1、1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程课时过关能力提升1圆心在点(1,0),且过极点的圆的极坐标方程为() A.=1B.=cos C.=2cos D.=2sin 解析:圆的直角坐标方程是(x-1)2+y2=1,将x=cos ,y=sin 代入上式,整理,得=2cos ,即为此圆的极坐标方程.答案:C2极坐标方程2cos -=0的直角坐标方程为()A.x2+y2=0或y=1B.x=1C.x2+y2=0或x=1D.y=1解析:(cos -1)=0,=x2+y2=0或cos =x=1.答案:C3在极坐标系中,与圆=4cos 相切的一条直线方程为()A.sin =4B.cos =2C.cos =4
2、D.cos =-4解析:圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,四个选项所对应的直线方程化为直角坐标方程分别为y=4,x=2,x=4,x=-4,故选C.答案:C4极坐标方程分别是=cos 和=sin 的两个圆的圆心距是()A.2B.2C.1D.22解析:如图所示,两圆的圆心的极坐标分别是12,0和12,2,这两点间的距离是22.答案:D5以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是()A.=2cos-4B.=2sin-4C.=2cos(-1)D.=2sin(-1)解析:如图所示,设圆心C(1,1),P(,)为圆上任意一点,过C作CDOP于点D.|CO|=|CP|,|O
3、P|=2|DO|.在RtCDO中,DOC=-1,|DO|=cos(-1).|OP|=2cos(-1),=2cos(-1).答案:C6直线33x-y=0的极坐标方程为.(限定0)解析:将x=cos ,y=sin (0)代入直角坐标方程得tan =33,则=6或=76.故极坐标方程为=6(0)和=76(0).答案:=6(0)和=76(0)7在极坐标系中,定点A1,2,点B在直线l:cos +sin =0上运动,当线段AB最短时,点B的极坐标是.解析:将cos +sin =0化为直角坐标方程为x+y=0,点A1,2化为直角坐标为A(0,1).如图,过点A作AB直线l于点B,因为AOB为等腰直角三角形
4、,又|OA|=1,所以|OB|=22,BOx=34,故点B的极坐标是B22,34.答案:22,348化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程,并判断曲线的形状.(1)cos =2;(2)=6cos .解:(1)极坐标方程cos =2化为直角坐标方程为x=2,曲线是过点(2,0),垂直于x轴的直线.(2)=6cos ,2=6cos ,化为直角坐标方程为x2+y2-6x=0,即(x-3)2+y2=9.故曲线是圆心为(3,0),半径为3的圆.9圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=4cos ,=-4sin .(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过圆O1,圆O2的交点的直线的直角坐标
5、方程.解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)x=cos ,y=sin ,由=4cos 得2=4cos ,所以x2+y2-4x=0,为圆O1的直角坐标方程.同理x2+y2+4y=0为圆O2的直角坐标方程.(2)由x2+y2-4x=0,x2+y2+4y=0,解得x1=0,y1=0,x2=2,y2=-2.即圆O1、圆O2交于点(0,0)和(2,-2),过两圆交点的直线的直角坐标方程为y=-x.10在极坐标系中,已知圆C的圆心C3,6,半径r=1,点Q在圆C上运动.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点P在直线OQ上,且OQ=23QP,求动点P的轨迹的极坐标方程.解:(1)圆C的圆心坐标化为平面直角坐标为332,32,所以圆C的平面直角坐标方程为x-3322+y-322=1,化为极坐标方程为2-6cos-6+8=0.(2)设点P的坐标为(,),点Q的坐标为(0,0),则由题意可知0=25,0=.因为点Q在圆C上,所以点Q的坐标适合圆C的方程,代入得252-625cos-6+8=0,整理得动点P的轨迹方程为2-15cos-6+50=0.
