1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算课标要求考情分析1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义1.平面向量的线性运算、共线向量定理是近几年高考命题的热点2常与三角、平面几何知识交汇考查，有时也会命制新定义问题3题型以选择题、填空题为主，属中低档题.知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0
2、，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0向量概念的四点注意(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|0.(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上知识点二向量的线性运算1向量的线性运算(1)利用三角形法则时，
3、两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点(2)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用2共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.若，则A，B，C三点共线的充要条件是1.1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()2小题热身(1)有关向量概念，下列命题中正确的是(D)A若两个向量相等，则它
4、们的起点和终点分别重合B模相等的两个平行向量是相等向量C若a和b都是单位向量，则abD两个相等向量的模相等(2)D是ABC的边AB上的中点，则向量等于(A)A BC. D.(3)对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(4)在平行四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD的形状为矩形(5)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数.解析：(1)A.若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定重合；B.模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方向相反的向量；C.若a和b都是单位向量，则模是相等的，但是两个向量不一定相等
5、；D.两个相等向量的模相等是正确的(2)如图(3)若ab0，则ab，所以ab.若ab，则ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件(4)如图，因为，所以|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形(5)向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则解得.考点一平面向量的概念【例1】(1)下列说法正确的是()A长度相等的向量叫做相等向量B共线向量是在同一条直线上的向量C零向量的长度等于0D.就是所在的直线平行于所在的直线(2)下列命题正确的是()A若|a|b|，则abB若|a|b|，则abC若ab，则abD若|a
6、|0，则a0【解析】(1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确(2)对于A，当|a|b|，即向量a，b的模相等时，方向不一定相同，故ab不一定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B不正确；C显然正确；对于D，若|a|0，则a0，故D不正确，故选C.【答案】(1)C(2)C方法技巧(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征
7、；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上.1给出下列命题：若ab，bc，则ac；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是.解析：正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确
8、命题的序号是.2若a，b都为非零向量，则使0成立的条件是a与b反向共线考点二平面向量的线性运算命题方向1向量加法、减法的几何意义【例2】设非零向量a，b满足|ab|ab|，则()Aab B|a|b|Cab D|a|b|【解析】方法1：|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.方法2：利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知，|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.故选A.【答案】A命题方向2向量的线性运算【例3】(1)如图，四边形ABCD中，ADBC，BC3AD，E为CD的中点，则()A. B.2C.2 D
9、.(2)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，线段AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab【解析】(1)连接AC，3，()(4)2.故选C.(2)如图，作OGEF交DC于点G，由DEEO，得DFFG，又由AOOC得FGGC，于是，那么ab.故选B.【答案】(1)C(2)B命题方向3向量线性运算的应用【例4】已知点M是ABC所在平面内的一点，若点M满足|0且SABC3SABM，则实数_.【解析】如图，设D为BC的中点，则2，因为|0，所以0，所以2，于是A，M，D三点共线，且，又SABC3SABM，所以，又因为SABDSABC且，
10、所以，解得3.【答案】3方法技巧向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.1(方向1)根据图形(如图)，下列结论正确的是(C)ab; ab；ab; ab.A BC D解析：根据向量加法的平行四边形法则，得ab，故中的结论正确；根据向量减法的三角形法则，得ab，故中的结论
11、错误；ab2bab，故中的结论正确；abbab，故中的结论错误故选C.2(方向2)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(A)A. B.C. D.解析：解法1：如图所示，()()，故选A.解法2：()，故选A.3(方向3)已知O为ABC内一点，满足42，则AOB与AOC的面积之比为(D)A11 B12C13 D21解析：如图所示，延长AC到点F，使ACCF，以AB，AF为邻边作平行四边形ABEF，对角线AE交BC于点D，故42，即点O在AE上，则AOB与AOC的高分别为B，C到AE的距离由平行四边形的性质得ADCEDB，且相似比为12，即CDBD12，又因为AOB，AOC的底边均
12、为AO，高的比等于BDDC21，所以AOB与AOC的面积之比为21.考点三共线定理及应用【例5】(1)已知向量e10，R，ae1e2，b2e1，若向量a与向量b共线，则()A0 Be20Ce1e2 De1e2或0(2)已知O为ABC内一点，且()，t，若B，O，D三点共线，则t()A. B.C. D.【解析】(1)因为向量e10，R，ae1e2，b2e1，又因为向量a和b共线，存在实数k，使得akb，所以e1e22ke1，所以e2(2k1)e1，所以e1e2或0.(2)设E是BC边的中点，则()，由题意得，所以()，又因为B，O，D三点共线，所以1，解得t，故选B.【答案】(1)D(2)B方法
13、技巧(1)证明向量共线的方法：应用向量共线定理，对于向量a，b(b0)，若存在实数，使得ab，则a与b共线(2)证明A，B，C三点共线的方法：若存在实数，使得，则A，B，C三点共线若，且1，则A，B，C三点共线1已知向量a与b不共线，amb，nab(m，nR)，则与共线的条件是(D)Amn0 Bmn0Cmn10 Dmn10解析：由amb，nab(m，nR)共线，得存在唯一实数，使得amb(nab)，即所以mn10.2如图，在OPQ中，M，N分别是边OP，OQ的中点，点R在直线MN上，且xy(x，yR)，则代数式的最小值为.解析：因为M，R，N三点共线，所以存在实数t，使得t(1t)，因为M，N分别是边OP，OQ的中点，所以，所以t(1t)，又xy，所以xt，y(1t)，所以xy，所以x2y2，当且仅当xy时，等号成立，所以，即的最小值为.
