1、基础诊断考点突破课堂总结第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.直线与圆的位置关系设圆 C：(xa)2(yb)2r2，直线 l：AxByC0，圆心C(a，b)到直线 l 的距离为 d，由（xa）2（yb）2r2，AxByC0消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为.方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d0 相切 dr
2、 0 相离 dr 0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_.解析 如图，过 O 点作 ODAB 于 D 点，在 RtDOB 中，DOB60，DBO30，又|OD|30405|51，r2|OD|2.答案 2 基础诊断考点突破课堂总结5.(教材改编)圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_.解析 由x2y240，x2y24x4y120，得 xy20.又圆 x2y24 的圆心到直线 xy20 的距离为 22 2.由勾股定理得弦长的一半为 42 2，所以，所求弦长为 2 2.答案 2 2基础诊断考点突破课堂总结考点一 直线与圆的位置关系【例1】(1)“a3”是“直线y
3、x4与圆(xa)2(y3)28相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)直线 y 33 xm 与圆 x2y21 在第一象限内有两个不同的交点，则 m 的取值范围是()A.(3，2)B.(3，3)C.33，2 33D.1，2 33基础诊断考点突破课堂总结解析(1)若直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切，则有|a34|22 2，即|a1|4，所以 a3 或5.但当 a3 时，直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 一定相切，故“a3”是“直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切”的充分不必要条件.基础诊断考点突破课堂总结(2)当直
4、线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时 m1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离 d|m|13321，解得 m2 33(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则 1m2 33.答案(1)A(2)D 基础诊断考点突破课堂总结规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(1)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线ax
5、by1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定(2)(2017大连双基测试)圆x2y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是_.解析(1)因为 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，所以 a2b21，而圆心O到直线axby1的距离d|a0b01|a2b21a2b21，故直线与圆 O 相交.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 将直线方程代入圆方程，得(k21)x24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是 16k212(k21)0，解得 3k 3.法二 圆心(0，0)到直线 ykx2 的距离 d2k21，直线与圆没有公共点的充要条件是 d1，即2k211，解得 3k 3.答案(1
6、)B(2)3k 3基础诊断考点突破课堂总结考点二 圆的切线、弦长问题【例 2】(1)(2016全国卷)设直线 yx2a 与圆 C：x2y22ay20 相交于 A，B 两点，若|AB|2 3，则圆 C 的面积为_.(2)过原点 O 作圆 x2y26x8y200 的两条切线，设切点分别为 P，Q，则线段 PQ 的长为_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)圆 C：x2y22ay20，即 C：x2(ya)2a22，圆心为 C(0，a)，C 到直线 yx2a 的距离为d|0a2a|2|a|2.又由|AB|2 3，得2 322|a|22a22，解得 a22，所以圆的面积为(a22)4.基础诊断考点突破课堂
7、总结(2)将圆的方程化为标准方程为(x3)2(y4)25，则圆心为(3，4)，半径长为 5.由题意可设切线的方程为 ykx，则圆心(3，4)到直线 ykx 的距离等于半径长 5，即|3k4|k215，解得 k12或 k112，则切线的方程为 y12x 或 y112 x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，45，225，此即为 P，Q 的坐标，由两点间的距离公式得|PQ|4.答案(1)4(2)4 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)弦长的两种求法 代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式 0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长
8、.几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l2 r2d2.基础诊断考点突破课堂总结(2)圆的切线方程的两种求法 代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k.基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_.(2)过点P(2，4)引圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为_.解析(1)设 P(3，1)，圆心 C(2，2)，则|PC|2，半径 r
9、2，由题意知最短的弦过 P(3，1)且与 PC 垂直，所以最短弦长为 2 22（2）22 2.(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为 x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为 y4k(x2)，即 kxy42k0，基础诊断考点突破课堂总结直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即 d|k142k|k2（1）2|3k|k211，解得 k43，所求切线方程为43xy42430，即 4x3y40.综上，切线方程为 x2 或 4x3y40.答案(1)2 2(2)x2 或 4x3y40基础诊断考点突破课堂总结考点三 圆与圆的位置关系【例 3】(2017
10、郑州调研)已知两圆 x2y22x6y10，x2y210 x12ym0.(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)当 m45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解 因为两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为 11，61m，基础诊断考点突破课堂总结(1)当两圆外切时，由（51）2（63）2 11 61m，得 m2510 11.(2)当两圆内切时，因为定圆半径 11小于两圆圆心之间的距离 5，所以 61m 115，解得 m2510 11.(3)由(x2y22x6y1)(x2y21
11、0 x12y45)0，得两圆的公共弦所在直线的方程为 4x3y230.故两圆的公共弦的长为 2（11）2|43323|423222 7.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(1)(2016山东卷)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2017合
12、肥模拟)已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 相外切，则 ab 的最大值为()A.62B.32C.94D.2 3基础诊断考点突破课堂总结解析(1)圆 M：x2(ya)2a2，圆心坐标为 M(0，a)，半径 r1 为 a，圆心 M 到直线 xy0 的距离 d|a|2，由几何知识得|a|22(2)2a2，解得 a2.M(0，2)，r12.又圆 N 的圆心坐标 N(1，1)，半径 r21，|MN|（10）2（12）2 2，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选 B.基础诊断考点突破课堂总结(2)由圆 C1 与圆 C2 相外切，可得（ab）
13、2（22）2213，即(ab)29，根据基本不等式可知 abab2294，当且仅当 ab 时等号成立.答案(1)B(2)C 基础诊断考点突破课堂总结思想方法1.解决有关弦长问题的两种方法：(1)几何法，直线被圆截得的半弦长l2，弦心距 d 和圆的半径 r构成直角三角形，即 r2l22d2；基础诊断考点突破课堂总结(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于 x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|1k2|x1 x2|1k2（x1x2）24x1x2 或|AB|11k2|y1y2|11k2（y1y2）24y1y2.2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程.注意：斜率不存在的情形.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为1列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.
