1、第节平面向量的概念及线性运算 【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的基本概念3、4平面向量的线性运算1、2、8、11共线向量问题6、7、10综合应用5、9、12一、选择题1. (2013乐山市第一次调研考试)如图所示,梯形ABCD中,ABCD,且AB =2CD,对角线AC、DB相交于点O,若=a,=b,则等于(D) (A)a-b(B)a+b(C)a-b(D)a+b解析:=+=a+=a+(-a+b)=a+b.故选D.2.(2012山东菏泽质检)如图所示,已知AB是圆O的直径,点C、D等分,已知=a,=b,则等于(D) (A)a-b(B)a-b(C)a+b(D)a+b解析:连接OC、OD、CD,
2、则OAC与OCD为全等的等边三角形,所以四边形OACD为平行四边形,所以=+=+=a+b.故选D.3.设P是ABC所在平面内的一点,+=2,则(B)(A)+=0(B)+=0(C)+=0(D)+=0解析:如图所示,根据向量加法的几何意义,+=2P是AC的中点,故+=0.故选B.4.(2012年高考四川卷)设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是(D)(A)|a|=|b|且ab(B)a=-b(C)ab(D)a=2b解析:表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量,a与b必须方向相同才能满足=.故选D.5.若数列an的前n项和为Sn=n2+1,则向量m=(a1,a4)的模为(C
3、)(A)53(B)50(C)(D)5解析:由题知a1=S1=2,a4=S4-S3=7,所以m=(2,7),所以|m|=.故选C.6.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(A)(A)A、B、D(B)A、B、C(C)B、C、D(D)A、C、D解析:=+=3a+6b=3.因为与有公共点A,所以A、B、D三点共线.故选A.二、填空题7.已知向量a,b是两个非零向量,则在下列条件中,能使a、b共线的条件是(将正确的序号填在横线上).2a-3b=4e,且a+2b=-3e;存在相异实数、,使a+b=0;xa+yb=0(实数x,y满足x+y=0).解析:由得10a-b
4、=0,故正确.正确.对于当x=y=0时,a与b不一定共线,故错误.答案:8. 如图所示,设P、Q为ABC内的两点,且=+,=+,则ABP与ABQ的面积之比为.解析:如图所示,设=,=,则由平行四边形法则得=+,且四边形AMPN为平行四边形,于是NPAB,所以=,同理可得=.故=.答案:9.如图所示,在ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为.解析:O是BC的中点,=(+).又=m,=n,=+.M、O、N三点共线,+=1.m+n=2.答案:2三、解答题10.设点O在ABC内部,且有4+=0,求ABC的面积与OBC的面积之比.解:
5、取BC的中点D,连接OD,则+=2,4+=0,4=-(+)=-2,=-.O、A、D三点共线,且|=2|,O是中线AD上靠近A点的一个三等分点,SABCSOBC=32.11.如图所示,已知=a,=b,=c,=d,=f,试用a、b、c、d、f表示以下向量: (1);(2);(3)-;(4)+;(5)-.解:(1)=-=c-a.(2)=+=-+=-a+d.(3)-=-=d-b.(4)+=-+=b-a-c+f.(5)-=+=-d+f.12.已知ABC中,=a,=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+a+b,则动点P的轨迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.解:动点P的轨迹是AD所在的直线,且动点P的轨迹必过ABC的边BC的中点M.理由如下:依题意,由=+a+b,得-=(a+b),即=(+).如图所示,以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于M,则=,A、P、D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹必过ABC的边BC的中点M.
