1、第9章 第2节一、选择题1(文)(2010枣庄三中)一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为()A80cm3B81cm3C64cm3 D48cm3答案C解析该几何体是一个正四棱锥，其高为h3cm，所以其体积为V64364(cm3)(理)(2010黑龙江哈三中)已知四棱锥PABCD的三视图如图，则四棱锥PABCD的全面积为()A3B2C5 D4答案A解析画出直观图如图其中PD2，底面正方形边长为1，BAAD，PD平面ABCD，BAPA，在RtPAD中，PA，四棱锥的全面积S112123.2(2010全国理)已知正四棱锥SABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它
2、的高为()A1 B.C2 D3答案C解析如图所示，设正四棱锥高为h，底面边长为a，则a，即a22(12h2)，Va2hh(12h2)(h312h)，令f(h)h312h，则f (h)3h212(0h2)，由f (h)0得，h2，此时f(h)有最小值，V有最大值3(2010安徽安庆联考)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离不大于1的概率为()A. B.C. D.答案D解析由条件知，点P所在区域是以A为球心，1为半径的球的，故体积V13，又正方体体积为1，所求概率P.4(文)(2010陕西文，8)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A2 B1
3、C. D.答案B解析由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如图所示，其体积为V11.(理)(2010辽宁锦州)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是(单位：cm3)()A9 B12C18 D24答案C解析观察三视图可知，该几何体是由下、下两个长方体构成直观图如图，上层长、宽、高分别为3cm,3cm,1cm，下层长方体长、宽、高分别为1cm,3cm,3cm，故其体积为33113318.5(2010河南省南阳市调研)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个三棱柱的体积是()A96 B48C24 D16答案B解析已知正三棱柱的高为
4、球的直径，底面正三角形的内切圆是球的大圆设底面正三角形的边长为a，球的半径为R，则a2R，又R3，R2，a4，于是Va22R48.6(文)(2010北京西城区抽检)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为()A.2 B.2C.2 D32答案C解析设圆锥底半径为r，高为h，则球半径R，由条件知，r2h3，h，圆锥侧面积S1rrr2，球面面积S24R242r2，.(理)(2010吉林省调研)如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是斜边长为2a的直角三角形，侧(左)视图是半径为a的半圆，则该几何体的体积是()A.a3 B.a3C.a3 D2a3答案A解析由侧
5、(左)视图半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥将剖面放置在桌面上如图，由条件知，圆锥的母线长为2a，底面半径为a，故高ha，体积Va3.7(文)已知某几何体由三个圆柱和大小相同的两个半球组成，它的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：dm)，可得这个几何体的表面积是()A.dm2 B9dm2C.dm2 D11dm2答案A解析由三视图可知该几何体左、右各是半球和两个圆柱，半球的直径为2，圆柱的高为1，底面直径为2，中间圆柱的高为3，底面直径为1，故几何体的表面积由一个球的面积，中间圆柱的侧面积，左右两个圆柱的侧面积和左右两个
6、圆柱与中间圆柱形成的两个圆环面积S球424，中间圆柱侧面积S1133，左右两个圆柱的侧面积S22(21)4，圆环面积S32，几何体的表面积S434dm2.点评解决这类问题的关键是由三视图探求该几何体的形状本题中的几何体两端是相同大小的半球，还有两个大小相同的圆柱，中间有一个圆柱值得注意的是：通过观察三视图知道，三个圆柱的底面是和半球的圆面重合或平行的，并且中间圆柱的底面与两端圆柱的底面有一部分重合只有了解了几何体的结构形状才能保证运算准确(理)(2010北京东城区)如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图(2)
7、水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为()A29cmB30cmC32cmD48cm答案A解析如图(2)，设下面圆柱高度为H，则上面小圆柱内液面高度20H，又设余下部分为h，则图(3)中，下面圆柱高度为h20H，故上面圆柱液面高度为28(h20H)H8h，由两圆柱内液体体积相等得9H(20H)(h20H)9(H8h)，h9，几何体总高度为20929cm.点评抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度，本题中若设几何体的总高度为H，由几何体的总容积一定，内装液体的体积一定可得空闲部分的体积相等，32(H28)12(H20)，
8、H29(cm)，解题过程就简捷多了8(文)(2010北京文，8)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2.动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上若EF1，DPx，A1Ey(x，y大于零)，则三棱锥PEFQ的体积()A与x，y都有关B与x，y都无关C与x有关，与y无关D与y有关，与x无关答案C解析设P到平面EFQ的距离为h，则VPEFQSEFQh，由于Q为CD的中点，点Q到直线EF的距离为定值，又EF1，SEFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，显然与x有关、与y无关，故选C.(理)(2010北京理，8)如图，正方体ABCDA1B1C
9、1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD、CD上，若EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A与x，y，z都有关B与x有关，与y，z无关C与y有关，与x，z无关D与z有关，与x，y无关答案D解析这道题目延续了北京近年高考的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，EFQ的面积永远不变，为矩形A1B1CD面积的(与x，y的值无关)，而当P点变化(即z变化)时，它到平面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化二、填空题9(2010广州市)有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取
10、一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_答案解析到点O的距离小于等于1的点组成以O为球心的半球，V半球12，V圆柱1222，故所求概率p.10(文)(2010金华十校)球O与棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1各面都相切，则球O的体积为_答案解析球O的直径等于正方体的棱长2，R1，VR3.(理)如图所示，在ABC中，C90，A30，BC1.在三角形内挖去半圆(圆心O在边AC上，半圆分别与BC、AB相切于点C、M，与AC交于点N)，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为_答案解析阴影部分绕AC旋转一周所得旋转体为圆锥中挖去一个球，圆锥的体积V12，球体积V13，故所求体积为.1
11、1(2010北京崇文区)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为_答案242解析由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面边长为2，高为4，故其表面积S222234242.12(文)(2010皖南八校联考)已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积为_答案4cm3解析由三视图可知，此几何体为底面是直角梯形的四棱锥PABCD，其中侧棱PA与底面ABCD垂直，其直观图如图，底面的面积为6cm2，此四棱锥的高为h2cm，所以此四棱锥的体积为624cm3.(理)(09辽宁)某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)则该几何体
12、的体积为_m3.答案4解析由三视图知，三棱锥的高为侧视图中直角三角形的竖直边，底面三角形一边上的高恰为左视图中直角三角形的水平边，其直观图如图所示PF2，CE3，AB4，V2344(m3)三、解答题13(文)(2010江苏盐城)如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BC4，E是PD的中点求三棱锥CADE的体积解析CD平面PAD.CD为三棱锥CADE的高，在RtPAD中，SAEDSPAD242.VCADESAEDCD22.(理)(2010山东文，20)在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点
13、，且ADPD2MA.(1)求证：平面EFG平面PDC；(2)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比解析(1)证明：MA平面ABCD，PDMA，PD平面ABCD，又BC平面ABCD，PDBC，ABCD为正方形，BCDC.PDDCD，BC平面PDC.在PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，GFBC，GF平面PDC.又GF平面EFG，平面EFG平面PDC.(2)不妨设MA1，ABCD为正方形，PDAD2，又PD平面ABCD，所以VPABCDS正方形ABCDPD.由于DA平面MAB，且PDMA，所以DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥VPMAB2.所以VPMABVPABCD14.14(文
14、)(2010北京顺义一中月考)如图，四棱锥SABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，P为BC边的中点，AD2，SAAB1.(1)求证：PD平面SAP；(2)求三棱锥SAPD的体积解析(1)SA平面ABCD，PD平面ABCD，SAPD，在矩形ABCD中，AD2，AB1，P为BC中点，APPD，SAAPA，PD平面SAP.(2)易求AP，PD，VSAPDSAPDSA1.(理)(2010山东曲阜一中)如图所示，矩形ABCD中，AD平面ABE，AEEBBC2，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AE平面BCE；(2)求三棱锥CBGF的体积解析(1)AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，A
15、EBC，又BF平面ACE，AEBF，又BFBCB，AE平面BCE.(2)由题意可得，G是AC的中点，连接FG，BF平面ACE，CEBF，又BCBE，F是EC的中点，在AEC中，FGAE，FGAE1，AE平面BCE，FG平面BCF.在RtBEC中，BFCECF，SBCF1，VCBGFVGBCFSBCFFG.15(文)(2010合肥市质检)已知P在矩形ABCD的边DC上，AB2，BC1，F在AB上且DFAP，垂足为E，将ADP沿AP折起，使点D位于D位置，连接DB、DC得四棱锥DABCP.(1)求证：DFAP；(2)若PD1，且平面DAP平面ABCP，求四棱锥DABCP的体积解析(1)APDE，A
16、PEF，DEEFE，AP平面DEF，APDF.(2)PD1，四边形ADPF是边长为1的正方形，DEDEEF，平面DAP平面ABCP，DEAP，DE平面ABCP，S梯形ABCP(12)1，VDABCPDES梯形ABCP.(理)如图(1)，矩形ABCD中，AB2AD2a，E为DC的中点，现将ADE沿AE折起，使平面ADE平面ABCE，如(2)(1)求四棱锥DABCE的体积；(2)求证：AD平面BDE.解析(1)取AE的中点O，由题意知，AB2AD2a，EDEC，ADDE，DOAE，又平面ADE平面ABCE，DO平面ABCE.在等腰RtADE中，ADDEa，DOa，又S梯形ABCE(a2a)aa2，VDABCES梯形ABCEDOa2aa3.(2)连结BE，则BEa，又AEa，AB2a，AB2AE2EB2，AEEB，由(1)知，DO平面ABCE，DOBE，又DOAEOBE平面ADE，BEAD，又ADDE，AD平面BDE.高考资源网w w 高 考 资源 网
