1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时空间中直线、平面的垂直 必备知识自主学习导思1.怎样用向量判断线线垂直？2怎样用向量判断线面垂直？3怎样用向量判断面面垂直？空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lmab0a1b1a2b2a3b30.线面垂直设直线l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量是u(a2，b2，c2)，则lauaku(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR).面面垂直若平面的法向量u(a1
2、，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则 uv uv0a1a2b1b2c1c20.若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面有怎样的位置关系？提示：这两个平面是垂直关系. 直线l的方向向量与平面的法向量共线，说明直线l垂直于平面，又直线l在平面内，所以平面和平面垂直1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直()(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直()(3)两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直()(4)若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂
3、直()提示：(1).直线的方向向量与平面的法向量共线(方向相同或相反)时，直线与平面垂直(2).直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线与平面平行或者在平面内(3).两个平面的法向量垂直，这两个平面就垂直(4).当平面内两条直线的方向向量共线时，直线不一定和平面垂直2(教材二次开发：例题改编)若直线l的方向向量a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，0，4)，则()Al BlCl Dl与斜交【解析】选B.因为n(2，0，4)2(1，0，2)2a，所以na，所以l.3若直线l1的方向向量为u1(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，B(2，1，2)，则两直线的位置关系是_【解析】(1，1
4、，1)，u11131210，因此l1l2.答案：l1l24已知两平面，的法向量分别为u1(1，0，1)，u2(0，2，0)，则平面，的位置关系为_【解析】u1u20，则.答案：关键能力合作学习类型一向量法证线线垂直(数学运算、逻辑推理)1设l1的方向向量为a(1，2，2)，l2的方向向量为b(2，3，m)，若l1l2，则m()A B1 C. 2 D32在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则CE垂直于()AAC BBD CA1D DAA13如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点求证：EFCD；【解析】1.选
5、C.由题意可得ab，所以ab0，所以1(2)23(2)m0，所以m2.2选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，E，B(1，1，0).则(1，1，0)，所以00，所以.所以DBCE.3以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设ADa，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F，所以，(0，a，0)，因为(0，a，0)0，所以EFDC.用向量判断两条直线是否垂直的方法1在两直线上分别取两点A，B与C，D，计算向量与的坐标，若0，则两直线垂直，否则不垂直2判断两直线的方
6、向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直【补偿训练】已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.【证明】设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A，B，C，N，B1，因为M为BC中点，所以M.所以，AB1(1，0，1)，所以AB100.所以AB1，所以AB1MN.类型二向量法证线面垂直(数学运算，逻辑推理)【典例】如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD.四步内
7、容理解题意条件：正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2；D为CC1的中点结论：AB1平面A1BD思路探求方法一：通过证明AB1BA1，AB1，得到AB1BA1，AB1BD方法二：证明AB1与平面A1BD的法向量平行书写表达方法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以，OO1，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0).所以AB1(1，
8、2，)，BA1(1，2，)，(2，1，0).因为AB1BA11(1)22()0.AB11(2)21()00.所以AB1BA1，AB1，即AB1BA1，AB1BD.又因为BA1BDB，所以AB1平面A1BD.方法二：建系同方法一设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则即令x1得平面A1BD的一个法向量为n(1，2，)，又AB1(1，2，)，所以nAB1，即AB1n.所以AB1平面A1BD.题后反思向量数量积为0得到向量垂直后要说明直线垂直以及两直线相交，才能得到线面垂直1坐标法证明线面垂直的两种思路方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直
9、线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行2使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点求证：PC平面BEF.【证明】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系因为APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形所以A(0，0，0)，B(
10、2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).又E，F分别是AD，PC的中点，所以E(0，0)，F(1，1).所以(2，2，2)，(1，1)，(1，0，1).所以2420，2020.所以，.所以PCBF，PCEF.又BFEFF，所以PC平面BEF.类型三向量法证面面垂直(数学运算，逻辑推理)【典例】如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E为BB1的中点，证明：平面AEC1平面AA1C1C.【思路导引】要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1n20.【证明】由题意
11、得AB，BC，B1B两两垂直以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E，则AA1(0，0，1)，(2，2，0)，AC1(2，2，1)，.设平面AA1C1C的一个法向量为n1(x1，y1，z1).则令x11，得y11.所以n1(1，1，0).设平面AEC1的一个法向量为n2(x2，y2，z2).则令z24，得x21，y21.所以n2(1，1，4).因为n1n2111(1)040.所以n1n2，所以平面AEC1平面AA1C1C.向量证明面面垂直的方法利用空间向量证明面面垂直通常可以有
12、两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直1在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，AS底面ABCD，且ASAB，E是SC的中点求证：平面BDE平面ABCD.【证明】设ASAB1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，E.方法一：连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为.易知(0，0，1)，所以，所以OEAS.又AS底面ABCD，所以OE平面ABCD.又OE平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.
13、方法二：设平面BDE的法向量为n1(x，y，z).易知(1，1，0)，所以即令x1，可得平面BDE的一个法向量为n1(1，1，0).因为AS底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1).因为n1n20，所以平面BDE平面ABCD.2三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC.A1A，ABAC2A1C12，D为BC中点求证：平面A1AD平面BCC1B1. 【证明】如图，建立空间直角坐标系则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，因为D为BC的中点，所以D点坐标为(
14、1，1，0)，所以(2，2，0)，(1，1，0)，AA1(0，0，)，因为2200，AA10000，所以，AA1，所以BCAD，BCAA1，又ADAA1A，所以BC平面ADA1，而BC平面BCC1B1，所以平面A1AD平面BCC1B1.课堂检测素养达标1已知平面的法向量n(1，2，2)，平面的法向量m(2，3，k)，若，则k的值为()A2 B4 C1 D【解析】选A.由题意，得mn0，所以262k0，得k2.2(教材二次开发：练习改编)设直线l1、l2的方向向量分别为a(2，2，1)，b(3，2，m)，若l1l2，则m等于()A2 B2 C6 D10【解析】选D.因为l1l2，所以ab0，所以
15、2322m0，所以m10.3已知空间三点A(1，1，1)，B(0，0，1)，C(1，2，3)，若直线AB上存在一点M，满足CMAB，则点M的坐标为_【解析】设M(x，y，z)，因为(1，1，0)，(x，y，z1)，(x1，y2，z3)，由题意，得所以x，y，z1，所以点M的坐标为.答案：4如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD底面ABCD且PD1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是_【解析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，所以，由图易知，平面PBC的一个法向量n(0，1，1)，因为n，所以n，所以EF平面PBC.答案：垂直关闭Word文档返回原板块
