1、第2讲 同角三角函数的基本关系式与 诱导公式 考纲要求考点分布考情风向标1.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tanx2011年大纲卷第14题考查定义、同角关系式；2012年大纲卷第4题考查定义、同角关系式；2013年大纲卷第2题考查定义、同角关系式；2014年大纲卷第14题考查诱导公式及三角函数单调性；2015年新课标卷第2题考查诱导公式、两角和与差的正余弦公式本节复习时应紧扣住三角函数的定义，理解同角三角函数关系式和诱导公式；观察分析这些公式特征，掌握记忆诀窍；通过基本题型，掌握解题规律2sincosxx
2、1同角三角函数关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：sincostan.2六组诱导公式sincostan组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin_sinsincoscos余弦coscos_cossinsin正切tantantan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限223三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴于点 M，则点 M是点 P 在 x 轴上的正射影由三角函数的定义知，点 P 的坐标为(cos，sin)，其中 cosOM，sinMP.单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A，单位圆在点
3、A 的切线与角的终边或其反向延长线相交于点 T，则 tanAT.我们把有向线段 OM，MP，AT 分别叫做的余弦线、正弦线、正切线.余弦线正弦线三角函数线有向线段 OM 为 有向线段 MP 为 有向线段 AT 为正切线1cos330()CA12 B12C 32 D 32C2(2013 年广东)已知 sin52 15，那么 cos()A25B15 C15 D25解析：sin52 sin22 sin2 cos15.43(2013 年大纲)已知 是第二象限角，sin 513，则 cos()A1213B 513 C 513 D1213解析：cos151321213，是第二象限角，所以cos1213.故
4、选 A.4已知 tan3，则 sincossin2cos_.A考点 1 求三角函数值答案：D例 1：(1)(2015 年福建)若 sin 513，且 为第四象限角，则 tan 的值等于()A125 B125 C 512 D 512解析：由 sin 513，且 为第四象限角，得 cos1sin21213.则 tan sincos 512.故选 D.(2)(2011 年大纲)已知，32，tan2，则 cos_.解析：，32，tan2，则 cos 55.答案：55答案：A(3)(2012 年大纲)已知 为第二象限角，sincos 33，则 cos2()A 53 B 59 C 59 D 53解析：si
5、ncos 33，两边平方可得 1sin213sin223.是第二象限角，因此 sin0，cos0.所以 cossin cossin2123 153.cos2cos2sin2(cossin)(cossin)53.【规律方法】(1)已知sin，cos，tan三个三角函数值中的一个，就可以求另外两个但在利用平方关系实施开方时，符号的选择是看属于哪个象限，这是易出错的地方，应引起重视而当的象限不确定时，则需分象限讨论，不要遗漏终边在坐标轴上的情况(2)同角三角函数的基本关系式反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的性质、变形提供了工具和方法考点 2 三角函数的化简例 2：化简：(1)12sin
6、10cos10cos10 1cos210；(2)1sin4cos41sin6cos6.解：(1)原式 sin10cos102cos10|sin10|sin10cos10|cos10sin10 cos10sin10cos10sin101.(2)方法一，原式cos2sin22cos4sin4cos2sin23cos6sin62cos2sin23cos2sin2cos2sin223.方法二，原式1cos4sin41cos6sin61cos2sin222cos2sin21cos2sin2cos4cos2sin2sin4112cos2sin21cos2sin223cos2sin22cos2sin23co
7、s2sin223.方法三，原式1cos21cos2sin41cos21cos2cos4sin6sin21cos2sin2sin21cos2cos4sin42cos21cos2cos2sin2cos2sin22cos21cos2cos2sin22cos23cos223.【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作有目的的变形，注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧，对于有平方根的式子，去掉根号的同时加绝对值号再化简本 题出现了sin4，sin6，cos4，cos6，应联想到把它们转化为 sin2，cos2的关系，从而利用1sin2cos2进行降幂解决【互动探究】B解析：f(x)cos
8、2x 是周期为的偶函数故选 B.1设函数 f(x)sin2x2，xR，则 f(x)是()A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数考点 3 三角函数的证明 例 3：求证：tansintansintansintansin.证明：方法一，右边tan2sin2tansintansin tan2tan2cos2tansintansintan21cos2tansintansintan2sin2tansintansin tansintansin左边原等式成立方法二，左边tansintantancossin1cos，右边tantancostansin1c
9、ossin1cos2sin1cossin2sin1cossin1cos.左边右边，原等式成立方法三，tansin0，tansin0，要证原等式成立，【规律方法】证明三角恒等式，可以从左向右证，也可以从右向左证，证明两端等于同一个结果，对于含有分式的还可以考虑应用比例的性质.只要证tan2sin2tan2sin2成立，而tan2sin2tan2(1cos2)tan2(tancos)2tan2sin2，即tan2sin2tan2sin2成立，原等式成立【互动探究】2求证：tan2sin2cos6cossin5tan.证明：左边sin2cos2sincoscos2sinsinsincoscoscos
10、sin sincoscoscos tan 右边原等式成立难点突破三角齐次式问题例题：已知 3sin2cos0，求下列各式的值：(2)sin22sincos4cos2.(1)cossincossincossincossin；解：由已知，得 tan23.(1)cossincossincossincossin1tan1tan1tan1tan123123123123265.(2)sin22sincos4cos2sin22sincos4cos2sin2cos2tan22tan4tan21494344912813.【规律方法】已知 tan 的值，求形如msinncosPsinQcos式子的值时，可利用 t
11、ansincos把上式转化为mtannPtanQ求值；而对形如 asin2bsincosccos2 的式子，可把分母看作 1，进而将1sin2cos2 代入，转化为关于 tan 的函数后再求值【互动探究】3(2015 年四川)已知sin2cos0，则2sincoscos2的值是_.1解析：由已知可得，sin2cos，即 tan2,2sincoscos22sincoscos2sin2cos22tan 1tan21 4141 1.4(2011 年新课标)已知角的顶点与原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边在直线 y2x 上，则 cos2()BA45 B35 C35 D45解析：由题知，tan2，
12、cos2cos2sin2cos2sin21tan21tan235.故选 B.1诱导公式主要用于统一角：(1)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值(2)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀2同角三角函数基本关系可用于统一函数，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，常用方法有：(2)和积转换法：如利用(sincos)212sincos的关系进行变形、转化(1)弦切互化法：主要利用公式 tanxsinxcosx进行切化弦或弦化切，如asinxbcosxcsinxdcosx，asin2xbsinxcosxccos2x 等类型可进行弦化切3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin21 1tan2 tan 4.
