1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-1第一章 常用逻辑用语成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 常用逻辑用语 第一章 第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件第一章 第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课前自主预习第一章 1.3 1.3
2、.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 曹操赤壁兵败之后欲投南郡，除华容道外，还有大路一条，前者路险，但近 50 里；后者路平，但远 50 里曹操发现“小路山边有数处起烟，大路并无动静”曹操推断“诸葛亮多谋，使人于山僻烧烟，他却伏兵于大路，我偏不中计！”第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 哪知这正与诸葛亮的推断吻合：曹操熟读兵书，会搬用“虚则实之，实则虚之”的原理，不如来一个实而实之，以傻卖傻，故燃炊烟，最终使曹操败走华容道曹操的错误在于把不可靠的臆测作为已知条件，经过推理，得到的结论当然是不可靠的那么什么样的条件算
3、是充分的？什么样的条件只是必要的？推理所得的结论和条件一定是等价的吗？让我们从本节开始学起吧.第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 1.命题的条件和结论“如果p，则(那么)q”形式的命题，其中_称为命题的条件，_称为命题的结论2集合关系与其特征性质之间的关系是怎样的？答案：1.p，q2一般地，设Ax|p(x)，Bx|q(x)，如果AB，则xAxB，即p(x)q(x)反之，如果p(x)q(x)，则有AB.如果p(x)q(x)，则AB；反之，如果AB，则p(x)q(x).第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选
4、修2-1 一、充分条件与必要条件1p 推出 q 的含义“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q，这时，我们就说，由 p 可推出 q，记作 pq.2充分条件的定义如果 pq，那么 p 是 q 的充分条件3必要条件的定义如果 pq，那么 q 是 p 的必要条件第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 4充分条件与必要条件的关系p 是 q 的充分条件反映了 pq，而 q 是 p 的必要条件也反映了 pq，所以 p 是 q 的充分条件与 q 是 p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同而 p 是 q 的充分条件反映pq，与 q
5、 能否推出 p 没有任何关系第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 已知p：x0，q：x(x1)0；则p是q的_条件答案 充分不必要第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 二、充要条件1充要条件的定义一般地，如果pq，且qq，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作pq.2充要条件的含义若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同，因为这两个命题的条件与结论不同3充要条件的等价说法p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价，或“要使q成立，
6、必须且只需p”，或“反之也成立”第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 a，b为非零向量，“函数f(x)(axb)2为偶函数”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 C第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 由 f(x)f(x)知a(x)b2(axb)2，a2x22abxb2a2x22abxb2，ab0，ab.由以上过程可知，若 ab 亦可推出 f(x)为偶函数第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1
7、三、对充分条件、必要条件、充要条件的理解充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件 p 和结论 q 之间的下列关系1从逻辑关系上看(1)若 pq，但 p/p，则 p 是 q 的充分不必要条件；(2)若 qp，但 p/q，则 p 是 q 的必要不充分条件；(3)若 pq，且 qp，则 p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件；(4)若 p/q，且 q/p，则 p 既不是 q 的充分条件也不是 q的必要条件第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2从集合与集合之间的关系上看建立与p，q对应的集合，即p：Ax|p(x)，q：
8、Bx|q(x).若 AB，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则 p是 q 的充分不必要条件若 BA，则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p是 q 的必要不充分条件若 AB，则 p，q 互为不充要条件若 AB 且 BA，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件提示：这也是充要条件判断的一种方法第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 已知p：x(x3)0，q：|x|2；则p是q的_条件答案 既不充分也不必要解析 由 x(x3)0 得 0 x3，由|x|2 得2x2，因此p/q 且 q/p，故 p 是 q 的既不充分也不必要
9、条件第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 四、充要条件的判定方法1充要条件的判定方法(1)定义法：直接利用定义进行判断(2)等价法：“pq”表示 p 等价于 q，等价命题可以进行转换，当我们要证明 p 成立时，就可以去证明 q 成立(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件 p 和结论 q对应的集合分别为 A 和 B，那么若 AB，则 p 是 q 的充分条件；若 AB，则 p 是 q 的必要条件；若 AB，则 p 是 q 的充要条件第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2充要条件的传递性若 A
10、B，BC，CD，则 AD，即 A 是 D 的充要条件，利用这一结论研究多个命题之间的充要关系3充要条件的证明证明 p 是 q 的充要条件，既要证明命题“pq”为真，又要证明命题“qp”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 注意：充分而必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要采用以下方法：(1)确定条件 p 是什么，结论 q 是什么；(2)尝试从条件推结论，如果 pq，则充分性成立，p 是 q的充分条件；(3)再考虑从结论
11、推条件，如果 qp，则 p 是 q 的必要条件，必要性成立第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 求关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件解析(1)当 a0 时，原方程变为 2x10，既 x12，符合要求(2)当 a0 时，ax22x10 为一元二次方程，它有实根的充要条件是 0，即 44a0，a1.方程 ax22x10 有一个负实根的充要条件是0，x1x20，即a1，1a0.a0.第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方程 ax22x10 有两个负实根的充要条件是 0，x1x20即
12、 a1，2a0.00”等价，即我们可以把 p 转化为 q 来证明这就是数学上重要的转化思想第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2充要条件的探求探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后再证明其充分性(2)等价性：将一个命题等价转换为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件 p 和结论q 转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选
13、修2-1 已知p：|x1|0)；q：x22110 x，且p是q的既不充分也不必要条件，求a的取值范围解析 由|x1|0)，解得 1ax1a，所以 p 对应的集合记为 Ax|1ax0，q 对应的集合记为 Bx|x7显然集合 BA，即 q/p，第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 所以 p 不是 q 的必要条件如果 p 是 q 的充分条件，则 pq，即 AB.所以 1a3，或 1a7.又 a0，所以 02.第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课堂典例探究第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新
14、课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(1)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的_条件(填充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要)(2)分别指出下列各组命题中p是q的什么条件p：(x1)(x2)0，q：x10.p：xy，q：sinxsiny.用定义法判断充分条件与必要条件第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 思路分析 先写成“若p，则q”的形式，然后判断p成立时，q是否成立，q成立时，p是否成立解析(1)充分不必要 当 a1 时，直线 l1 为 x2y10，直线 l2 为 x2y40，显然
15、 l1l2，所以 a1 是 l1 与 l2 平行的充分条件若 l1l2，所以a1 2a114，所以 a2 或 a1.第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)由(x1)(x2)0/x10，由 x10(x1)(x2)0.所以 p 是 q 的必要不充分条件因为由 xysinxsiny，所以 pq.因为 sinxsiny/xy，所以 p 是 q 的充分不必要条件第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方法总结 用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤(1)判定“若 p，则 q”的真假(2)尝试从条件推结
16、论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(1)设点P(x，y)，则“x2且y1”是“点P在直线l：xy10上”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)指出下列各组命题中，p是q的什么条件？p：x1，q：x21；p：ABC有两个角相等，q：ABC是正三角形第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析(1)A 当 x2，y1 时
17、，有 2110 成立，此时 P(2，1)在直线 l 上，而点 P(x，y)在直线 l 上，并不确定有“x2 且 y1”(2)由 x1x21，所以 pq.因为 x21，所以 x1 或 x1，所以 q/p，所以 p 是 q 的充分不必要条件ABC 有两个角相等，则ABC 是等腰三角形，不一定是正三角形，所以 p/q；若ABC 是正三角形，则三个角均相等，即任意两个角都相等，所以 qp，故 p 是 q 的必要不充分条件.第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 用集合法判断充分条件与必要条件(1)p：Ax|x 是正方形，q：Bx|x 是菱形，则 p 是
18、q 的_条件(填充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要)(2)下列各题中，p 是 q 的什么条件？p：Ax|x(x1)0，q：Bx|0 x3p：Ax|12x2，q：Bx|x256x160第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 思路分析 由p和q表示的集合范围大小来确定p，q的条件关系解析(1)充分不必要(2)由集合 A 得，0 x1，所以 A B，所以 p 是 q 的充分不必要条件由集合 A 得，0 x1.由集合 B 得13x12，所以 B A，所以 p 是 q 的必要不充分条件方法总结 集合法判断充分条件与必要条件写出集合 Ax|p(x
19、)及 Bx|q(x)，利用集合间的包含关系进行判断第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(1)(2015湖南理，2)设 A，B 是两个集合，则“ABA”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)改变例题 2 中的集合 A 如下，p 是 q 的什么条件？p：Ax|xx10，q：Bx|0 x3p：Ax|log12(x3)0，q：Bx|x256x160第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析(1)C 由题意得，ABAAB，反之，ABABA，故为充要条件，选
20、C.(2)xx10 x(x1)0 且 x10 x1，所以 Ax|0 x1所以 AB 且 BA.所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 log12(x3)1，所以 Ax|x4，又 x256x16013x12.所以 Bx|13x0，即x0，y0或x0，y0，y0时，|xy|xy|x|y|.当x0，y0，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围思路分析 先化简两个集合，p 是 q 的充分不必要条件所以x|p(x)x|q(x)，由此构造关于 m 的不等式，最后求出 m 的取值范围第一章 1.3 1.
21、3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解 析 解 法 一：令 A xx20 x100 x|2x10，Bx|x22x1m20，m0 x|x(1m)x(1m)0，m0，Bx|1mx1m，m0p 是 q 的充分不必要条件，A B.第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 1m10或1m1m1m0m3m9或m0m3m9m9.所以实数 m 的取值范围是m|m9解法二：p 是 q 的充分不必要条件，p 是q 的必要不充分条件由解法一知，p：Ax|2x10，q：Bx|1mx1m，m0，第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程
22、 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 p：Cx|x10，q：Dx|x1m，m0C D，m01m21m10或m01m21m10m9.所以实数 m 的取值范围是m|m9方法总结 含参数不等式的解法在解含参数不等式时，判断是否需要讨论，若不需讨论，则按一般不等式求解，若需要讨论，则充分考虑参数的范围和可讨论的范围，做到不重不漏第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 已知集合Ax|x23x20，Bx|x2mx20，若A是B的必要不充分条件，求实数m的取值范围解析 化简条件得A1,2，A是B的必要不充分条件，即BA.根据集合中元素个数对集合B分类讨论：B
23、，B1或2第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 当 B时，m280，2 2m2 2.当 B1或2时，0，1m20或42m20，方程组无解综上所述，2 2m2，x1x21即2a124a20，12a0，a21，解得 a1.所以方程有两个大于 1 的根的充要条件是 a1，f10，即2a124a20，2a10，解得 a2，所以方程有两个大于 1 的根的充要条件是 a2.思路分析 正确写出方程有两个大于 1 的根的充要条件是解决本题的关键，根据方程根的分布情况，画出相应的函数的图象，再根据图象的特征，写出其充要条件.第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 充分条件和必要条件 推出pq充分条件理解必要条件理解定义判定应用充要条件理解第一章 1.3 1.3.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课 时 作 业（点此链接）
