1、第二章2.1.2A级基础巩固一、选择题1已知椭圆1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(D)A4 B5 C7 D8解析由题意知，c2，a2m2，b210m，m210m4，m8.2椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为(A)A B C D解析由题意，得a2c，e.3与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是(B)A1 B1C1 D1解析椭圆9x24y236的焦点为(0，)，(0，)，b2，a225，故选B4(2018全国文，4)已知椭圆C：1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(C)A BC D解析由题意得焦点在x轴，a24228，a2，e.故选C5已知点A(2
2、,0)，B(2,0)，直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为(A)A1(x2) B1(y)C1 D1(y2)解析设P(x，y)，则，3(x24)4y20，1(x2)，选A6(2017全国文，11)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为(A)A B C D解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.二、填空题7椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且1，则椭圆E的方程为1.解析由
3、已知，点C、D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又P点的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b，所以椭圆E方程为1.8椭圆1的离心率为，则m3或.解析当焦点在x轴上时，e，m3.当焦点在y轴上时，e，m.三、解答题9已知椭圆1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直(1)求椭圆的离心率；(2)求PF1F2的面积解析(1)由题意可知a249，b224，a7，b2，c2a2b225，c5，e.(2)由椭圆定义|PF1|PF2|2a14，由题意可知在RtPF1F2中有：|PF1|2|PF2|2(2c)2100，2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2(|PF1|2|PF2|2)1421
4、0096，|PF1|PF2|48.SPF1F2|PF1|PF2|24.B级素养提升一、选择题1过椭圆1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为(B)A8,6 B4,3 C2， D4,2解析椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是.最长的弦为2a4，最短的弦为3，故选B2已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为(A)A1 By21C1 D1解析根据条件可知，且4a4，a，c1，b22，椭圆的方程为1.3若直线yx与椭圆x21(m0且m1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为(D)A1 B C2 D2
5、解析由，得(1m2)x22x6m20，由已知244(1m2)(6m2)0，解得m25，椭圆的长轴长为2.4已知圆C1：x22cxy20，圆C2：x22cxy20，椭圆C：1(ab0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是(B)A BC D解析圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，只需01)上两点A，B满足2，则当m_5_时，点B横坐标的绝对值最大解析如图，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由于椭圆具有对称性，不妨设点B在第一象限，则xB0，yB0.P(0,1)，2，(xA,1yA)2(xB，yB1)xA2xB，即xA2xB设直线A
6、B：ykx1(k0)将ykx1代入y2m，得(14k2)x28kx44m0.(*)xAxBxB，xB2，当4k，即k时，xB取到最大值2，此时方程(*)化为x22x22m0，xAxB2x，即22m8，解得m5.当点B在其他象限时，同理可解设直线AB：ykx1(k0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)由P(0,1)，2，得xA2xB由得(14k2)x28kx44m0，xAxBxB，xAxB2x.消去xB，得m1.|xB|2，当|k|时，|xB|max2，此时m5.三、解答题7(2018北京文，20)已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B(1
7、)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值；(3)设P(2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.解析(1)由题意得解得a，b1.所以椭圆M的方程为y21.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x26mx3m230，所以x1x2，x1x2.所以|AB| .当m0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得x3y3，x3y3.直线PA的方程为y(x2)由得(x12)23yx212yx12y3(x12)20.设C(xC，yC)，所以xCx1.所以
8、xCx1.所以yC(xC2).设D(xD，yD)，同理得xD，yD.记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，则kCQkDQ4(y1y2x1x2)因为C，D，Q三点共线，所以kCQkDQ0.故y1y2x1x2.所以直线l的斜率k1.8(2019天津理，18)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解析(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM,0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.
