1、3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3 直线的交点坐标与距离公式【学习目标】1.了解直线上的点的坐标和直线方程之间的关系.2.掌握用代数方法求两条直线的交点坐标.3.掌握判断两条直线位置关系的方法.4.初步了解经过两条直线交点的直线系方程的形式.1.两条直线的交点已知直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20相交，则其交点坐标为方程组_的解.练习1：直线 3x5y10 与直线 2x3y10 的交点坐标是()CA.(2,1)C.(2，1)B.(3,2)D.(2，2)A1xB1yC10，A2xB2yC202.两条直线的位置关系已知直线 l1：A1xB1yC10，直线 l2：A2xB
2、2yC20，可利用方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解的情况判断 l1和 l2的位置关系：方程组的解交点个数两直线关系直线方程系数特征无解0平行A1B2A2B10B1C2B2C10有唯一解1相交A1B2A2B10有无数个解无数重合A1B2A2B10B1C2B2C10练习2：如果直线 ax2y20 与直线 3xy20 平行，)那么系数 a 的值为(BA.3 B.6 C.32D.23【问题探究】1.当变化时，方程3x4y2(2xy2)0表示什么图形？该图形有什么特点？答案：该方程表示直线，当取不同的值时，方程表示不同的直线.无论取何值，直线都经过点(2,2).该点是直线 l1：3x4y
3、20 与直线 l2：2xy20 的交点.2.方程 3x4y2(2xy2)0 表示经过直线 l1：3x4y20 与直线 l2：2xy20 交点的直线的集合.在这个集合中，如何确定经过点(4，2)的直线方程？答案：把点(4，2)代入方程3x4y2(2xy2)0确定的值，再把的值代人方程3x4y2(2xy2)0即可.题型 1 判断两直线的位置关系【例 1】判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)l1：2xy7和l2：3x2y70；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.思维突破：可依据方程组解的情况来判断两直线的位置关系.解：(1)方程组
4、2xy70，3x2y70的解为x3，y1，因此直线 l1 和 l2 相交，交点坐标为(3，1).(2)方程组2x6y40，4x12y80有无数组解，这表明直线 l1 和 l2 重合.(3)方程组4x2y40，2xy30无解，这表明直线 l1 和 l2 没有公共点，故 l1l2.【变式与拓展】1.求直线l1：3x4y50与直线l2：2x3y80的交点坐标.解：由直线 l1 与 l2 的方程联立方程组，得交点坐标为(1,2).3x4y50，2x3y80，解得x1，y2.题型 2 直线恒过定点问题 【例 2】求证：不论 m 取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0 都经过一个定点，并求出这
5、个定点的坐标.所以不论 m 取什么实数，直线都经过一个定点(2，3).证法一：将已知方程以 m 为未知数，整理为(2xy1)m(x3y11)0，由于 m 取值的任意性，故有2xy10，x3y110，解得x2，y3.证法二：对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令 m0，得 x3y110；令 m1，得 x4y100.解方程组x3y110，x4y100，得两直线的交点为(2，3)，将点(2，3)代入已知直线方程左边，得(2m1)2(m3)(3)(m11)4m23m9m110 这表明不论 m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，3).(1)曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次 幂的系数为 0
6、，从而可求出定点.(2)分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标代入原方程，若满足，则此点为定点.【变式与拓展】2.(2014 年浙江模拟)若对任意的实数 k，直线 y2k(x1)恒经过定点 M，则 M 的坐标是()CA.(1,2)C.(1,2)B.(1，2)D.(1，2)解析：对任意的实数k，直线 y2k(x1)恒经过定点M，令参数 k 的系数等于零，求得 x1，可得 y2，故点M 的坐标为(1,2).故选 C.题型 3 求过两直线交点的直线方程 【例 3】求过两直线 3x4y20 与 2xy20 的交点且垂直于直线 xy10 的直线方程.即两直线的交点为(2,2).设所求直线的方程为
7、 xym0，因为此直线过交点(2,2)，所以(2)2m0，所以 m0，故所求的直线方程为 xy0.解：方法一：联立方程组3x4y20，2xy20，解得x2，y2，用过两直线交点的直线系方程可避免求两条直线的交点，但解题过程不一定简便；若使用与两直线垂直的直线系方程，则要先求交点坐标.方法二：设过两直线交点的直线方程为 3x4y2(2xy2)0.整理为一般式，得(23)x(4)y220.直线 xy10 的斜率 k11，则所求直线的斜率为 k2324，由垂直条件可得 k1k21，所以 k2324 1，解得 1.故所求的直线方程为 5x5y0，即 xy0.【变式与拓展】3.已知直线 l1：xmy60
8、，l2：(m2)x3y2m0，求 m 的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1l2；(3)l1l2；(4)l1与l2重合.解：(1)l1与l2相交13(m2)m0，m22m30m1，且m3.当m1，且m3时，l1和l2相交.(2)l1l21(m2)m30m12，当 m12时，l1l2.(3)当 m0 时，l1 不平行 l2，l1l2m213m2m6，解得 m1.(4)当 m0 时，l1 与 l2 不重合，当 l1 与 l2 重合时，有m213m2m6，解得 m3.【例4】若直线 xa2y60 和直线(a2)x3ay2a0没有公共点，求 a 的值.易错分析：容易忽略了当 a0 时，直线的斜率
9、不存在和当两条直线重合的情况.解：由题意可得两直线平行，当 a0 时，直线 x60 和直线2x0 平行，没有公共点.当 a0 时，由a21 3aa2，得 a1 或 a3；当a1 时，直线 xy60 和3x3y20 平行，没有公共点；当a3 时，直线x9y60 和x9y60 重合，有无数个公共点，不满足题意，应舍去.综上所述，a 的值为 0 或1.方法规律小结判断两条直线相交的方法.(1)两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件.(2)两直线斜率存在时，斜率不相等是两直线相交的充要条件.(3)两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件.(4)直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20，则A1B2A2B10是两直线相交的充要条件.
