1、第5节指数与指数函数考试要求1.通过对有理数指数幂a(a0，且a1；m，n为整数，且n0)、实数指数幂ax(a0，且a1；xR)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知 识 梳 理1.根式的概念及性质(1)n次方根：如果一个实数x满足xna(n1，nN*)，那么称x为a的n次实数方根.当n为奇数时，a的n次方根只有一个，记为x；当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，记为x(a0).(2)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫
2、做被开方数.(3)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，n均为正整数)；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，n均为正整数)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质：asatast；(as)tast；(ab)tatbt，其中s、tQ，a0，b0.4.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0，
3、且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a0，且a1)的图象越高，底数越大.诊 断 自 测1.判断下列结论的正误.(在括号内打“”或“”)(1)4.()(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.()(3)函数y2x1是指数函数.()(4)函数yax21(a1)的值域是(0，).()解析(1)由于4，故(1)错.(2)当0，且a1)的图象经过，则f(1)()A.1 B.2 C. D.3解析依题意可知a2，解得a，所以f(x)，所以f(1).答案C3.(新教材必修第一册P119习题4.2T6改编)设
4、a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.acbC.bac D.bca解析根据指数函数y0.6x在R上单调递减可得0.61.50.60.61，ba0且a1)的图象过定点A，则点A的坐标为_.解析令x2 0200，得x2 020，则y2 021，故点A的坐标为(2 020，2 021).答案(2 020，2 021)6.(2020菏泽一中月考)计算：8_.解析原式1222.答案2考点一指数幂的运算【例1】 化简下列各式：(1)0.00210(2)10_；(2)(a0，b0)_.解析(1)原式50011010201.(2)原式a1b12.答案(1)
5、(2)规律方法1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练1】 化简下列各式：(1)(0.064)2.50；(2)ab2.解(1)原式1110.(2)原式ab3ab3(ab)ab.考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)(组合选择题)已知实数a，b满足等式2 020a2 021b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A. B.
6、 C. D.(2)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.解析(1)如图，观察易知a，b的关系为ab0或0ba或ab0.(2)在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示.当0b1，b1，b0C.0a0D.0a1，b0(2)如果函数y|3x1|m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是_.解析(1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b1.73 B.0.610.62C.0.80.11.250.2 D.1.70.30.93.1解析A中，函数y
7、1.7x在R上是增函数，2.53，1.72.51.73，错误；B中，y0.6x在R上是减函数，10.62，正确；C中，(0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.y1.25x在R上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11, 00.93.10.93.1，错误.答案B规律方法比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.角度2解简单的指数方程或不等式【例32】 (1)(2020南京、盐城模拟)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a
8、的值为_.(2)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是_.解析(1)当a1时，代入不成立.故a的值为.(2)当a0时，原不等式化为71，则2a3，所以3a0.当a0时，则1，0a0且a1)f(x)g(x).(2)af(x)ag(x)，当a1时，等价于f(x)g(x)；当0a1时，等价于f(x)g(x).(3)有些含参数的指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题.角度3指数函数性质的综合应用【例33】 (1)若存在正数x使2x(xa)0，且a1)在区间1，1上的最大值是14，则a的值为_.解析(1)不等式2x(xa)1可变形为xa，如图在同一平面直角坐标系中作出直线yxa与
9、y的图象，由题意知，在(0，)内，直线有一部分在y图象的下方，由图可知，a1.(2)令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a1时，因为x1，1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去).当0abc B.acbC.cab D.bca(2)(多填题)(角度3)若f(x)是R上的奇函数，则实数a的值为_，f(x)的值域为_.(3)(角度2)当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0，a1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).若不等式m0在x(，1上恒成立，则实数m的最大值为_.解析(1)因为a20.21，b0.40.21，c0.
10、40.6b，ac.又y0.4x是以0.4为底的指数函数，且在R上单调递减，所以0.40.20.40.6，即bc，所以abc.(2)函数f(x)是R上的奇函数，f(0)0，0，解得a1，f(x)1.2x11，02，111，f(x)的值域为(1，1).(3)原不等式变形为m2m，因为函数y在(，1上是减函数，所以2.当x(，1时，m2m恒成立等价于m2m2，解得1m0，且a1，解得所以f(x)32x.要使m在区间(，1上恒成立，只需保证函数y在区间(，1上的最小值不小于m即可.因为函数y在区间(，1上为减函数，所以当x1时，y有最小值.所以只需m即可.所以m的最大值为.答案(1)A(2)1(1，1
11、)(3)(1，2)(4)A级基础巩固一、选择题1.(2019南通、扬州模拟)下列函数中，与函数y2x2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()A.ysin x B.yx3C.y D.ylog2x解析y2x2x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.ysin x不是单调递增函数，不符合题意；y是非奇非偶函数，不符合题意；ylog2x的定义域是(0，)，不符合题意；yx3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数，符合题意.答案B2.函数f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()A.y B.y|x2|C.y2x1 D.ylog2(2x)解析f(x)过定点A(1，1)，
12、将点A(1，1)代入四个选项，y的图象不过点A(1，1).答案A3.(2020无锡期中)已知0ba1，则ab，ba，aa，bb中最大的是()A.ba B.aa C.ab D.bb解析0baaa，babb.综上，ab最大.答案C4.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数yf(x)的图象大致为()解析设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，则zb(110.4%)x，故y(110.4%)x，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.答案D5.若函数f(x)a|2x4|(a0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调
13、递减区间是()A.(，2 B.2，)C.2，) D.(，2解析由f(1)，得a2，所以a或a(舍去)，即f(x).由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减.答案B二、填空题6.化简_.解析原式ab.答案7.若函数f(x)有最大值3，则a_.解析令h(x)ax24x3，y，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.答案18.设偶函数g(x)a|xb|在(0，)上单调递增，则g(a)与g(b1)的大小关系是_.解析由于g(x)a|xb|是偶函数，知b0，又g(x)a|x
14、|在(0，)上单调递增，得a1.则g(b1)g(1)g(1)，故g(a)g(1)g(b1).答案g(a)g(b1)三、解答题9.已知函数f(x)为奇函数.(1)求a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明.解(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R；所以f(0)0，所以a1(经检验，a1时f(x)为奇函数，满足题意).(2)由(1)知f(x)1，函数f(x)在定义域R上单调递增.证明如下：设x1x2R，则f(x1)f(x2).因为x1x2，所以3x13x2，所以3x13x20，所以f(x1)0，a1)，其中a，b均为实数.(1)若函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(
15、1，3)，求函数y的值域；(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是1，0，求ab的值.解(1)因为函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)，函数f(x)2x11，函数y0，故函数y的值域为(0，1).(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是1，0，若a1，则函数f(x)axb为增函数，无解.若0a1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与N的大小关系是()A.MN B.MNC.MN解析因为f(x)x2a与g(x)ax(a1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，所以a2，所以M(a1)0.21，NN.答案D12.(2020苏州调研)已知函数f(x)x且满足f(
16、2a1)f(3)，则a的取值范围为()A.a2 B.a2C.1a2 D.a2解析易知f(x)x是R上的偶函数，又当x0时，f(x)x单调递减.由f(2a1)f(3)f(|2a1|)f(3)，|2a1|3，解得1a0，函数f(x)的图象经过点P，Q.若2pq36pq，则a_.解析因为f(x)，且其图象经过点P，Q，则f(p)，即，f(q)，即6，得1，则2pqa2pq36pq，所以a236，解得a6，因为a0，所以a6.答案614.已知定义在R上的函数f(x)2x.(1)若f(x)，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对任意t1，2恒成立，求实数m的取值范围.解(1)当x0，所以2x2，
17、所以x1.(2)当t1，2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，因为22t10，所以m(22t1)，又y22t1，t1，2为减函数，ymax2215，故m5.C级创新猜想15.(多选题)已知3a5b15，则a，b不可能满足的关系是()A.ab4B.ab4C.(a1)2(b1)22D.a2b28解析3a5b15，(3a)b15b，(5b)a15a.3ab15b，5ba15a，3ab5ba15b15a，15ab15ab，abab，则abab2，ab，ab2，abab4，(a1)2(b1)2a2b22(ab)22ab2(ab)22，a2b22ab8，故选ABC.答案ABC16.(多填题)已知函数f(x)的图象关于点对称，则a_，f(x)的值域为_.解析依题设f(x)f(x)1，则1，整理得(a1)4x(a1)2x10.所以a10，则a1.因此f(x)1.由于12x1，01，0f(x)1.故f(x)的值域为(0，1).答案1(0，1)
