1、专题 13.7 证明十六大必考点【苏科版】【考点 1 根据平行线的判定与性质进行证明】.1【考点 2 直线旋转中的平行线的判定】.8【考点 3 与垂线有关的角度计算或证明】.11【考点 4 利用平行线的判定与性质计算角度】.15【考点 5 平行线的性质在生活中的应用】.21【考点 6 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】.27【考点 7 平行线的运用（单一辅助线）】.34【考点 8 平行线的运用（多条辅助线）】.41【考点 9 平行线在折叠问题的运用】.51【考点 10 平行线在三角尺中的运用】.55【考点 11 平行线中的规律问题】.60【考点 12 平行线中的转角问题】.69【考点
2、13 与角平分线有关的三角形内角和问题】.76【考点 14 利用平行线的判定与性质证明三角形中角度关系】.84【考点 15 与平行线有关的三角形内角和问题】.90【考点 16 与折叠有关的三角形内角和问题】.100 【考点 1 根据平行线的判定与性质进行证明】【例 1】（2022浙江台州七年级期末）如图，已知：1=2，=求证：=证明：1=2（已知），_（_）=（_）=（已知），=（等量代换）_（_）=（_）【答案】DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等【分析】先通过已知条件证明 DEAF，再由两直线平行同位角相等和
3、等量代换证出 ABCD，再根据两直线平行，内错角相等得出=【详解】证明：1=2（已知），DEAF（同位角相等，两直线平行）=（两直线平行，同位角相等）=（已知），=（等量代换）ABCD（内错角相等，两直线平行）=（两直线平行，内错角相等）故答案为：DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键【变式 1-1】（2022黑龙江逊克县教师进修学校七年级期末）如图所示，直线 EF 分别交 AB，CD于点 G，H，HN 是DHG 的平分线 (1)如果 G
4、M 是BGE 的平分线，（如图）试判断并证明 GM 和 HN 的位置关系；证明：，BGE_（两直线平行，同位角相等）GM 是BGE 的平分线，_=12 HN 是DHG 的平分线 _=12 MGENHG（等量代换）GM 和 HN 的位置关系是_，（_）(2)如果 GM 是AGH 的平分线，（如图）（1）中的结论还成立吗？（不必证明）(3)如果 GM 是BGH 的平分线，（如图）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM 与 HN 又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明【答案】(1)DHG；BGM；MGE；DHN；NHG；同位角相等，两直线平行；(2)成立(3)不成立，GMHN 【分析】（1
5、）根据平行线的性质可得BGE=DHG，再利用角平分线的定义和等量代换可得MGE=NHG，再利用平行线的判定即可；（2）根据平行线的性质可得AGH=DHG，再利用角平分线的定义和等量代换可得HGM=NHG，再利用平行线的判定即可；（3）设 GM 与 HN 交于点 P，根据平行线的性质可得BGH+DHG=180，再利用角平分线的定义和等量代换可得HGM+NHG=90，然后利用三角形内角和定理可求出GPH=90即可解答（1）证明：BGEDHG（两直线平行，同位角相等）GM 是BGE 的平分线，BGMMGE12BGEHN 是DHG 的平分线DHNNHG12DHGMGENHG（等量代换）GM 和 HN
6、的位置关系是（同位角相等，两直线平行）（2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：ABCD，AGH=DHG，GM 是AGH 的平分线，AGM=HGM=AGH，HN 是DHG 的平分线，GHN=DHN=DHG，HGM=NHG（等量代换）GMHN（3）（3）（1）中的结论不成立，GMHN，理由：如图：设 GM 与 HN 交于点 P，ABCD，BGH+DHG=180，GM 是BGH 的平分线，BGM=HGM=12BGH，HN 是DHG 的平分线，GHN=DHN=12DHG，HGM+NHG=12BGH+12DHG=90，GPH=180-（HGM+NHG）=90GMHN【点睛】本题主要考查了平行线的判定与
7、性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键【变式 1-2】（2022辽宁葫芦岛七年级期末）如图已知：ABCD，CDEF，AE 平分BAC，ACCE，有以下结论：ABEF；214=90；232=180；3+124=135，其中，正确的结论有_（填序号）【答案】【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可【详解】解：ABCD，CDEF，ABEF，故正确；AE 平分BAC，BAC=21，ABCD，BAC+2=180，21+2=180（1），ACCE，2+4=90（2），（1）-（2）得，21-4=90，故正确；ABEF，BAE+3=180，AE 平分BAC，1=BAE，1+
8、3=180，21+23=360（3），21+2=180（1），（3）-（1）得，23-2=180，故正确；CDEF，CEF+4=180，3+AEC+4=180，AECE，1+AEC=90，AEC=90-1，3+4-1=90，21-4=90，1=45+124，3+124=135，故正确 综上，正确的结论有：故答案为：【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系应用平行线的判定和性质定理时，
9、一定要弄清题设和结论，切莫混淆【变式 1-3】（2022广东广州市第四中学七年级期末）如图 1，在四边形 ABCD 中，AC (1)求证：BD；(2)如图 2，点 E 在线段 AD 上，点 G 在线段 AD 的延长线上，连接 BG，AEB2G，求证：BG 是EBC的平分线；(3)如图 3，在(2)的条件下，点 E 在线段 AD 的延长线上，EDC 的平分线 DH 交 BG 于点 H，若ABE66，求BHD 的度数【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)57 【分析】（1）根据平行线的性质得到A+B=180，进而推出C+B=180，即可证明 ABCD，得到A+D=180，据此即可证明结论；
10、（2）先由平行线的性质得到CBG=G，AEB=CBE，进而推出EBG=CBG=G，即可证明 BG 是EBC 的平分线；（3）设GDH=HDC=，设EBG=CBG=，根据平行线的性质推出 66+2+2=180，则+=57，过点 H 作 HPAB 交 AG 于 P，得到PHB+ABH=180，推出DHP=HDC=，则DHP+BHD+ABE+GBE=180即+BHD+66+=180，BHD=57；（1）解：ADBC，A+B=180，A=C，C+B=180，ABCD，A+D=180，B=D；（2）解：ADBC，CBG=G，AEB=CBE，AEB=2G，CBE=2G，EBG+CBG=2G，EBG=CBG
11、=G，BG 是EBC 的平分线；（3）解：DH 是GDC 的平分线，GDH=HDC，设GDH=HDC=，ADBC，BCD=GDC=2，设EBG=CBG=，ABCD，ABC+BCD=180，ABE+EBC+BCD=180，66+2+2=180，+=57，过点 H 作 HPAB 交 AG 于 P，PHB+ABH=180，ABCD，CDHP，DHP=HDC=，DHP+BHD+ABE+GBE=180 即+BHD+66+=180，BHD=57；【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键【考点 2 直线旋转中的平行线的判定】【例 2】（2022河南洛阳七年级期末）如图
12、所示是跷跷板示意图，横板绕中点 O 上下转动，立柱与地面垂直，当横板的 A 端着地时，测得=28，则在玩跷跷板时，小明坐在 A 点处，他上下最大可以转动的角度为（）A28 B56 C62 D84【答案】B【分析】此题可以构造平行线，根据平行线的性质进行分析计算【详解】解：如图所示，过点 O 作 DEAC，则有1=28 而2=1，所以，上下最大可以转动的角度为2=1=56 故选：B【点睛】本题是一道生活问题，将其转化为关于平行线的问题，解题关键是利用“两直线平行,同位角相等”解答【变式 2-1】（2022山东临沂七年级期末）如图将木条 a，b 与 c 钉在一起，1=75，要使木条 a 与 b 平
13、行，木条 a 顺时针旋转了 35，2 是（）A25 B35 C40 D50【答案】C【分析】根据平行线的判定定理求解即可【详解】解：如图，根据题意得，1=75，AOB=35，AOC=1-AOB=40，当2=AOB 时，ab，2=40，故选：C【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键【变式 2-2】（2022云南昆明七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边 BC，DF在同一条直线上，现将三角板 DEF 绕点 D 顺时针旋转，当 EF 第一次与 AB 平行时，的度数是（A15 B30 C45 D75【答案】A【分析】过点 D 作 DMAB，则 ABDMEF
14、，由平行线的性质得出B=MDB=30，MDE=E=45，则可求出答案【详解】解：过点 D 作 DMAB，则 ABDMEF，B=MDB=30，MDE=E=45，BDE=BDM+EDM=30+45=75，CDF=90-BDE=90-75=15 故答案为：15【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题【变式 2-3】（2022湖南永州七年级期末）如图，直线12，现将一个含 30角的直角三角板的锐角顶点放在直线2上，将三角板绕点旋转，使直角顶点落在1与2之间的区域，边与直角1相交于点，若1=35，则图中的2的值为（）A65 B75 C85 D80【答案】A【
15、分析】过 A 作 CEl1，得到 CEl1l2，根据平行线的性质得出3，进而求得4，再根据平行线的性质可求出答案【详解】解：过 C 作 CEl1，l1l2，CEl1l2，3=1=35，4=90-3=55，2=180-4-ABC=180-55-60=65 故选：A【点睛】题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键【考点 3 与垂线有关的角度计算或证明】【例 3】（2022湖南测试编辑教研五七年级期末）如图，已知1=C，2=3，FGAC 于 G，你能说明BD 与 AC 互相垂直吗？【答案】见解析【分析】根据1C，得 EDBC，所以2DBC，再由23，得DBC
16、3，所以 BDFG，即可得 FGAC【详解】证明：1=C，EDBC，2=DBC，2=3，DBC=3 BDFG，FGAC，BDAC【点睛】本题综合考查了平行线的性质及判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行【变式 3-1】（2022安徽合肥七年级期末）请补充完整下列推理过程及证明过程中的依据 如图，已知/，1=2试证明：解：因为/（已知），所以2=（_）因为1=2（已知），所以_（等量代换），所以/_（_）所以=_（两直线平行，同位角相等）因为 （已知）
17、，所以=90（_）所以=90（等量代换），所以_（垂直的定义）【答案】两直线平行，内错角相等；1=；同位角相等，两直线平行；垂直的定义；【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可【详解】解：因为/（已知），所以2=（两直线平行，内错角相等），因为1=2（已知），所以1=（等量代换），所以/（同位角相等，两直线平行），所以=（两直线平行，同位角相等），因为 （已知），所以=90（垂直的定义），所以=90（等量代换），所以 （垂直的定义），故答案为：两直线平行，内错角相等；1=；同位角相等，两直线平行；垂直的定义；【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键
18、.【变式 3-2】（2022江苏盐城七年级期末）如图，垂足为，1=30，=60 （1）与平行吗？为什么？（2）根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一个条件，使它们平行（不必说明理由）【答案】（1）平行，理由见解析；（2）不能，可添加 【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到结论；（2）根据平行线的判定定理，即可得到结论【详解】（1）平行理由如下：，BAC=90，1=30，=+1=120 =60，+=60+120=180，；（2）不能判断与平行，添加 即可判断与平行 ，BAC=90，ACD=90，【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，掌握“同旁内角互补，两直线平
19、行”，“内错角相等，两直线平行”，是解题的关键【变式 3-3】（2022全国七年级）已知：直线 MN、PQ 被 AB 所截，且 MNPQ，点 C 是线段 AB 上一定点，点 D 是射线 AN 上一动点，连接 CD (1)在图 1 中过点 C 作 CECD，与射线 BQ 交于 E 点 依题意补全图形；求证：ADC+BEC90；(2)如图 2 所示，点 F 是射线 BQ 上一动点，连接 CF，DCF，分别作NDC 与CFQ 的角平分线交于点 G，请用含有 的代数式来表示DGF，并说明理由【答案】(1)见解析(2)DGF=180-12，理由见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可过点 C 作 CT
20、MN利用平行线的性质和判定以及垂线的性质解决问题（2）DGF=180-12利用（1）中基本结论可得ADC+BFC=DCF=，GDN+GFQ=DGF，再利用角平分线的定义及邻补角的性质即可求解(1)解：图形如图所示 证明：过点 C 作 CTMN CECD，ECD=90，CTMN，MNPQ，CTMNPQ，ADC=DCT，BEC=ECT，ADC+BEC=DCT+ECT=ECD=90(2)解：DGF=180-12，理由如下：如图，由（1）的结论可知：ADC+BFC=DCF=，GDN+GFQ=DGF，DG 平分NDC，GF 平分CFQ，GDN=12CDN，GFQ=12CFQ，DGF=12（CDN+CFQ
21、）=12（180-ADC+180-BFC）=12（360-DCF）=180-12【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题【考点 4 利用平行线的判定与性质计算角度】【例 4】（2022福建福州七年级期末）如图，在 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，点 F，G 在 BC 上，EF 与 DG 交于点 O，1+2=180，=3 (1)判断 DE 与 BC 的位置关系，并证明；(2)若+=118，求的度数【答案】(1)证明见解析；(2)62 【分析】（1）由1+2=180，2+=180，得到1=，则 ，=，由=3，3=，
22、即可证明 ；（2）由（1）的结论得到3=，则=118，再由同旁内角的性质得到的度数即可（1）1+2=180，2+=180，1=，=，=3，3=，（2）由（1）知：3=+=118 3+=118 由（1）知 ,且、互为同旁内角，+=180，=180 =180 118=72【点睛】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定式关键【变式 4-1】（2022河南漯河七年级期末）已知：如图，AADE，CE (1)若EDC3C，求C 的度数；(2)判断 BE 与 CD 的位置关系，并证明你的猜想【答案】(1)45(2)；证明见解析 【分析】（1）根据AADE，得到 DEAC，从而得到EDC+C=
23、180，结合EDC3C，代入计算即可（2）根据AADE，得到 DEAC，从而得到E=ABE，结合CE，得到ABE=C，得到 BECD（1）AADE，DEAC，EDC+C=180，EDC3C，4C=180，C=45（2）BE 与 CD 的位置关系是 BECD理由如下：AADE，DEAC，E=ABE，CE，ABE=C，BECD【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键【变式 4-2】（2022广东湛江七年级期末）如图所示，已知射线，=110，、在上，且满足=，平分，根据上述条件，解答下列问题：(1)证明：；(2)求的度数；(3)若平行移动，那么:的值是否随之变化？
24、若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由【答案】(1)见解析(2)=35(3)不变，:=1:2 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据+=180，可得；（2）根据=，平分，即可得出=+=12 ，即可得出答案；（3）根据平行线的性质，即可得出=,=，再根据=+=2，即可得出答案（1），=110，=180 =180 110=70，+=180，；（2）=，平分，又平分，EOB=EOF+FOB=12 COA=12 70=35；（3）不变，OBC=BOA，OFC=FOA，:=:，又FOA=FOB+AOB=2AOB，:=:=:2=1:2【点睛】本题考查平行线、角平分线的性质及三角形内角和定理，熟记各性
25、质并准确识图理清各角间的关系时解题关键【变式 4-3】（2022北京密云七年级期末）已知：点 C 是AOB 的 OA 边上一点（点 C 不与点 O 重合），点 D 是AOB 内部一点，射线 CD 不与 OB 相交 (1)如图 1，AOB90，OCD120，过点 O 作射线 OE，使得 OE/CD（其中点 E 在AOB 内部）依据题意，补全图 1；直接写出BOE 的度数(2)如图 2，点 F 是射线 OB 上一点，且点 F 不与点 O 重合，当=(0 180)时，过点 F 作射线FH，使得 FH/CD（其中点 H 在AOB 的外部），用含的代数式表示OCD 与BFH 的数量关系，并证明【答案】(
26、1)见解析；30(2)OCDBFH360，证明见解析 【分析】（1）根据题意补图即可；根据平行线的性质求出即可；（2）过点 O 作 OMCDFH，根据平行线的性质得出两角的数量关系即可(1)解：依据题意，补全图 1 如下：CDOE，OCD+COE180，OCD120，COE60，AOB90，BOE90COE906030；(2)解：OCD+BFH360，证明：过点 O 作 OMCDFH，OCD+COM180，MOFOFH，又BFH+OFH180，180OCD+180BFH，OCD+BFH360【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键【考点 5 平行线的性质在生活中的应用
27、】【例 5】（2022湖北武汉七年级期末）如图线段 AB 和 CD 表示两面镜子，且直线 AB直线 CD，光线 EF 经过镜子 AB 反射到镜子 CD，最后反射到光线 GH.光线反射时，1=2，3=4，下列结论：直线 EF 平行于直线 GH；FGH 的角平分线所在的直线垂直于直线 AB；BFE 的角平分线所在的直线垂直于4的角平分线所在的直线；当 CD 绕点 G 顺时针旋转 90 时，直线 EF 与直线 GH 不一定平行，其中正确的是（）A B C D【答案】B【分析】根据平行线的性质定理逐个证明，看是否正确即可.【详解】正确，根据 AB/CD，可得2=3，再根据已知可得1=2=3=4，进而证
28、明=,因此可得 EF/GH；正确，根据3=4，可得FGH 的角平分线所在的直线垂直于直线 AB；正确，因为证明了1=4，所以只要证明1 的角平分线垂直于 的角平分线即可；不正确，因为2+3=90,所以+=180，即 EF/GH.故正确的有，因此选 B.【点睛】本题主要考查平行线的性质和定理，这是基本知识点，必须熟练掌握.【变式 5-1】（2022江苏宿迁七年级期末）实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜,，一束光线射在其中一块上，经另外一块反射，两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明 【答案】会
29、，理由见解析【分析】作 ，根据 可得出2+3=1+4=90，再由平行线的判定定理即可得出结论【详解】解：/理由如下：作 ，如图，1=2，3=4，/，2=，2+3=1+4=90，+=180，/【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知入射角等于反射角是解答此题的关键【变式 5-2】（2022浙江杭州七年级期末）（1）若组成1和2的两条边互相平行，且1是2的 2 倍小15，求1的度数（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于,与上拉杆形成的=145，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度当=25时，点 H，D，B 在同一直线上，求的度数 【答案】（1）15或 115；（
30、2）120【分析】（1）根据1，2 的两边分别平行，所以1，2 相等或互补列出方程求解则得到答案（2）过 D 点作 DIEF，根据两直线平行，同旁内角互补可求FDI=35，根据平角的定义可求ADB=30，根据直角三角形的性质可求ABH=60，再根据两直线平行，同旁内角互补可求H【详解】解：（1）当1=2 时，1=22-15，1=21-15，解得1=15；当1+2=180时，1=22-15，2+22-15=180，解得2=65，1=180-2=115；（2）过 D 点作 DIEF，F=145，FDI=35，ADB=180-90-35-25=30，ABH=90-30=60 GHAB，H=180-6
31、0=120【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等【变式 5-3】（2022湖南师大附中梅溪湖中学七年级期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（ABCD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯 P 和 Q，若灯 P 射线自 PA 逆时针旋转至 PB 便立即回转，灯 Q 射线自 QD逆时针旋转至 OC 便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视设灯 P 转动的速度是 10 度/秒，灯 Q 转动的速度是 4 度/秒，湖面上点 M 是音乐喷泉的中心（1）若把灯 P 自 PA 转至 PB，或者灯 Q 自 QD 转至 QC 称为
32、照射一次，请求出 P、Q 两灯照射一次各需要的时间；（2）12 秒时，两光束恰好在 M 点汇聚，求PMQ；（3）在两灯同时开启后的 35 秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？【答案】（1）P、Q 两灯照射一次各需要的时间分别为 18 秒、45 秒；（2）=108；（3）当开启15s 或1357 s 或2257 s 后，两灯的光束互相垂直【分析】（1）直接利用 180 除以两灯的速度即可求得结果；（2）过点作/，利用平行线的相关性质求解即可；（3）分三种情况：当两灯开启时间小于 18 秒时，当两灯开启时间大于 18 秒，小于 36 秒时，返回时，第一次与相遇，当两灯开启时间大于 18
33、秒，小于 35 秒时，返回时，第二次与相遇，分别根据两灯的光束互相垂直，利用平行线的相关性质，找准等量关系，列出方程求解即可【详解】解：（1）灯 P 转动的速度是 10 度/秒，灯 Q 转动的速度是 4 度/秒，P 灯照射一次需要的时间是：18010=18（秒）Q 灯照射一次需要的时间是：1804=45（秒）；（2）转动 12 秒时，两光束恰好在 M 点汇聚，=10 12=120,=4 12=48，如下图示，过点作/，则有/+=180，=48，=180 =180 120=60，=+=60+48=108；（3）当两灯开启时间小于 18 秒时，如图 1 所示，过点作/，则有/=10，=4，=180
34、 =180 10，两灯的光束互相垂直，依题意可得：180 10+4=90 解之得：=15；当两灯开启时间大于 18 秒，小于 35 秒时，返回时，第一次与相遇，则如图 2 所示，过点作/，则有/=10 180，=4，两灯的光束互相垂直，依题意可得：10 180+4=90 解之得：=1357；当两灯开启时间大于 18 秒，小于 35 秒时，返回时，第二次与相遇，则如图 3 所示，过点作/，则有/=10 180，=4，=180 =360 10，=180 =180 4 两灯的光束互相垂直，依题意可得：360 10+180 4=90 解之得：=2257；综上所述，当开启 15s 或1357 s 或22
35、57 s 后，两灯的光束互相垂直【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，熟悉相关性质是解题的关键【考点 6 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】【例 6】（2022河北唐山七年级期末）己知三角形 ABC，交直线于点 E，交直线于点 D (1)如图 1，若点 F 在边上，直接写出与的数量关系；(2)若点 F 在边的延长线上，（1）中的数量关系还成立吗？若成立，给子证明；若不成立，又有怎样的数量关系，请在备用图中画出图形并说明理由【答案】(1)=(2)不成立，当点 F 在边 BC 的延长线上时，BAC+EFD=180，图见解析，证明见解
36、析 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到BAC 与EFD 的数量关系；（2）首先作出图形，再结合平行线的性质即可得到结论（1）解：BAC=EFD，证明：，BAC=BEF，EFD=BEF，BAC=EFD；（2）如图 2，当点 F 在边 BC 的延长线上时，（1）中的数量关系不成立，数量关系为BAC+EFD=180，证明：，D=BAC，EFD+D=180，BAC+EFD=180【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等以及两直线平行，同旁内角互补等知识【变式 6-1】（2022湖北襄阳七年级期末）如图，已知，P 是射线 AM 上一动点（不与点 A 重合），BC，B
37、D 分别平分ABP 与PBN，分别交射线 AM 于点 C，D (1)若=50，求的度数；(2)在点 P 的运动过程中，BPA 与BDA 的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出BPA 与BDA 的数量关系；(3)当点 P 运动到使ACBABD 时，探究ABC 与DBN 的数量关系，并证明你的结论【答案】(1)65(2)在点 P 的运动过程中，BPA 与BDA 的数量关系不随之发生变化，BPA2BDA(3)ABCDBN证明见解析 【分析】（1）根据，可得AABN180，从而得到ABN130，再由 BC，BD 分别平分ABP与PBN，可得=12(+)，即可求解；（2）根据，可
38、得BPAPBN，ADBDBN，再由=12，可得PBN2BDA，即可求解；（3）根据，可得ACBCBN，再由ACBABD，可得CBNABD，即可求解（1）解：，AABN180，又A50，ABN130，BC，BD 分别平分ABP 与PBN，=12，=12，=+=12(+)=65（2）解：在点 P 的运动过程中，BPA 与BDA 的数量关系不随之发生变化，BPA2BDA理由如下：，BPAPBN，ADBDBN，又=12，PBN2BDA，BPA2BDA（3）解：ABCDBN理由如下：，ACBCBN，ACBABD CBNABD 即ABCCBDDBNCBD，ABCDBN【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有
39、关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键【变式 6-2】（2022安徽合肥七年级期末）已知：直线，经过直线上的定点的直线交于点，点，为直线上的两点，且点在点右侧，点的左侧时，连接，满足=(1)如图1，若=25，=50，直接写出的度数为：_(2)如图2，射线为的角平分线，用等式表示与之间的数量关系，并证明【答案】(1)125(2)=2，见解析 【分析】（1）根据平行线的性质以及题干中=即可推出的度数（2）结合平行线性质和题干条件进行推理即可找到与的等量关系（1），=，=50 =25，=50，=+=25+50+50=125（2）结论：=2 理由：，=，=又射线为的角平分线，=12 =
40、，=12(+)=12 =12 12 =12 =12 即=2【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识解题关键是熟练掌握平行线的性质，属于中考常考题型【变式 6-3】（2022湖北孝感七年级期末）在三角形 ABC 中，点 D 在线段 AC 上，交 AB 于点 E，点 F 在线段 AB 上（点 F 不与点 A，E，B 重合），连接 DF，过点 D 作 交射线 CB 于点 G (1)如图 1，点 F 在线段 BE 上，用等式表示EDF 与BGF 的数量关系，并说明理由；如图，求证：+=90；(2)当点 F 在线段 AE 上时，依题意，在图 2 中补全图形，请直接用等式表示EDF 与BGF
41、的数量关系，不需证明【答案】(1)EDF+BGF=90，理由见解析；过程见解析(2)BGF-EDF=90或BGF+EDF=90 【分析】对于（1），过点 F 作平行线，再根据平行线的性质EDF=1 和BGF=2，然后根据垂直可得结论；对于，根据平行线的性质得ABC=AFH 和EDF=1，再根据垂直定义得BFG+3=90，整理可得结论；对于（2），分两种情况讨论，再结合（1）给出证明即可（1）过点 F 作 FHBC 交 AC 于点 H EDF+BGF=90 理由如下：FHBC，EDBC，EDFH，EDF=1 FHBC，BGF=2，EDF+BGF=1+2 FGFD，DFG=90，即1+2=90，E
42、DF+BGF=90；FHBC，ABC=AFH，即ABC=1+3 FGFD，DFG=90，BFG+3=90，即BFG=90-3 EDFH，EDF=1，ABC+BFG-BFG=1+3+90-3-1=90；（2）当点 G 在线段 BC 上时，BGF-EDF=90；过点 F 作 ，FHBC，EDBC，EDFH，EDF=DFH FHBC，BGF=GFH，BGF=GFD+EDF FGFD，GFD=90，BGF-EDF=90；当点 G 在点 B 的左侧时，BGF+EDF=90；过点 F 作 ，FRBC，EDBC，EDFR，EDF=DFR FRBC，BGF+GFR=180，BGF+GFD+EDF=180 FG
43、FD，GFD=90，BGF+90+EDF=180，即BGF+EDF=90 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义等，构造平行线是解题的关键【考点 7 平行线的运用（单一辅助线）】【例 7】（2022四川德阳七年级期末）已知：，点 P、Q 分别在 AB、CD 上，在两直线间取一点 E (1)如图 1，求证：=+；(2)将线段 EQ 沿 DC 平移至 FG，的平分线和的平分线交于直线 AB、CD 内部一点 H 如图 2，若=90，求的度数；如图 3，若点 I 在直线 AB、CD 内部，且 PI 平分，连接 HI，若 =，=，请直接写出 m 与 n 的数量关系，不必证明【答案】(1)见解析(
44、2)45；=180 2 【分析】（1）过点 E 作 ，利用平行线的性质证明即可；（2）利用（1）中结论求解即可；结论：n1802m，过点 I 作 ，设APEx，CQECGEy，则 n（xy）利用（1）中结论求解即可（1）证明：过点 E 作 ，如图所示：，=，=，=+=+（2）解：的平分线和的平分线交于直线 AB、CD 内部一点 H，=12，=12，FG 由 EQ 平移而来，=，由（1）可知，+=90，=+=12 +12 =12 +12 =12(+)=45 =180 2理由如下：过点 I 作 ，如图所示：设APEx，CQECGEy，则 n（xy），同法可证HCGHJIH，BPIPIJ，PIHJI
45、HPIJ，PIHHm，BPIJIH（CGHJIH）m，12（180 x）12ym，9012（xy）m，9012nm，即=180 2【点睛】本题主要考查作图平移变换，角平分线的定义，平行线的公理应用，平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型【变式 7-1】（2022广东梅州八年级期末）已知：AOB（090），一块三角板 CDE 中，CED90，CDE30，将三角板 CDE 如图所示放置，使顶点 C 落在 OB 边上，经过点 D 作直线 MNOB 交OA 边于点 M，且点 M 在点 D 的左侧 (1)如图 1，若 CEOA，EFMN，NDE45，求的度数；
46、(2)若MDC 的平分线 DF 交 OB 边于点 F，如图 2，当 DFOA，且60时，证明：CEOA【答案】(1)45(2)见解析 【分析】（1）过点 E 作 EFMN，根据 MNOB，可得 EFOB，根据平行线的性质可得AOB=45；（2）根据平行线的性质和角平分线定义即可说明 CEOA；（1）解：如图，过点 E 作 EFMN，DEF=NDE=45，CED=90，FEC=45，MNOB，EFOB，BCE=FCE=45，AOCE，AOB=ECB=45，则=45，（2）证明：DFOA，DFC=AOB=60，MNOB，MDF=DFC，DF 平分MDC，CDF=MDF=60，在直角三角形 DCE
47、中，DCE=60，CDF=DCE，CEDF，DFOA，CEOA；【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质【变式 7-2】（2022陕西西安八年级期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含 30的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图 1，已知两直线 a，b，且和直角三角形 ABC，=90，=30 (1)在图 1 中，146，求2 的度数；(2)如图 2，创新小组的同学把直线 a 向上平移，并把2 的位置改变，发现2 1=120，说明理由；(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图 2 中的图形继续变化得到图 3，当 AC 平分BAM 时，此时发现1
48、 与2 又存在新的数量关系，请写出1 与2 的数量关系并证明【答案】(1)44(2)2 1=120，理由见解析(3)1=2，证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出3，根据平行线的性质解答；（2）过点 B 作 BD/a，根据平行线的性质得到ABD=180-2，DBC=l，结合图形计算，证明结论；（3）过点 C 作 CE/a，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可（1）解：=90，3=90 1=44，2=3=44（2）证明：过点 B 作，则=180 2，=1，=60，180 2+1=60，2 1=120；（3）解：1=2，理由如下：过点 C 作，AC 平分BAM，=2=60，2=，1
49、=60，=30，2=60，1=2【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握平行线的性质定理是解题的关键【变式 7-3】（2022辽宁葫芦岛七年级期末）如图 1，点 A 在直线 MN 上，点 B 在直线 ST 上，点 C 在 MN，ST 之间，且满足MACACBSBC360 (1)证明：；(2)如图 2，若ACB60，点 E 在线段 BC 上，连接 AE，且DAE2CBT，试判断CAE 与CAN的数量关系，并说明理由；(3)如图 3，若ACB45，点 E 在线段 BC 上，连接 AE，若MAE4CBT，直接写出CAE：CAN 的值【答案】(1)证明见解析(2)CAE2CAN；理由见
50、解析(3)3 【分析】（1）如图：作 CH/MN，然后根据平行线的性质可得MACACH180再结合MACACBSBC360可得HCBSBC180，即 CH/ST，最后根据平行公理即可证明结论；（2）如图：作 CF/ST，设CBT，则DAE2由平行线的性质可得BCFCBT，进而得到ACF60；再说明 MN/CF 可得CANACF60；然后根据 AD/BC 得到DACACB180，最后根据等量代换和角的和差即可解答；（3）设CBT=，根据MAE=4CBT，表示出MAE=4，ACF=CAN=45-，CAE=3（45-），求人 CAE：CAN 的值即可（1）证明：如图：作 CH/MNMACACH180
51、 MACACBSBC360，HCBSBC180，CH/STMN/ST （2）解：CAE2CAN，理由如下：如图：作 CF/ST，设CBT，则DAE2 CF/STBCFCBT，ACB60 ACF60CF/ST，MN/STMN/CFCANACF60AD/BC，DACACB180 DAC180ACB18060120，CAEDACDAE12022（60）CAE2CAN （3）解：如图：作 CF/ST，设CBT=，MAE=4CBT，MAE=4，CF/ST，CBT=BCF=，ACF=CAN=45-，CAE=180-MAE-CAN=180-4-（45-）=135-3=3（45-），CAE：CAN=3（45-
52、）：（45-）=3 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，根据角度的灵活转换、构建数量关系式是解答本题的关键【考点 8 平行线的运用（多条辅助线）】【例 8】（2022云南普洱七年级期末）已知三角板 ABC 中，BAC60，B30，C90，长方形DEFG 中，DE/GF如图（1），若将三角板 ABC 的顶点 A 放在长方形的边 GF 上，BC 与 DE 相交于点 M，ABDE 于点 N (1)请你直接写出：CAF_，EMC_(2)若将三角板 ABC 按图（2）所示方式摆放（AB 与 DE 不垂直），请你猜想EMC 与CAF 的数量关系？并说明理由(3)请你总结（1），（2）解决问题的思路，在
53、图（2）中探究BAG 与BMD 的数量关系？并说明理由【答案】(1)30，60(2)EMC+CAF=90，理由见解析；(3)BAG-BMD=30，理由见解析 【分析】（1）过点 C 作 CHGF，则 CHDE，这样就将CAF 转化为 HCA，EMC 转化为 MCH，从而可以求得EMC 的度数；（2）过 C 作 CHGF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出EMC+CAF=MCH+ACH=ACB=90；（3）过 B 作 BKGF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出BAG-BMD=ABK-KBM=ABC=30（1）解：DEGF，ABDE，ABGF，BAF=90，CAF=BAF
54、-BAC=90-60=30，过点 C 作 CHGF，则 CHDE，HCA=CAF=30，EMC=BCH=90-30=60；故答案为：30，60；（2）EMC+CAF=90，理由如下：如图，过 C 作 CHGF，则CAF=ACH，DEGF，CHGF，CHDE，EMC=HCM，EMC+CAF=MCH+ACH=ACB=90；（3）BAG-BMD=30，理由如下：如图 2，过 B 作 BKGF，则BAG=KBA，BKGF，DEGF，BK DE，BMD=KBM，BAG-BMD=ABK-KBM=ABC=30【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质进行推算【变
55、式 8-1】（2022湖北武汉七年级期末）直线，BEEC 是一条折线段，BP 平分 (1)如图 1，若，求证：+=180；(2)CQ 平分，直线 BP，CQ 交于点 F 如图 2，写出和的数量关系，并证明；当点 E 在直线 AB，CD 之间时，若=40，直接写出的大小【答案】(1)见解析(2)E+2F=180，证明见解析；70 【分析】（1）延长 DC 交 BE 于 K，交 BP 于 T，由 ABCD，BP 平分ABE，可得BTK=TBK，又 BPCE，故KCE=KEC，即可得BEC+DCE=180；（2）延长 AB 交 FQ 于 M，延长 DC 交 BE 于 N，设ABP=EBP=，DCQ=
56、ECQ=，可得F=180-FBM-FMB=180-（+），E=180-NCE-CNE=180-（180-2）-（180-2）=2（+）-180，故E+2F=180；由E+2F=180，即可得F=70（1）解：证明：延长 DC 交 BE 于 K，交 BP 于 T，如图：ABCD，ABT=BTK，BP 平分ABE，ABT=TBK，BTK=TBK，BPCE，BTK=KCE，TBK=KEC，KCE=KEC，KCE+DCE=180，KEC+DCE=180，即BEC+DCE=180；（2）E+2F=180，证明如下：延长 AB 交 FQ 于 M，延长 DC 交 BE 于 N，如图：射线 BP、CQ 分别平
57、分ABE，DCE，ABP=EBP，DCQ=ECQ，设ABP=EBP=，DCQ=ECQ=，FBM=ABP=，MBE=180-2，NCE=180-2，FCN=DCQ=，ABDC，CNE=MBE=180-2，F=180-FBM-FMB=180-（+），E=180-NCE-CNE=180-（180-2）-（180-2）=2（+）-180，E+180=2（180-F），E+2F=180；由知E+2F=180，BEC=40，F=70【点睛】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线定义，三角形内角和等，解题的关键是用含，的式子表示E，F，从而得到E，F 之间的数量关系【变式 8-2】（2022广东新丰县教育
58、局教研室七年级期末）细观察，找规律（1）下列各图中的1与平行 图中的1+2=_度 图中的1+2+3=_度 图中的1+2+3+4=_度 图中的1+2+3+4+5=_度 第个图中的1+2+3+11=_度 第个图中的1+2+3+1=_度（2）下列各图中/图甲中、的数量关系是_ 图乙中，的数量关系是_ 图丙中，的数量关系是_【答案】（1）180；360；540；720；1800；180；（2）+=；+=+；+=+【分析】（1）通过作平行线，由平行线的性质可逐题求解，注意找规律；（2）通过作平行线，由平行线的性质可逐题求解【详解】解：（1）1/2，1+2=180；过2作2/1，1/3，2/3，1+2+3
59、=2 180=360；过2作2/1，过3作3/1，1/4，2/1/3/4，1+2+3+4=3 180=540；过2作2/1，过3作3/1，过4作4/1，1/5，2/1/3/4/5，1+2+3+4+5=4 180=720；同理：1+2+3+11=10 180=1800；1+2+3+1=180；故答案为180；360；540；720；1800；180；（2）/，=，=，+=；过作/，/，/，+=，+=，+=+；过作/，过作/，/，/，+=，+=，+=，+=+故答案为+=；+=+；+=+【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，作出辅助线【变式 8-3】（2022北京师范大学附属
60、实验中学分校七年级期末）已知，如图 1，射线 PE 分别与直线 AB，CD 相交于 E、F 两点，PFD 的平分线与直线 AB 相交于点 M，射线 PM 交 CD 于点 N，设PFM，EMF，且80 2|40|0 (1)，；直线 AB 与 CD 的位置关系是 ；(2)如图 2，若点 G、H 分别在射线 MA 和线段 MF 上，且MGHPNF，试找出FMN 与GHF 之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)若将图中的射线 PM 绕着端点 P 逆时针方向旋转（如图 3），分别与 AB、CD 相交于点 M1和点 N1时，作PM1B 的角平分线 M1Q 与射线 FM 相交于点 Q，问在旋转的过程中1
61、 的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由【答案】(1)40，40，平行；(2)GHF+FMN=180；证明见解析；(3)不变，2 【分析】（1）根据非负数的性质求出、，再根据角平分线的性质和平行线的判定得出 AB 平行于 CD；（2）根据 ABCD 得出BMNPNF，由MGHPNF 可得MGHBMN，可证 MNGH，利用平行线的性质可证FMN=GHF；（3）作 QUAB，PIAB，可证1=1 ，1=1 ，再根据角平分线的性质可得11=2(1)解：80 2|40|0，80 2=0，400，=40，40，PFD 的平分线与直线 AB 相交于点 M，PFMNFM40，EFMNFM，AB
62、CD，故答案为：40，40，平行(2)解：GHF+FMN=180；证明：ABCD，BMNPNF，MGHPNF，MGHBMN，MNGH，FMN=GHM，GHF+GHM=180，GHF+FMN=180(3)解：不变；作 QUAB，PIAB，ABCD，ABCDQUPI，UQM1QM1B，UQFQFN，IPM1PM1B，IPFPFN，1=1 ，1=1 ，PFD 的平分线与直线 AB 相交于点 M，PM1B 的角平分线 M1Q 与射线 FM 相交于点 Q，1=21，=2，1=21，11=2 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理和证明【考点 9 平行线在折叠问
63、题的运用】【例 9】（2022山东潍坊七年级期末）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边/，则翻折角1与2一定满足的关系是（）A1=22 B1+2=90 C1 2=30 D21 32=30【答案】B【分析】根据平行可得出DAB+CBA=180，再根据折叠和平角定义可求出1+2=90【详解】解：由翻折可知，DAE=21，CBF=22，/,DAB+CBA=180，DAE+CBF=180，即21+22=180，1+2=90，故选：B 【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算【变式 9-1】（2022山东滕州市龙泉街道滕东中学七年级期末）如图，四边形
64、 ABCD 中，点 M、N 分别在AB、BC 上，将 BMN 沿 MN 翻折，得 FMN，若 MFAD，FNDC，则B=()A60 B70 C80 D90【答案】C【详解】试题分析：MFAD，FNDC，A=110，C=90，110，90，BMN 沿 MN 翻折得 FMN，BMN=FMN=12FMB=12110=55，BNM=FNM=12FNM=1290=45，=180=80，故选：C【点睛】点睛：本题考查了平行线性质，翻折变换，三角形内角和定理的应用，关键是求出BMN 和BNM的度数【变式 9-2】（2022全国七年级单元测试）如图，在三角形 ABC 中，ACB90，将三角形 ABC 向下翻折
65、，使点 A 与点 C 重合，折痕为 DE.试说明：DEBC 【答案】见解析.【分析】由翻折可知AED=CED=90，再利用平行线的判定证明即可【详解】将三角形 ABC 向下翻折，使点 A 与点 C 重合，折痕为 DE，AEDCED，AEDCED180，AEDCED90，AEDACB90，DEBC.【点睛】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到平行线的判定，熟知折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键【变式 9-3】（2022江苏常州市第二十四中学七年级期末）在 ABC 中，BAC90，点 D 是 BC 上一点，将 ABD 沿 AD 翻折后得到 AED，边 AE 交
66、 BC 于点 F (1)如图，当 AEBC 时，写出图中所有与B 相等的角：；所有与C 相等的角：(2)若CB50，BADx(0 x45)求B 的度数；是否存在这样的 x 的值，使得 DEF 中有两个角相等若存在，并求 x 的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)E、CAF；CDE、BAF；(2)20；30【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与B 相等的角；由等角代换即可得与C 相等的角；（2）由三角形内角和定理可得+=90，再由 =50根据角的和差计算即可得C 的度数，进而得B 的度数 根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含 x 的代数式表示出FDE、DFE 的度数，分
67、三种情况讨论求出符合题意的 x 值即可【详解】（1）由翻折的性质可得：EB，BAC90，AEBC，DFE90，180BAC180DFE90，即：BCEFDE90，CFDE，ACDE，CAFE，CAFEB 故与B 相等的角有CAF 和E；BAC90，AEBC，BAFCAF90,CFA180（CAFC）90 BAFCAFCAFC90 BAFC 又 ACDE，CCDE，故与C 相等的角有CDE、BAF；（2）=90 +=90 又 =50，C70，B20;BADx,B20则=160 ,=20+,由翻折可知：=160 ,=20,=140 2,=20+2,当FDEDFE 时，140 2=20+2,解得：=
68、30；当FDEE 时，140 2=20，解得：=60（因为 0 x45，故舍去）；当DFEE 时，20+2=20，解得：0（因为 0 x45，故舍去）；综上所述，存在这样的 x 的值，使得 DEF 中有两个角相等且=30【点睛】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识【考点 10 平行线在三角尺中的运用】【例 10】（2022浙江宁波七年级期末）两块不同的三角板按如图 1 所示摆放，边重合，=45，=30接着如图 2 保持三角板不动，将三角板绕着点 C 按顺时针以每秒15的速度旋转90后停止在此旋转过程中，当旋转时间
69、=_秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行 【答案】2 或 3 或 5【分析】分三种情况：当 AB 时，当 AC 时，当 AB 时，分别根据平行线的性质求出的度数，进而解答即可【详解】解：分三种情况：当 AB 时，如图：BAC45，15t45，t3；当 AC 时，如图，30，15t30，t2；当 AB 时，如图，过点 C 作 CEAB，则 CEAB，ACEA，ACEA75，15t75，t5 综上所述，当旋转时间 t2 或 3 或 5 秒时，三角板有一条边与三角板 ABC 的一条边恰好平行 故答案为：2 或 3 或 5【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关
70、键【变式 10-1】（2022河北青县教育局教研室七年级期末）把一副直角三角尺按如图方式摆放，点与点重合，边与边都在直线上，若直线 MNAC，且经过点，则=_；【答案】75#75 度【分析】利用平角的定义可得=180 =75，然后利用平行线的性质即可求解.【详解】由题意得：=180 =75，=75,故答案为75.【点睛】本题主要考查了平角的定义，平行线的性质，能熟练运用平角的定义和平行线的性质是解决本题的关键.【变式 10-2】（2022四川达州八年级期末）一副三角板 ADE 和 ABC 按如图 1 所示放置，点 B 在斜边 AD上，其中EBAC90，D45，C30现将三角板 ADE 固定不动
71、，三角板 ABC 绕点 A 顺时针旋转(0 180)，使两块三角板至少有一组边互相平行，如图 2，当BAD15时，则BAD其他所有可能符合条件的度数为_ 【答案】45或 60或 105或 135【分析】分四种情形：当 ACDE 时，当 BCAD 时，当 AEBC 时，当 ABDE 时，分别画出图形，利用平行线的性质求解即可【详解】解：如图 3-1 中，当 ACDE 时，BAD=45 如图 3-2 中，当 BCAD 时，BAD=B=60 如图 3-3 中，当 AEBC 时，BAE=B=60，BAD=EAB+DAE=60+45=105 如图 3-4 中，当 ABDE 时，EAB=E=90，BAD=
72、EAB+DAB=90+45=135 综上所述，BAD 其他所有可能符合条件的度数为 45或 60或 105或 135 故答案为：45或 60或 105或 135【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，含特殊角的三角形性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题【变式 10-3】（2022江苏苏州七年级期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E 在 AC上，=90，=60，=45小明将ADE 从图中位置开始，绕点按每秒6的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第_秒时，边与边平行 【答案】252 或852 【分析】分两种情况：DE 在 AB 上方；DE 在 AB 下
73、方，画出相应的图形，利用平行线的性质即可求得答案【详解】当 DE 在 AB 上方，=90，B=60，D=45，BAC=30，E=45，ABDE，BAE=E=45，CAE=BAC+BAE=75，旋转时间为：756=252（秒）；当 DE 在 AB 下方，=90，B=60，D=45，BAC=30，E=45，ABDE，BAE+E=180，BAE=180-E=135，CAE=BAE-BAC=105，旋转角度为：360-CAE=255，旋转时间为：2556=852（秒），综上所述：在旋转过程中，第252 或852 秒时，边与边平行，故答案为：252 或852 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的
74、关键是对 DE 的位置进行讨论，画出相应图形解答【考点 11 平行线中的规律问题】【例 11】（2022山东泰安期末）如图，点 E 为两直线之间的一点 (1)如图 1，若=35，=20，则=_；(2)如图 2，试说明，+=360；(3)如图 3，若的平分线与的平分线相交于点 F，判断与的数量关系，并说明理由；如图 4，若设=，=1，=1，请直接用含、的代数式表示的度数【答案】(1)55(2)见解析(3)2+=360，理由见解析；=360+1 【分析】（1）如图，过点 E 作 EF/AB利用平行线的性质即可解决问题；（2）如图中，作 EG/AB，利用平行线的性质即可解决问题；（3）结合（1）、（
75、2）的结论，进行等量代换即可求解（1）解：过 E 点作 EF/AB，AB/CD，EF/CD，AB/CD，BAE1，EF/CD，2DCE，BAEDCEAEC=35，=20，=55（2）过 E 点作 AB/EGAB/CD，EG/CD，AB/CD，BAEAEG180，EG/CD，CEGDCE180，BAEAECDCE360（3）由（1）知=+，FA 为BAE 平分线，CF 为平分线，=12,=12 ，=12(+)，即+=2，由（2）知BAEAECDCE360，2+=360，由知+=360，=1，=1，+=，=1(+)即+=，+=360，=，=360+1 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会
76、添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型【变式 11-1】（2022山东烟台七年级期末）问题情境：如图 1，ABCD，PAB130，PCD120求APC 的度数小明的思路是：过 P 作 PEAB，通过平行线性质，可得APCAPE+CPE50+60110 问题解决：（1）如图 2，ABCD，直线 l 分别与 AB、CD 交于点 M、N，点 P 在直线 I 上运动，当点 P 在线段 MN 上运动时（不与点 M、N 重合），PAB，PCD，判断APC、之间的数量关系并说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点 P 在线段 MN 或 NM 的延长线上运动时请直接写出APC、B 之间的数量关系；（3
77、）如图 3，ABCD，点 P 是 AB、CD 之间的一点（点 P 在点 A、C 右侧），连接 PA、PC，BAP 和DCP的平分线交于点 Q若APC116，请结合（2）中的规律，求AQC 的度数 【答案】（1）APC=+，理由见解析；（2）APC=-或APC=-；（3）58【分析】（1）过点 P 作 PEAB，根据平行线的判定与性质即可求解；（2）分点 P 在线段 MN 或 NM 的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解；（3）过点 P，Q 分别作 PEAB，QFAB，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解【详解】解：（1）如图 2，过点 P 作 PEAB，ABCD，
78、PEABCD，APE=，CPE=，APC=APE+CPE=+（2）如图，在（1）的条件下，如果点 P 在线段 MN 的延长线上运动时，ABCD，PAB=，1=PAB=，1=APC+PCD，PCD=，=APC+，APC=-；如图，在（1）的条件下，如果点 P 在线段 NM 的延长线上运动时，ABCD，PCD=，2=PCD=，2=PAB+APC，PAB=，=+APC，APC=-；（3）如图 3，过点 P，Q 分别作 PEAB，QFAB，ABCD，ABQFPECD，BAP=APE，PCD=EPC，APC=116，BAP+PCD=116，AQ 平分BAP，CQ 平分PCD，BAQ=12BAP，DCQ=
79、12PCD，BAQ+DCQ=12（BAP+PCD）=58，ABQFCD，BAQ=AQF，DCQ=CQF，AQF+CQF=BAQ+DCQ=58，AQC=58【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的关键【变式 11-2】（2022四川树德中学七年级期末）（1）如图，已知，图中1，2，3之间有什么关系？（2）如图，已知，图中1，2，3，4之间有什么关系？（3）如图，已知，请直接写出图中1，2，3，4，5之间的关系（4）通过以上 3 个问题，你发现了什么规律？【答案】（1）2=1+3；（2）1+3=2+4；（3）1+3+5=2+4；（4）当时，1+3+5+
80、2n-1=2+4+2n【分析】（1）过 E 作 EM/AB，推出 AB/EM/CD，根据平行线性质得出1=NEM，3=MEO，即可求出答案；（2）通过作辅助线：过 E 作/，过 F 作/，得到/，得到=1，=，4=即可得:+4=1+,即可得到答案：2+4=1+3；（3）做辅助线，/通过（2）可知：1+3=2+，再由平行得5=，即可1+3+5=2+，即：1+3+5=2+4（4）通过以上 3 个问题，发现：当时，奇数角的和等于偶数角的和【详解】解：（1）2=1+3，理由是：过 E 作 EM/AB，推出 AB/EM/CD，过 E 作/，AB/CD，AB/EM/CD，1=NEM，3=MEO，NEO=N
81、EM+MEO=1+3；2=1+3，（2）1+3=2+4;理由如下：过 E 作/，过 F 作/，/，/=1 同理：=4=+4=1+即：2+4=1+3 即：已知，图中1，2，3，4之间关系：1+3=2+4（3）1+3+5=2+4；理由如下：过点 G，作/由（2）可知：1+3=2+/5=1+3+5=2+、即：1+3+5=2+4（4）通过以上 3 个问题，发现：当时，1+3+5+2n-1=2+4+2n【点睛】本题考查了平行线性质的应用，关键是正确作辅助线，题目比较典型，是一道比较好的题目【变式 11-3】（2022北京市第一零一中学温泉校区七年级期末）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏如图
82、1，纸条的一组对边 PNQM（纸条的长度视为可延伸），在 PN，QM 上分别找一点 A，B，使得ABM如图 2，将纸条作第一次折叠，使与 BA 在同一条直线上，折痕记为1 解决下面的问题：（1）聪明的小白想计算当 90时，1的度数，于是他将图 2 转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图 3，PNQM，A，B 分别在,上，且ABM90，由折叠：1平分_，1，求1的度数 （2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图 2 折叠后，不展开纸条，再沿 AR1 折叠纸条（如图 4），是否有可能使BR1？如果能，请直接写出此时的度数；如果不能，请说明理由（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当 090时，将
83、图 2 记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使与 BR1 在同一条直线上，折痕记为 BR2（如图 5）；将纸条展开，作第三次折叠，使与 BR2在同一条直线上，折痕记为 BR3；以此类推 第二次折叠时，2_（用的式子表示）；第 n 次折叠时，_（用和 n 的式子表示）【答案】（1）ABM，1135；（2）能，=45；（3）1804，1802【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得结论；（2）根据折叠的性质和平行线的性质结合三角形内角和定理可求出 的值；（3）根据折叠和平行线的性质可求出1=180 2，同理可求出2=180 4；由可得到规律得出=180 2【详解】（1）由折叠得，1=1，
84、1平分ABM，ABM90，1=12 =45，/1，1+1=180，1=180 1=180 45=135；故答案为：ABM；（2）如图，/，=，由折叠得，1=1=2，1=1=，由/得，1=2，1=+2，1+1+=180，且=90，1+1=90，2=90，=45；（3）如图，由折叠得，1=1，1=12 =12，/1，1+1=180，1=180 1=180 2；同理可得，12=14 =14，2=180 12=180 4，故答案为：180 4；由可得3=180 32=180 8，由此可以得出：=180 1=180 2，故答案为：180 2【点睛】本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，
85、根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化还考查了平行线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键【考点 12 平行线中的转角问题】【例 12】（2022黑龙江绥棱县绥中乡学校七年级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于 60）如图 1叠放在一起，现将 CDE 绕点 C 顺时针旋转，旋转角为（旋转角0 360，请探究下列问题：(1)如图 2，当旋转角满足0 60时，请写出BCD 与ACE 的关系，并说明理由；(2)如图 3，当旋转角满足60 120时，请写出BCE 与ACD 的关系，并说明理由；(3)当 DE/BC 时请直接写出旋转角的度数【答案】(1)BCD=ACE，理由见解
86、析；(2)BCE-ACD=120，理由见解析；(3)旋转角为 60或 240 【分析】（1）结合图形，根据等边三角形及各角之间的数量关系即可得出结果；（2）结合图形利用各角之间的数量关系即可得出结果；（3）由平行线的性质进行分类讨论即可得出结果（1）解：BCD=ACE，理由如下：BCD+ACD=ACB=60，ACE+ACD=DCE=60，BCD=ACE；（2）BCE-ACD=120，理由如下：BCE=BCA+ACD+DCE，BCE-ACD=BCA+DCE=120；（3）DEBC，BCD=D=60，边 CD 与边 AC 重合，旋转角=60；BCD+D=180，旋转角=180+60=240，当 D
87、EBC 时，旋转角为 60或 240【点睛】题目主要考查角度之间的计算、平行线的性质等，理解题意，熟练掌握平行线的性质是解题关键【变式 12-1】（2022福建泉州七年级期末）现有一块含30角的直角三角板，其直角顶点在直线上，将三角板绕着点按逆时针方向旋转2的度数（0 2 360）请你解决下列问题：(1)当2的度数为多少时，（不必说理）；(2)如右图，作 于点，于点，试探究：图中提供的字母或数字能表示的所有角（不包含该图中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，试写出所有相等的角，并说明理由；若不存在，请举例说明【答案】(1)2=30或2=210；(2)存在，1=，2=，理由见解析 【分析】（1
88、）利用平行线的性质求解即可；（2）利用平行线的判定及性质求解即可（1）解：如图：=30，2=30，如图：=60，12=60，=90，2=360 1 =210，综上所述：当2=30或2=210，（2）解：图中所有相等的角分别为：1=，2=理由如下：在同一平面内，过点作射线 ，=，=，1+=+=90，1=，即1=，同理可得2=【点睛】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质【变式 12-2】（2022河南漯河市郾城区郾城初级中学七年级期末）如图 1，已知 ，点 A，B 分别在，上，且=45，射线绕点 A 顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是 a/秒），射线绕点 B 顺时针旋转
89、至便立即逆时针回转（速度是 b/秒）、且 a、b 满足|3|+(1)2=0，(1)=_，=_；(2)如图 2，两条射线同时旋转，设旋转时间为 t 秒（60），两条旋转射线交于点 C，过 C 作 交于点D，求与的数量关系；(3)若射线先旋转 20 秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为 t 秒（160），若旋转中 ，求 t的值【答案】(1)3，1(2)2=3(3)=10或 8 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到 a，b 的值；（2）由题意可得BAC3t135，再根据 PQMN 即可得到BCACBD+CAN，从而可得BCA1802t，再根据ACD90，可得BCD2t90，从而可得BAC：BCD3
90、：2，即可得出结论；（3）分三种情况讨论，列出方程即可得到射线 AM、射线 BP 互相平行时的时间（1）解：（1）a、b 满足|a3|+（b1）20 a30，b10，a3，b，1，故答案为：3，1；（2）解：由题意得CAM3t，CBDt，CAN1803t，BAN45，BAC45（1803t）3t135，过点 C 作 CEPQ，CBDBCEt，PQMN，CEMN，CANACE1803t，ACE+BCEACB，ACBCBD+CANt+1803t1802t，CDAC，ACD90，BCD90ACB90（1802t）2t90，BAC：BCD3：2，即 2BAC3BCD；（3）解：t160，（20+t）1
91、180，3t480，即射线 BP 旋转的角度小于 180，当 3t180，即 0t60 时，3t（20+t）1，解得：t10；当 1803t270 且（20+t）190，即 70t90 时，3t180+（20+t）1180，解得：t85；当 3603t480 且（20+t）190，即 120t160 时，3t360（20+t）1，解得：t190（不合题意，舍去）；若旋转中 AMBP，t 的值为 10 或 85【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质，旋转的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为 0，则这两个非负数均等于 0【变式
92、 12-3】（2022浙江湖州七年级期末）如图 1，已知直线，=60，射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后停止运动，此时也同时停止运动其中，满足方程组 4+=173 2=10 (1)求，的值；(2)若先运动 30 秒，然后一起运动，设运动的时间为，当运动过程中时，求的值；(3)如图 2，若与同时开始转动，在第一次到达之前，与交于点，过点作 于点，交直线于点，则在运动过程中，若设的度数为，请求出的度数（结果用含的代数式表示）【答案】(1)=4,=1(2)10 或
93、66 或 130 或 138(3)=34 【分析】(1)用加减消元法直接求出 a 和 b 的值即可；(2)由题意分四种情况讨论：当 0t45 时，NF 在 MN 的左侧，ME 在 MN 的右侧，由EMD=ANF，可得4t=30+t，解得 t=10；当 45t90 时，NF 在 MN 的左侧，ME 在 MN 的右侧，可得 360-4t=30+t，解得 t=66；当 90t135 时，NF 在 MN 的右侧，ME 在 MN 的左侧，则 4t-360=30+t，解得 t=130；当 135t150 时，60 (4 540)=30+120，解得 t=138；(3)过点作，如解析图中得到2+3=180
94、3，进而得到=3 90=3(30)，最后利用=4 120=4(30)=即可求解（1）解：由题意可知：4+=173 2=10，解得：=4,=1（2）解：由(1)可知，射线绕点以每秒 1 度的速度按逆时针方向旋转，射线绕点以每秒 4 度的速度按逆时针方向旋转，分类讨论：当0 45时，=120 4，=90 ，当=时，120 4=90 ，解得=10；当45 90时，=4 240，=90 ，当=时，4 240=90 ，解得=66；当90 135时，=4 480，=90，当=时，4 480=90，解得=130；当135 150时，当=时，60 (4 540)=30+120，解得=138；综上所述，的值为
95、10 或 66 或 130 或 138（3）解：如图，过点作，2=1=180 4，3=4=，2+3=180 3，又2+3+=90，=3 90=3(30)，又=4 120=4(30)，当=时，=34.【点睛】本题是平行线的综合题，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，动点运动过程中的分类讨论求解是解题的关键【考点 13 与角平分线有关的三角形内角和问题】【例 13】（2022江苏涟水县麻垛中学七年级阶段练习）【认识概念】如图 1，在ABC 中，若BADDAEEAC，则 AD，AE 叫做BAC 的“三分线”其中，AD 是“近 AB三分线”，AE 是“远 AB 三分线”【理解应用】(1)在ABC
96、中，60，70，若A 的三分线 AD 与B 的角平分线 BE 交于点 P，则APB_；(2)如图 2，在ABC 中，BO、CO 分别是ABC 的近 AB 三分线和ACB 近 AC 三分线，若 BOCO，求A的度数；【拓展应用】(3)如图 3，在ABC 中，BO、CO 分别是ABC 的远 BC 三分线和ACB 远 BC 三分线，且，直线PQ 过点 O 分别交 AC、BC 于点 P、Q，请直接写出12 的度数（用含 m 的代数式表示）.【答案】(1)125或105(2)45(3)120 23 【分析】（1）分两种情况：当 AD 为近 AB 三分线时，如图所示，求得=13，再利用角平分线的定义求得=
97、12 =35，最后在 中利用三角形的内角和定理即可；当 AD 为远 AB 三分线时，如图所示，然后分别根据三分线和角平分线的定义及三角形的内角和定理即可求解；（2）利用 BO、CO 分别是ABC 近 AB 三分线和ACB 近 AC 三分线，求得+=135，然后再利用三角形的内角和定理即可求解；（3）如图 2，在 ABC 中，利用三角形的内角和定理求+=180 ，再利用 BO、CO 分别是ABC 的远 BC 三分线和ACB 远 BC 三分线，求得4+5=23(180 )，进而在 BCO 中利用内角和定理求2+3=60+23，结合1+3=180，即可求得1 2（1）解：分两种情况：当 AD 为近
98、AB 三分线时，如图所示，=60，=13 =20，平分，=70，=12 =35，=180 =125；当 AD 为远 AB 三分线时，如图所示，=60，=23 =40，平分，=70，=12 =35，=180 =105，故答案为：125或105（2）如图 1，BO、CO 分别是ABC 近 AB 三分线和ACB 近 AC 三分线，123ABC，223ACB，BOCO，90，1+2=23 +23 =90，+=135，在 ABC 中，+=180，=180 (+)=45 （3）解：如图 2，在 ABC 中，+180，=，+=180 =180 BO、CO 分别是ABC 的远 BC 三分线和ACB 远 BC
99、三分线，4=23，5=23，4+5=23 +23 =23(+)=23(180 )，在 BCO 中，+4+5=180，=180 (4+5)=180 23(180 )=60+23，2+3=60+23；1+3=180，1 2=180 (60+23)=120 23 【点睛】本题考查了角平分线的计算，三分线的新定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键【变式13-1】（2022江苏扬州七年级期末）如图：PC、PB是ACB、ABC的平线，A=40，BPC=_ 【答案】110#110 度【分析】首先根据三角形内角和定理求出+的度数，再根据角平分线的性质可得=12,=12,进而 可求+的度数，再次在 中
100、利用三角形内角和即可求解【详解】解：=40,+=180 40=140,又BP 平分,CP 平分,=12,=12,+=12(+)=12 140=70,=180 (+)=110,故答案为：110【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解【变式 13-2】（2022全国八年级专题练习）（1）如图 1，A70，BP、CP 分别平分ABC 和ACB，则P 的度数是 （2）如图 2，A70，BP、CP 分别平分EBC 和FCD，则P 的度数是 （3）如图 3，A70，BP、CP 分别平分ABC 和ACD，求P
101、 的度数 【答案】（1）125（2）55（3）35【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的性质即可求解；（2）应用角平分线的性质，补角的概念即可求解；（3）综合（1）、（2）解题思路即可求解；【详解】解：（1）BP、CP 分别平分ABC 和ACB，PBC12ABC，PCB12ACB，PBC+PCB12（ABC+ACB），12（180A）55，P180（PCB+PBC）125，故答案为：125（2）EBCA+ACB，FCBA+ABC，EBC+FCBA+ACB+A+ABC，180+70250，BP、CP 分别平分EBC 和FCB，PBC12EBC，PCB12FCB，PBC+PCB12（EB
102、C+FCB），125，P180（PBC+PCB）55，故答案为：55（3）ACDA+ABC，CP 平分ACD，BP 平分ABC，PBC12ABC，PCA12ACD12A+12ABC，P180（PBC+PCA+ACB），12A35，即P 等于A 的一半，答：P 的度数是 35【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键【变式 13-3】（2022广东韶关实验中学七年级期中）如图，ABCD，点 E 是 AB 上一点，连结 CE (1)如图 1，若 CE 平分ACD，过点 E 作 EMCE 交 CD 于点 M，试说明A2CME；(2)如
103、图 2，若 AF 平分CAB，CF 平分DCE，且F70，求ACE 的度数(3)如图 3，过点 E 作 EMCE 交DCE 的平分线于点 M，MNCM 交 AB 于点 N，CHAB，垂足为 H若ACH12ECH 请直接写出MNB 与A 之间的数量关系【答案】(1)见解析；(2)=40；(3)=135 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义分别计算与，即可得出结论；（2）过点作/，利用平行线的性质和角平分线的定义和（1）的结论解答即可；（3）延长交的延长线于点，设=，则=2，=，利用垂直的定义得到+=45；利用三角形的内角和定理分别用，的代数式表示出与，计算+即可得出结论（1）证明：，=
104、90 +=180，+=90 /，=，=+=90 2+2=180 平分，=2 +2=180 /，+=180 =2（2）解：过点作/，如图，/，/=，=+=+即=+平分，平分，=2，=2 +=2(+)=2 =70，+=140 /，+=180 =180 (+)=180 140=40（3）解：与之间的数量关系是：=135 延长交的延长线于点，如图，=90 =90 同理：=90 =12，设=，则=2 平分，设=2+/，=90 +=90 2+2=90 +=45 ，=90 =90 +=90 +2+=90+=135 =135 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，
105、平角的意义，过点作/是解题的关键【考点 14 利用平行线的判定与性质证明三角形中角度关系】【例 14】（2022安徽合肥七年级期末）已知：三角形和同一平面内的点 (1)如图，点在边上，DE BA 交于点，DF AC 交于点若=85，则的度数为_；(2)如图，点在的延长线上，DF CA 交延长线于点，在内部，若=，试说明 DE BA；(3)如图，点是三角形外部的一个动点，过点画 DE BA 交直线于点，画 DF CA 交直线于点，请用等式直接表示与之间的关系【答案】(1)85(2)说明见解析(3)=【分析】（1）由平行线的性质可得EDF=CED，CED=A，从而可得A=EDF=85；（2）由平行
106、线的性质可得BAC=BND，从而可得EDF=BND，则有 DEBA；（3）根据题意画出图形，利用平行线的性质即可求解（1）解：/，/，=，=，=，=85，=85，故答案为：85；（2）如图，/，=，=，=，/；（3）如图，/，/，+=180，+=180，=即EDF=BAC【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系【变式 14-1】（2022山东烟台期末）如图，点 D、E、F 分别在三角形 ABC 的三条边上，点 G 在 DF 上，若1+2=180，3=B，DE 与 BC 所在的直线存在什么位置关系？请详细说明理由 【答案】，理由见解析【分析】先根据邻补角
107、的定义可得+2=180，从而可得1=，再根据平行线的判定可得 ，然后根据平行线的性质可得3=，从而可得=，最后根据平行线的判定即可得出结论【详解】解：，理由如下：1+2=180,+2=180，1=，3=，又 3=，=，【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键【变式 14-2】（2022吉林前郭县一中七年级期末）两个三角形和中，=90，=60，=45 (1)当时，如图，求的度数(2)当与重合时，如图，判断与的位置关系，并说明理由(3)如图，当时，求的度数？【答案】(1)=30(2)，理由见解析(3)=15 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，得出+=18
108、0，再根据题意，结合角的关系，计算即可得出结果；（2）根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论；（3）首先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据角的关系，得出的度数，再根据角的关系，即可计算出的度数（1）解：，+=180，又=90，=60，=180 60=120，=120 90=30；（2）解：，理由如下：=90，；（3）解：，=60，=180 60=120，又=90，=120 90=30，又=45，=45 30=15【点睛】本题考查了平行线的性质与判定定理，解本题的关键在熟练掌握平行线的性质和判定定理【变式 14-3】（2022广东佛山市顺德区勒流育贤实验学校七年级期末）知识延展：
109、三角形的一边和另一边的反向延长线组成的角叫三角形的外角，如ACD 是三角形的外角容易说明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，如图可得：ACD=A 十B 请你用所学的知识和延展知识解决如下问题：(1)如图，BAD 的平分线 AE 与BCD 的平分线 CE 交于点 E，ABCD，ADC=40，ABC=30，求AEC的大小：(2)如图，BAD 的平分线 AE 与BCD 的平分线 CE 交于点 E，ADC=m，ABC=n，求AEC 的大小；(3)如图，BAD 的平分线 AE 与BCD 的平分线 CE 交于点 E，则AEC、ADC、ABC 之间是否存在某种等量关系？若存在，请你得出结论，说明理
110、由；若不存在，请说明理由 【答案】(1)35(2)+2(3)+=2 【分析】（1）根据平行直线的性质得到=30，=40，再根据角平分线的性质得到=15,=20，最后利用延展知识求出=50，再次利用延展知识即可求出AEC的大小；（2）根据（1）的推理计算过程再次推算即可得到答案；（3）根据（2）的结论即可得到答案（1）解：如下图所示，设 BC 与 AE 相交于点 F，ABCD，=30，=40 AE 平分BAD，CE 平分BCD，=15,=20，是 的外角，=+=50，是 的外角，=+，=50 15=35；（2）如下图所示，设 BC 与 AE 相交于点 F，ABCD，=，=AE 平分BAD，CE
111、平分BCD，=2,=2，是 的外角，=+=+2，是 的外角，=+，=+2 2=+2；（3）根据（2）得=+2，=12(+),+=2【点睛】本题考查平行直线的性质、角平分线的性质和三角形的外角，解题的关键是能够正确的运用延展知识正确的识别三角形的外角【考点 15 与平行线有关的三角形内角和问题】【例 15】（2022辽宁盘锦七年级期末）（1）问题情境：如图 1，=140，=120，求的度数；（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图 2，的角平分线与的角平分线交于点 F，则的度数为多少？请说明理由；（3）问题拓展：如图 3，点 P 在射线上移动时（点 P 与点 O，M，D 三点不重合），记=，=，请
112、直接写出与，之间的数量关系【答案】（1）100；（2）50，理由见解析；（3）当点 P 在上时，=+；当点 P 在延长线上时，=；当点 P 在延长线上时，=【分析】（1）过点 P 作 ，将分成和两部分，然后根据平行线的性质将两部分的度数相加即可；（2）分别过点 P 和点 F 作 ，由（1）知+的度数，根据角平分线的定义求出+的度数，然后同第一问用平行线的性质即可求出的度数；（3）分三种情况讨论，根据平行线的性质和“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”以及等量代换即可得到答案【详解】解：（1）过点 P 作 ，如图，=，=，=140，=120，=180 =180 140=40，=180
113、=180 120=60，=+=40+60=100（2）分别过点 P 和点 F 作 ，如图，=，=，=，由（1）得+=100，的角平分线与的角平分线交于点 F，=12，=12，+=12 +12 =12(+)=50，=+=+=50（3）当点 P 在上时，如原题图 3，和（1）同理可得：=+；当点 P 在延长线上时，如图所示，AP 交 CD 于点 E，=，又=+，=；当点 P 在延长线上时，如图所示，CP 交 AB 于点 F，=，又=+，=综上所述，当点 P 在上时，=+；当点 P 在延长线上时，=；当点 P 在延长线上时，=【点睛】本题主要考查了平行线的性质，还考查了角平分线的定义，三角形的内角和
114、定理的推论；解题的关键是：（1）正确作出辅助线，并灵活使用平行线的性质；（2）正确作出两条平行辅助线，并能灵活使用角平分线的定义和平行线的性质；（3）能用分类讨论的数学思想【变式 15-1】（2022山东德州七年级期中）如图所示，1=3，(1)求证：(2)若3=45，求的度数【答案】(1)见解析(2)45 【分析】（1）根据平行线的性质与判定可得 CDFG，根据题意 ，即可得证；（2）由（1）得BFG90，根据三角形内角和定理可得B45，根据 DE/BC，即可求解（1）DEBC12 又13 2=3,CDFG又CDABFGAB（2）由（1）得BFG90 B3BFG180 B4590180，B45
115、 DE/BCADEB45 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，掌握平行线的性质与判定是解题的关键【变式 15-2】（2022江苏南通七年级期末）在 中，CD 平分交 AB 于点 D，点 E 是射线 AB 上的动点（不与点 D 重合），过点 E 作交直线 CD 于点 F，的角平分线所在的直线与射线 CD 交于点 G (1)如图 1，点 E 在线段 AD 上运动 若=60，=30，则=_；若=80，求的度数；(2)若点 E 在射线 DB 上运动时，探究与之间的数量关系，请直接写出答案【答案】(1)45；=50(2)=90 12 或=90+12 【分析】（1）根据平行线的性质，角
116、平分线的定义以及三角形的内角和定理，得出=12 +12，代入进行计算即可；由的方法得出=12 +12，进而满出=12(180 )，代入计算即可；（2）分类讨论进行解答，画出相应位置的图形，根据（1）中的结论和平角的定义，可得当点 E 在线段 AD上时，有=90 12 成立；当点 E 在线段 DB 上或 DB 的延长线上时，有=90+12 成立（1）解：EFBC，B=FEB，EFD=BCD，CF 是ACB 的平分线，EG 是FED 的平分线，=12 =12，=12 =，又EGC=FEG+EFG，=12 +12，=12 60+12 30=45，故答案为：45；由得=12 +12 =12(+)=12
117、(180 )=90 12 =90 12 80=50（2）当点 E 在 AD 上时，如图（1），由（1）得，=90 12；当点 E 在线段 DB 上时，如图（2），由（1）得，=90 12，=180 =180 90+12 =90+12；当点在射线 DB 上时，如图（3），由（1）得，=90 12，=180 =180 90+12 =90+12；综上所述，EGC 与A 之间的数量关系为：=90 12 或=90+12 答：若点 E 在射线 DB 上运动时，EGC 与A 之间的数量关系为：=90 12 或=90+12 【点睛】本题考查角平分线，平行线以及三角形内角和定理，理解角平分线的定义、平行线的性质
118、以及三角形内角和定理是解题关键【变式 15-3】（2022江苏宿迁七年级期末）如图，在 中，点 D 在上，过点 D 作 ，交于点 E，平分，交的平分线于点 P，与相交于点 G，的平分线与相交于点 Q (1)若=50，=60，则=_，=_；(2)若=50，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由；(3)若=，则=_，=_；（用含 x 的代数式表示）；(4)若 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数【答案】(1)115，25(2)不发生变化，理由见解析(3)(90+12)，2(4)45，60，120，135 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三
119、角形内角和定理即可求解；（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；（3）将（2）中=50换成=，同理即可求解；（4）设=，由（3）可知=(90 12)，=12 再由=90不变，即可分类讨论当=3时，当=3时，当=3时和当3=时，分别列出关于 x的等式，解出 x 即可（1）=50，=60，=180 =70 平分，=12 =35 ，=60，=35 平分，=12 =30 =180 =115；=115，=180 115=65 CP 平分，CQ 平分，=12，=12 +=180，+=90，即=90，=90 =25 故答案为：115，25；（2）当的度数发生变化时，、的度数不发
120、生变化 理由如下：=50，+=130 ，=，=平分，平分，=12 =12，=12 =180 (+)=180 12(+)=180 12 130=115 =65 由（1）可知=90不变，=90 =25 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化；（3）=，+=180 ，=，=平分，平分，=12 =12，=12 =180 (+)=180 12(+)=180 12 (180 )=(90+12)=180 (90+12)=(90 12)由（1）可知=90不变，=90 =90 (90 12)=12 故答案为：(90+12)，2；（4）设=，由（3）可知=(90 12)，=12 =90，可分类讨论：当=3时，(9
121、0 12)=13 90，解得：=120，=120；当=3时，12 =13 90，解得：=60，=60；当=3时，(90 12)=3 12，解得：=90，=45 =45；当3=时，3 (90 12)=12，解得：=135，=135 综上可知=45或60或120或135【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键【考点 16 与折叠有关的三角形内角和问题】【例 16】（2022江苏睢宁县桃园中学七年级期中）如图所示，在四边形纸片 ABCD 中，A=80，B=70，将纸片沿着 MN 折叠，使 C，D 分别落在直线 AB 上的，处，则+等于
122、（）A50 B60 C70 D80【答案】B【分析】首先根据四边形内角和定理可得D+C=210，再利用折叠性质可得=D，=C，即+=210，从而得出+=150，最后进一步利用三角形内角和定理求解即可.【详解】A=80，B=70，D+C=360AB=210，由折叠性质可得：=D，=C，+=210，+=360(+)=150，+=360(+)(A+B)=60，故选：B.【点睛】本题主要考查了三角形与四边形内角和定理以及折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.【变式 16-1】（2022全国八年级课时练习）如图，在 中，=90，在边上取点，使得=，连接点、分别为、边上的点，且=48，将 沿直线翻折，使
123、点落在边上的点处，若/，则的度数为_ 【答案】26【分析】根据题意可得=，设=，是 的一个外角，可得2 =90，根据三角形内角和定理可得+=+，即+=84，联立解方程组即可求得【详解】折叠 =48，=180 2 48=84 设=/=90，=+=+=90，+=+=90 =90 是 的一个外角 =+=90 +=即2 =90 =180 =180 +=+即90+=84+(90 )即+=84 2-得3=78 即=26 故答案为：26【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质，解二元一次方程组，理清角度之间的关系，设未知数列方程组是解题的关键【变式 16-2】（2022
124、全国八年级课时练习）直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接 （1）如图 1，已知，分别是和角的平分线，点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小 如图 2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则=_；如图 3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则=_（2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，在中，如果有一个角是另一个角的32倍，求的度数【答案】（1）ACB 的大小不会发生变化，ACB=45；（2）30，60；（3）60或 72【分析】（1）由直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于 O，得到AOB=9
125、0，根据三角形的外角的性质得到PAB+ABM=270，根据角平分线的定义得到BAC=12PAB，ABC=12ABM，于是得到结论；图 2 中，由于将 ABC 沿直线 AB 折叠，若点 C 落在直线 PQ 上，得到CAB=BAQ，由角平分线的定义得到PAC=CAB，根据三角形的内角和即可得到结论；图 3 中，根据将 ABC 沿直线 AB 折叠，若点 C 落在直线 MN 上，得到ABC=ABN，由于 BC 平分ABM，得到ABC=MBC，于是得到结论；（2）由BAO 与BOQ 的角平分线相交于 E 可知EAO=12BAO，EOQ=12BOQ，进而得出E 的度数，由 AE、AF 分别是BAO 和OA
126、G 的角平分线可知EAF=90，在 AEF 中，由一个角是另一个角的32倍分情况进行分类讨论即可解答【详解】（1）ACB 的大小不变，直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于 O，AOB=90，OAB+OBA=90，PAB+ABM=270，AC、BC 分别是BAP 和ABM 角的平分线，BAC=12PAB，ABC=12ABM，BAC+ABC=12（PAB+ABM）=135，ACB=45；图 2 中，将 ABC 沿直线 AB 折叠，若点 C 落在直线 PQ 上，CAB=BAQ，AC 平分PAB，PAC=CAB，PAC=CAB=BAO=60，AOB=90，ABO=30，图 3 中，将 ABC 沿直线
127、AB 折叠，若点 C 落在直线 MN 上，ABC=ABN，BC 平分ABM，ABC=MBC，MBC=ABC=ABN，ABO=60，故答案为：30，60；（2）BAO 与BOQ 的角平分线相交于 E，EAO=12BAO，EOQ=12BOQ，E=EOQ-EAO=12（BOQ-BAO）=12ABO，AE、AF 分别是BAO 和OAG 的角平分线，EAF=90 在 AEF 中，有一个角是另一个角的32倍，故有：EAF=32E，E=60，ABO=120（不合题意，舍去）；EAF=32F，E=30，ABO=60；F=32E，E=36，ABO=72；E=32F，E=54，ABO=108（不合题意，舍去）；A
128、BO 为 60或 72【点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来，然后再根据内角和定理进行求解.同学们在解答这种问题的时候，一定要注意外角与内角之间的联系，不能只关注某一部分.在需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想.【变式 16-3】（2022全国八年级课时练习）如图 1，三角形中，=58,=90,=32点 E是边上的定点，点 D 在边上运动沿折叠三角形，点 C 落在点 G 处 （1）如图 2，若/，求的度数（2）如图 3，若/，求的度数（3）当三角形的三边与三角形的三边有一组边平行时
129、，直接写出的度数【答案】（1）64；（2）26；（3）58或 148或 154或 122或 116或 26【分析】（1）根据折叠的性质得到CDE=A=GDE=58，即可求出ADG；（2）根据 GEAB，得到BEG=90，算出BFD，利用四边形内角和即可求出ADG；（3）找出其他所有情况，画出图形，利用平行线的性质求解即可【详解】解：（1）由折叠可知：C=DGE=32，CDE=GDE，DEAB，ABBC，DEBC，则 G 在 BC 上，CDE=A=GDE=58，ADG=180-582=64；（2）由折叠可知：C=DGE=32，CDE=GDE，DEC=DEG，GEAB，B=CEG=BEG=90，=
130、12 =45，ADE=45+32=77，GDE=180-45-32=103，A=58，B=90，ADG=GDE-ADE=103-77=26；（3）如图，DGAB，则CDG=A=58；如图，DGBC，ADG=C=32，CDG=180-ADG=148；如图，EGAC，ADG=G=C=32，CDG=180-ADG=148；如图，EGAB，A=CFE=58，B=CEG=90，由折叠可知：DEG=DEC=45，CDE=180-45-32=103=EDG，EDF=180-103=77，ADG=103-77=26，CDG=180-ADG=154；如图，DGAB，ADG=A=58，CDG=180-ADG=122；如图，DEAB，ADG=2C=64，CDG=180-ADG=116；如图，GE/AB，CEG=B=90，CDG=CEG-C-G=26；综上：其他所有情况下CDG 的度数为 58或 148或 154或 122或 116或 26【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠问题，解题的难点在于找出所有符合题意的情况，得到角的关系
