1、1.3.1 圆的极坐标方程 本文在学习极坐标的基础上来进一步学习简单曲线的极坐标方程，具体为教材：P12-P13。先学习体会极坐标方程的定义（任意一点）；不同圆心的圆的极坐标方程的求法和方程的表示；感受课本的递进研究方法。最后巩固并复习在平面直角坐标系中圆的方程的求法。本节课的关键在于让学生体会到极坐标方程是涉及长度与角度的问题，列方程实质是解直角或斜三角形问题，要使用旧的三角知识。1.会求圆心不同的圆的极坐标方程。2.体会圆的极坐标方程的推出过程。3.类比直角坐标系中求圆心不同的圆的方程，感受 极坐标系中求曲线方程的方法。1.在平面直角坐标系中,曲线C和方程f(x,y)=0满足(1)曲线C上
2、点的坐标都是方程的解(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C是方程 f(x,y)=0 的曲线。3.圆的一般式方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 22(DE4F0)2.圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2 =r2 4.极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)，极坐标是(,)x=cos,y=sin222,tan(0)xyyxx5、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中：R为ABC的外接圆半径）2222cosabcbcA6.余弦定理：222cos2bcaAbc如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0)(
3、a 0)你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件吗？xC(a,0)OA2,(,)cos2 cos.(1)(0,),(2,0)(1)2OAOAaMOAOMAMRt AMOOMOAMOAaOAa 圆经过极点。设圆与极轴的另一个交点是，那么设为圆上除点，以外的任意一点，那么。在中即 可以验证，点的坐标满足等式解：的点都在这个圆上。等式，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面坐标就是圆上任意一点的极所以，等式)1(),()1(的极坐标方程。叫做曲线那么方程上，的点都在曲线并且坐标适合方程一个满足方程一点的极坐标中至少有上任意，如果平面曲线一般地，在极坐标系中CfCffC0),(0),(0
4、),(的圆的极坐标方程。为半径就是圆心在所以，aaaCa),0)(0,(cos2极坐标方程：一、定义：如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系（）曲线上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f(,)=0;（）方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线上。则称曲线的方程是f(,)=0。二、求曲线的极坐标方程到底是求什么？与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标与之间的关系，然后列出方程f(,)=0，再化简并说明。1.建极坐标系，设动点M(,)；2.找曲线上任一点满足的几何条件；3.把上面的几何条件转化为与关系 4.化简，说明 三.求曲线极坐标方程步骤：5.极坐
5、标方程与直角坐标方程可以相互转化 某些时候，用极坐标方程解决比较方便，这是一个重要的解题技巧.在极坐标系中，当研究的问题用极坐标方程难以决时，可转化为直角坐标方程求解.例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？xO rM简单。上比式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重即为圆上任意一点，则设都等于半径何特征就是它们的极径几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心)1(,),(.rrOMMrOOOxMr=rOxMa=2asinOAMC（a,0）=2acosr四.圆的极坐标方程(1)圆心在 C(a,0)(a0)，半径为 a 的圆
6、的极坐标方程为.(2)圆 心 在 极 点，半 径 为r的 圆 的 极 坐 标 方 程为.(3)圆心在点(a，2)处且过极点的圆的方程为2asin(0)2acos 例2.求圆心在(0，0)，半径为r的圆的方程 解 在圆周上任取一点 P(如图)设其极坐标为(，)由余弦定理知：CP2OP2OC22OPOCcosCOP，故其极坐标方程为r220220cos(0)思路点拨 结合圆的定义求其极坐标方程 OxMaOxMa=2asin()=-2asin=2acos()=-2acos 五.几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即 00 时，方程为 r220220cos，若再有 0r，则其方程为 20cos
7、 2rcos，若 0r，00，则方程为 2rcos(0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（）.2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC2.求下列圆的极坐标方程()中心在极点，半径为2；()中心在(a,0)，半径为a；()中心在(a,/2)，半径为a；()中心在(0,)，半径为r。22acos 2asin 2+02-2 0 cos(-)=r2已知一个圆的方程是5 3cos-5sin求圆心坐例3.标和半径。222225 3 cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522x
8、yxyxy两边同乘以 得即化为直角坐标为 即所以圆心为解半径是：3110(cossin)10cos(),226(5,),5,6解：原式可化为所以圆心为半径为Oaaaa此圆过极点圆的极坐标方程为半径为圆心为)cos(2)0)(,(你可以用极坐标方程直接来求吗？已知一个圆的方程是5 3cos-5sin求圆心坐例3.标和半径。方程是什么？化为直角坐标、曲线的极坐标方程sin414)2(22 yx圆的圆心距是多少？的两个和、极坐标方程分别是sincos21cos(,0)2sincos()cos()2212sin(,),2 22解：圆 圆心的坐标是圆圆 的圆心坐标是所以圆心距是3cos()4、极坐标方程
9、所表示的曲线是()A、双曲线B、椭圆C、抛物线D、圆D为半径的圆。为圆心，以解：该方程可以化为21)4,21()4cos(法一：41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：法二：410cos()3、圆 的圆心坐标是()0,5(、A)3,5(、B)3,5(、C)32,5(、DC5(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin,24 sin,4(2)4.xyyxy解：化为直角坐标系为即 2126:2cos,:2 3 sin20,CC、已知圆圆 试判断两圆的位置关系。所以两圆相
10、外切。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3,0(1)3(:1)0,1(,1)1(:2122221221OOOyxCOyxC78cosOCONON、从极点 作圆：的弦，求的中点的轨迹方程。ONMC(4,0)(4,0),4,4cos.CrOCCMMONCMONM如图，圆 的圆心半径连结，是弦的中点,所以，动点的轨迹方程是 解：4.圆的极坐标方程有多种形式，极坐标方程 可认为是圆的一般式方程.2222cos()aar1.曲线的极坐标方程概念 2.怎样求曲线的极坐标方程 3.圆的极坐标方程 把下列极坐标方程化为直角坐标方程(1)2cos 21；(2)2cos(4)解：(1)因为2cos 21，所以2cos22sin21.所以化为直角坐标方程为x2y21.(2)因为 2cos cos42sin sin4 2cos 2sin，所以 2 2cos 2sin.所以化为直角坐标方程为 x2y2 2x 2y0.敬请指导