1、第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面课后篇巩固提升基础巩固1.过四条两两平行的直线中的两条最多可确定的平面个数是()A.3B.4C.5D.6解析两条平行线确定一个平面,由此可知最多 6 个平面.答案 D2.已知 A,B 是点,a,b,l 是直线,是平面,如果 a,b,la=A,lb=B,那么下列关系中成立的是()A.lB.lC.l=AD.l=B解析由公理 1 或画图可知:l.答案 A3.空间中四点可确定的平面有()A.1 个B.3 个C.4 个D.1 个或 4 个或无数个解析当这四点共线时,可确定无数个平面;当这四点不共线且共面时,可确定一
2、个平面;当这四点不共面时,其中任三点可确定一个平面,此时可确定 4 个平面.答案 D4.已知,为平面,A,B,M,N 为点,a 为直线,下列推理错误的是()A.Aa,A,Ba,BaB.M,M,N,N=MNC.A,A=AD.A,B,M,A,B,M,且 A,B,M 不共线,重合解析两平面有公共点,则两平面有一条交线,故 C 错.答案 C5.如图所示,平面 平面=l,A、B,C,Cl,直线 ABl=D,过 A、B、C 三点确定的平面为,则平面、的交线必过()A.点 AB.点 BC.点 C,但不过点 DD.点 C 和点 D解析根据公理判定点 C 和点 D 既在平面 内又在平面 内,故在 与 的交线上.
3、故选 D.答案 D6.若直线 l 与平面 相交于点 O,A,Bl,C,D,且 ACBD,则 O,C,D 三点的位置关系是 .解析如图,ACBD,AC 与 BD 确定一个平面,记作平面,则=CD.l=O,O.又 OAB,OCD,O,C,D 三点共线.答案共线7.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A,a .(2)=a,P 且 P .(3)a,a=A .(4)=a,=c,=b,abc=O .答案(1)C(2)D(3)A(4)B8.如图所示,在空间四边形各边 AD,AB,BC,CD 上分别取 E,F,G,H 四点,如果 EF,GH 交于一点 P,求证:点 P 在直线 BD 上.
4、证明EFGH=P,PEF 且 PGH.EF平面 ABD,GH平面 CBD,P平面 ABD,且 P平面 CBD,P平面 ABD平面 CBD,平面 ABD平面 CBD=BD,PBD.点 P 在直线 BD 上.9.一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面.解已知:abc,la=A,lb=B,lc=C.求证:直线 a,b,c,l 共面.证明:法一:ab,a,b 确定一个平面,la=A,lb=B,A,B,故 l.又ac,a,c 确定一个平面.同理可证 l,=a 且=l.过两条相交直线 a、l 有且只有一个平面,故 与 重合,即直线 a,b,c,l 共面.法二:由法一得 a、b、l 共面,也就是
5、说 b 在 a、l 确定的平面 内.同理可证 c 在 a、l 确定的平面 内.过 a 和 l 只能确定一个平面,a,b,c,l 共面.能力提升1.有下列说法:梯形的四个顶点在同一个平面内;三条平行直线必共面;有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析因为梯形的上下底互相平行,所以梯形是平面图形,故正确;三条平行直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故错误;若两个平面的三个公共点不共线,则两平面重合,若三个公共点共线,两平面有可能相交,故错误,故选 B.答案 B2.在三棱锥 A-BCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点,若 EFHG=
6、P,则点 P()A.一定在直线 BD 上B.一定在直线 AC 上C.在直线 AC 或 BD 上D.不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上解析如图,EF平面 ABC,HG平面 ACD,EFHG=P,P平面 ABC,P平面 ACD.又平面 ABC平面 ACD=AC,PAC,故选 B.答案 B3.已知,是平面,a,b,c 是直线,=a,=b,=c,若 ab=P,则()A.PcB.PcC.ca=D.c=解析如图,由 ab=P,Pa,Pb.=a,=b,P,P,而=c,Pc.答案 A4.三个互不重合的平面把空间分成 n 部分,则 n 所有可能的值为 .解析若三个平面互相平行,则可将空间分为 4 部分;若
7、三个平面有两个平行,第三个平面与其他两个平面相交,则可将空间分成 6 部分;若三个平面交于一线,则可将空间分成 6 部分;若三个平面两两相交且三条交线平行,则可将空间分成 7 部分;若三个平面两两相交且三条交线交于一点(如墙角三个墙面的关系),则可将空间分成 8 部分.故 n的所有可能值为 4,6,7,8.答案 4,6,7,85.空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是 .解析如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,AA1AB=A,AA1A1B1=A1,直线 AB,A1B1与 AA1可以确定一个平面(平面 ABB1A1).AA1AB=A,AA1
8、A1D1=A1,直线 AB,AA1与 A1D1可以确定两个平面(平面 ABB1A1和平面 ADD1A1).三条直线 AB,AD,AA1交于一点 A,它们可以确定三个平面(平面 ABCD,平面 ABB1A1和平面ADD1A1).答案 1 或 2 或 36.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 M,N,E,F 分别是棱 CD,AB,DD1,AA1上的点,若 MN 与 EF 交于点Q,求证:D,A,Q 三点共线.证明MNEF=Q,QMN,QEF.又 MCD,NAB,CD平面 ABCD,AB平面 ABCD,M,N平面 ABCD,MN平面 ABCD.Q平面 ABCD.同理,可得 EF平面 A
9、DD1A1.Q平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1=AD,QAD,即 D,A,Q 三点共线.7.(选做题)在棱长是 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别是 AA1、D1C1的中点,过 D,M,N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线 l.(1)画出交线 l;(2)设 lA1B1=P,求 PB1的长;(3)求点 D1到 l 的距离.解(1)如图,延长 DM 交 D1A1的延长线于点 Q,则点 Q 是平面 DMN 与平面 A1B1C1D1的一个公共点.连接 QN,则直线 QN 就是两平面的交线 l.(2)M 是 AA1的中点,MA1DD1,A1是 QD1的中点.又A1PD1N,A1P=D1N.N 是 D1C1的中点,A1P=D1C1=,PB1=A1B1-A1P=a.(3)过点 D1作 D1HPN 于点 H,则 D1H 的长就是点 D1到 l 的距离.QD1=2A1D1=2a,D1N=,D1H=a.即点 D1到 l 的距离是 a.
