1、第四节随机事件的概率课标要求考情分析1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率加法公式.1.本节高考中涉及互斥事件与对立事件的概率2该节命题的形式多种多样，以选择题、填空题为主.知识点一频率与概率1事件的相关概念2频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概
2、率概率与频率的区别概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验次数无关，它度量该事件发生的可能性频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同频率是概率的近似值，在实际问题中，仅当试验次数足够多时，频率可近似地看作概率知识点二事件的关系与运算对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件知识点三概率的几个基本性质1概率的取值范围：0P(A)1.2必然事件的概率为1.3不可能事件的概率为0.4概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)5对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事
3、件，P(AB)1，P(A)1P(B)当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值()(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0P(A)1.()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率()2小题热身(1)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是(B)A必然事件 B随机事件C不可能事件 D无法确定(2)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立
4、事件是(D)A至多有一次中靶 B两次都中靶C只有一次中靶 D两次都不中靶(3)一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是(D)A. B.C. D.(4)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为.(5)袋中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回地从中任取3个球，则恰有2个球同色的概率为.解析：(1)抛掷10次硬币，正向向上的次数可能为010，都有可能发生，正面向上5次是随机事件(2)“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”(3)抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)
5、，(3,4)，共6种，和为奇数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种所求概率为.(4)掷两个骰子一次，向上的点数共6636(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P1.(5)从装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个的袋中无放回地任取3个球，共有C20(种)取法，其中恰有2个球同色的取法有CC12(种)，所以恰有2个球同色的概率为P. 考点一事件间关系的判断【例1】(1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是()AA与B是不
6、可能事件BABC是必然事件CA与B不是互斥事件DB与C既是互斥事件也是对立事件(2)一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为，则概率是的事件是()A恰有一个红球 B两个小球都是白球C至多有一个红球 D至少有一个红球【解析】(1)“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B选项都不正确；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D不正确(2)因为1，所以概率是的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至
7、多有一个红球”【答案】(1)C(2)C方法技巧1.互斥、对立事件的判别方法(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件.(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件.,2.解答本例(1)不要忽视了随机事件的所有可能情况，甲既可以分得语文书，也可以分得数学书、英语书.1口袋中装有形状相同的3个白球和4个黑球，从中任取3个球，则：恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是对立事件的为(B)A BC D解析：设“任取3个球，得到i个白球”为事件Ai(i0,1,2,3)“恰有1个白球”为A
8、1，“全是白球”为A3，A1和A3是互斥事件，但不是对立事件；“至少有1个白球”为A1A2A3，“全是黑球”为A0，两事件是对立事件；“至少有1个白球”为A1A2A3，“至少有2个白球”为A2A3，两事件不是互斥事件；“至少有1个白球”为A1A2A3，“至少有1个黑球”为A0A1A2，两事件不是互斥事件故选B.2有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向事件“甲向南”与事件“乙向南”是(A)A互斥但不对立事件 B对立事件C相互独立事件 D以上都不对解析：由于每人一个方向，因此事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生，故是
9、互斥事件，但不是对立事件，故选A.考点二随机事件的频率与概率【例2】已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n0,100)时，拥挤等级为“优”；当n100,200)时，拥挤等级为“良”；当n200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n300时，拥挤等级为“严重拥挤”该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；游客数量(单位：百人)0,100)100,200)200,300)300,400天数a1041频率b(2)某人
10、选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率【解】(1)游客人数在0,100)范围内的天数共有15天，故a15，b，游客人数的平均值为50150250350120(百人)(2)从5天中任选两天的选择方法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中游客等级均为“优”的有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3种，故所求概率为.方法技巧事件A发生的频率是利用频数nA除以试验总次数n所得到的值，且随着试验次数的增多，它在A的概率附近摆动幅度越来越小，即概率
11、是频率的稳定值，因此在试验次数足够的情况下，给出不同事件发生的次数，可以利用频率来估计相应事件发生的概率某鲜花店将一个月(30天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量在各区间的销售天数占总天数的值视为概率.日销售量(枝)(0,50)50,100)100,150)150,200)200,250销售天数3天5天13天6天3天(1)求这30天中日销售量低于100枝的概率；(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择两天做促销活动，求这两天恰好是在日销售量低于50枝时的概率解：(1)设鲜花店日销售量为x枝，则P(0x50)，P(50x100)，所以这30天中日销售量低于100枝的概率
12、P.(2)日销售量低于100枝共有8天，从中任选两天做促销活动，共有28种情况；日销售量低于50枝共有3天，从中任选两天做促销活动，共有3种情况所以所求事件发生的概率P.考点三互斥事件与对立事件的概率【例3】(1)某中学有3个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中1个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为()A.B.C.D.(2)某商场开展促销抽奖活动，摇奖摇出的一组中奖号码是8,2,5,3,7,1，参加抽奖的每位顾客从0,1,2，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客抽出的6个号码中至少有5个号码与中奖号码相同(不计顺序)就可以得奖，那么得奖的概率为()A.
13、 B. C. D.【解析】(1)两位同学参加相同社团，可以理解为两人一起作为一人去参加一个社团，显然概率为P，所以两位同学参加不同社团的概率为1.故选C.(2)设事件A表示“至少有5个号码与中奖号码相同”，事件A1表示“恰有5个号码与中奖号码相同”，事件A2表示“恰有6个号码与中奖号码相同”，则AA1A2，且A1，A2互斥，所以P(A)P(A1)P(A2).故选D.【答案】(1)C(2)D方法技巧求复杂互斥事件的概率的两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率.(2)若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分
14、类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即“正难则反”.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)0.15，P(B)0.12.由于投保金额为2 800元，则赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.(2)设C表示事件“已投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，由频率估计概率得P(C)0.24.
