因为T是E上横坐标为2的点，所以由(1)得T(2,2)，所以直线OT的斜率为1.因为lOT，所以可设直线l的方程为yxm，m0.由yx2，得yx，则曲线E在T处的切线的斜率为y|x22，所以曲线E在T处的切线方程为y2x2.由得所以N(m2,2m2)，所以|NT|2(m2)22(2m2)225m2.由消去y，得x22x2m0，由48m0，解得m.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，x1x22m.因为N，A，B在l上，所以|NA|x1(m2)|，|NB|x2(m2)|，所以|NA|NB|2|x1(m2)|x2(m2)|2|x1x2(m2)(x1x2)(m2)2|2|2m2(m2)(m2)2|2m2，所以|NT|2|NA|NB|.
