1、第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形（练习）一、单选题（共 10 小题）1设 M 表示直角三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形，Q 表示等腰直角三角形下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（）A B C D【答案】C【解析】根据各类三角形的概念即可解答.【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C 可以表示它们彼此之间的包含关系 故选：C【点睛】本题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形.2已知直角三角形中，30 角所对的直角边长是2 厘米，则斜边的长是()A2 厘米 B4 厘米 C6厘米 D8 厘米【答案】B【解析】由于
2、在直角三角形中 30角所对的直角边长是斜边的一半，根据已知条件即可求出斜边的长【详解】直角三角形中 30角所对的直角边长是 2 厘米，斜边的长是 4 厘米 故选 B【点睛】此题考查了直角三角形的性质，如果直角三角形的一个锐角为 30，那么它所对的直角边长度是斜边的一半 3（2019重庆市永川区红炉镇红炉初级中学校初二期中）如图，ABC 中，ABAC，点 D 在 AC 边上，且BD=BC=AD,则A 的度数是（）A18 B24 C30 D36【答案】D【解析】利用等边对等角得到三对角相等，设AABDx，表示出BDC 与C，列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即可确定出A 的度数【详
3、解】解：ABAC，ABCC，BDBCAD，AABD，CBDC，设AABDx，则BDC2x，C180 x2，可得 2x180 x2，解得：x36，则A36，故选：D【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键 4（2019重庆市永川区红炉镇红炉初级中学校初二期中）一个等腰三角形两边的长分别为 4 和 9，那么这个三角形的周长是（）A13 B17 C22 D17 或 22【答案】C【解析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为 4 和 9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形
4、的三边关系验证能否组成三角形【详解】解：若 4 为腰长，9 为底边长，由于 449，则三角形不存在；9 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边 所以这个三角形的周长为 99422 故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去 5（2019龙口市第五中学初一期中）如图，三个等边三角形如图放置，若1=70，则2+3=（）A110 B105 C100 D95【答案】A【解析】由图可知ABC 的三个外角的分别为 60+1，60+2，
5、60+3，利用三角形的外角和是 360即可解决问题【详解】解：如图，ABC 的外角和=60+1+（60+2）+（60+3）=360 即1+2+3=180，又1=70，所以2+3=110 故选：A【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角和定理，熟练掌握三角形的外角和定理是关键 6（2019乐清育英学校初中分校初一期中）等腰三角形的两条边长分别 9cm 和 12cm，则这个等腰三角形的周长是()A30cm B33cm C24cm 或 21cm D30cm 或 33cm【答案】D【解析】根据 9cm 和 12cm 可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解【详解】解：当 9cm 为
6、腰时，三边为 9cm，9cm，12cm，符合三角形三边关系定理，周长为：9+9+12=30 cm；当 12cm 为腰时，三边为 12cm，12cm，9cm，符合三角形三边关系定理，周长为：12+12+9=33cm 故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理关键是根据 2，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论 7（2019广东深圳外国语学校初二期末）等腰三角形的一个外角为 110，则它的顶角的度数是（）A40 B70 C40或 70 D以上答案均不对【答案】C【解析】根据外角与相邻的内角的和为 180求这个内角的度数，再分这个角是顶角与底角两种情况讨论求解【详解】解：等腰
7、三角形的一个外角是 110，与这个外角相邻的内角是 18011070，当 70角是顶角时，它的顶角度数是 70，当 70角是底角时，它的顶角度数是 18070240，综上所述，它的顶角度数是 70或 40 故选：C【点睛】本题考查等腰三角形的两底角相等的性质，要注意分两种情况讨论求解 8（2018江苏泰兴市西城初级中学初二月考）等腰三角形的周长为 13 cm，其中一边长为 3 cm，则该等腰三角形的底边为（）A7 cm B3 cm C7 cm 或 3 cm D8 cm【答案】B【解析】当腰是 3cm 时，则另两边是 3cm，7cm而 3+37，不满足三边关系定理，因而应舍去 当底边是 3cm
8、时，另两边长是 5cm，5cm 则该等腰三角形的底边为 3cm 故选 B 9（2018延安市实验中学初二期末）在ABC 中，ACB=90，B=30，CDAB 于点 D，若 AC=6，则BD=（）A6 B3 C9 D12【答案】C【解析】CDAB，CDB=90，B=30，DCB=60，ACB=90，ACD=30，AC=6，AD=3，AB=12，BD=9.故选 C.点睛：在直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半.10（2017安徽初二期中）已知等腰三角形的一边等于 3，一边等于 7，那么它的周长等于（）A13 B17 C13 或 17 D10 或 17【答案】B【解析】试题解析：当 3 为底时
9、，其它两边都为 7，3、7、7 可以构成三角形，周长为 17；当 3 为腰时，其它两边为 3 和 7，3+3=67，所以不能构成三角形，故舍去，答案只有 17.故选 B.【点睛】三角形的任意两边之和大于第三边.二、填空题（共 5 小题）11（2019四川中考真题）如图，正五边形 ABCDE 中，对角线 AC 与 BE 相交于点 F，则AFE _度 【答案】72【解析】根据五边形的内角和公式求出EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可【详解】解：五边形 ABCDE 是正五边形，(52)1801085EABABC，BABC，36BACBCA，同理36ABE，363672AFEABFB
10、AF 故答案为：72【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键 12（2019兰州市外国语学校初一期末）等腰三角形的周长为 12cm，其中一边长为 3cm，则该等腰三角形的腰长为_.【答案】4.5cm【解析】此题要分情况考虑：3cm 是底或 3cm 是腰根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断是否能够组成三角形【详解】当 3cm 是底时,则腰长是(123)2=4.5(cm)，此时能够组成三角形；当 3cm 是腰时,则底是 1232=6(cm)，此时 3+3=6，不能组成三角
11、形，应舍去.故答案为：4.5cm【点睛】此题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题关键在于分情况讨论 13（2019重庆南开融侨中学初一期末）如图，在等腰ABC 中，AB=BC，B=120，线段 AB 的垂直平分线分别交 AB、AC 于点 D、E，若 AC=12，则 DE=_.【答案】2【解析】先根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出A=C=30，根据线段垂直平分线性质和等腰三角形性质求出ABE=30，根据含 30 度角的直角三角形性质可得 CE=BE，继而求出 AE 长，再根据含 30度角的直角三角形性质即可求得答案.【详解】连接 BE，在ABC 中，AB=BC，ABC=120，A=C
12、=30，AB 的垂直平分线 DE，AE=BE，ABE=A=30，EBC=120-30=90，CE=2BE，AE+BE=AC=12，AE=4，又A=30，ADE=90，DE=12AE=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含 30 度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键.14（2019四川中考真题）如图，在 ABC中，ABAC，点 D，E 都在边 BC 上，BADCAE，若9BD，则CE 的长为_.【答案】9.【解析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.【详解】因为ABC 是等腰三角形，所以有 AB=AC,BAD=CAE
13、,ABD=ACE,所以ABD ACE(ASA),所以 BD=EC，EC=9.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.15（2018长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初一期末）如图，ABC 中，DE 垂直平分 AC，与 AC 交于E，与 BC 交于 D，C15，BAD60若 CD10，则 AB 的长度为_ 【答案】5【解析】根据线段垂直平分线的性质得到 DADC10，根据三角形的外角的性质得到ADB30，根据含30角的直角三角形的性质得到答案【详解】解：DE 垂直平分 AC，DADC10，DACC15，ADB30，又BAD60，B90，又ADB30 AB 12
14、AD 12105 故答案为：5【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和含 30角的直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 三、解答题（共 2 小题）16（2019广西中考真题）如图，已知等腰 ABC顶角30A （1）在 AC 上作一点 D，使 ADBD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：BCD是等腰三角形 【答案】（1）如图，点 D 为所作；见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意作 AB 的垂直平分线；（2）根据题意求出BDCC 72，即可证明.【详解】（1）解：如图，点 D 为所作；（2
15、）证明：ABAC，1 18036722ABCC，DADB，36ABDA ，363672BDCAABD ，BDCC，BCD是等腰三角形【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.17（2018厦门外国语学校海沧附属学校初二期中）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，ADAC交 BC 于点 D，AD3cm，求 BC 的长 【答案】9【解析】在ABC 中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理得出BC30，由 ADAC，C30，得出 CD2AD6，再证明BADB30，那么 ADDB3，于是 BCCD+BD9【详解】解：ABAC，BC BAC120，BAC+B+C180，BC30 ADAC，DAC90 DC2AD，BADBACDAC30 BADB BDAD3 BCBD+DC3BD9 故答案为：9【点睛】本题考查含 30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半同时考查了等腰三角形的判定与性质
