1、平面向量与复数命题点1平面向量的线性运算记牢向量共线问题的4个结论(1)若a与b不共线且a b，则0；(2)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线(1t)t(O为平面内任一点，tR)；(3)(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1；(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y1，当且仅当x2y20时，ab.高考题型全通关1教材改编已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线，若向量(2,4)，(1,3)，则()A(2,4)B(3,7)C(1,1)D(1，1)D因为(2,4)，(1,3)，所以(1，1)，即(1，1)，故选D2在ABC中，D为AB的中点，点E满足4，则()A B
2、C DA因为D为AB的中点，点E满足4，所以，所以().故选A3多选设a，b是不共线的两个平面向量，已知asin b，其中(0,2)，2ab.若P，Q，R三点共线，则角的值可以为()A B C DCD因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2ab0，即0.因为P，Q，R三点共线，所以与共线，所以存在实数，使，所以asin b2ab，所以解得sin .又(0,2)，故可为或.故选CD4多选已知向量a(1，2)，b(t,1)，若ab与3a2b共线，则下列结论正确的是()AtB|b|CabDabBCD由已知可得ab(1，2)(t,1)(t1，1)，3a2b3(1，2)2(t,1)(32t，8)，因为a
3、b与3a2b共线，所以8(t1)1(32t)0，得到t，则|b|，ab2，a2b，即ab，故选BCD5已知G是ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若，则当ABC与APQ的面积之比为209时，实数的值为_或设，则由，可得，所以.又G为ABC的重心，所以()，结合P，G，Q三点共线，得1.联立消去，得2022790，解得或.6一题两空(2020烟台模拟)如图，在菱形ABCD中，AB2，BAD60，E，F分别是BC，CD的中点，若线段EF上有一点M满足m(mR)，则m_，_.法一：设，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，所以()(1).又m，所以1m，所以，m，所
4、以，所以()22.因为在棱形ABCD中，AB2，BAD60，所以4422cos 60.法二：设AM与BD交于点P，则m，因为B，P，D三点共线，所以m1，所以m，所以，所以()22.因为在菱形ABCD中，AB2，BAD60，所以4422cos 60.命题点2平面向量的数量积平面向量的数量积的运算的2种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化高考题型全通关1已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2a
5、b)()A4 B3 C2 D0B因为a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213.所以选B2多选已知向量a(1，2)，b(2,4)，则()AabB(ab)a5Cb(ab)D2|a|b|ABD因为142(2)，所以ab.又ab(1,2)，所以(ab)a5.ab(3，6)，b(ab)0，所以C错误|a|，|b|2，2|a|b|，故选ABD3已知向量a，b均为非零向量，(a2b)a，|a|b|，则a，b的夹角为()A B C DB依题意得(a2b)a0，所以a22ab，又|a|b|，所以|a|22|a|2cosa，b，故cosa，b，所以a，b，即a，b的夹角为，故选B4多选已知|a|1，|b|，且
6、|a2b|，则有()A(ab)(ab)BabC向量a与b的夹角为150Da在b方向上的投影为AC因为|a|1，|b|，所以(ab)(ab)3a2b20，所以(ab)(ab)，故A正确；由|a2b|2a24ab4b27，故ab，则B错误；设向量a与b的夹角为，则cos ，所以150，故C正确；a在b方向的投影为|a|cos ，故D错误5(2020大同调研)在直角三角形ABC中，C，AC3，取点D，E，使2，3，那么()A6 B6 C3 D3D由2，得2()，得.由3，得3()，得.因为C，即，所以0.则223，故选D6多选已知向量a(1，1)，b(2，x)，设a与b的夹角为，则()A若ab，则x
7、2B若x1，则|ba|C若x1，则a与b的夹角为60D若a2b与a垂直，则x3ABD由ab可得x2，故A正确；若x1，则b(2,1)，|ba|(2,1)(1，1)|，故B正确；当x1时，cosa，b，故C错误；a2b(5，12x)，由5(1)(12x)0，解得x3，故D正确7一题两空在ABC中，AB3，AC2，cos A，D是边BC的中点，E是AB上一点，且(01)，则_，_.0由已知得32，所以()2292，因为01，所以.因为()，所以(3)()(2232)0.8一题两空(2020天津高考)如图，在四边形ABCD中，B60，AB3，BC6，且，则实数的值为_，若M，N是线段BC上的动点，且
8、|1，则的最小值为_依题意得ADBC，BAD120，由|cosBAD|，得|1，因此.取MN的中点E，连接DE(图略)，则2，()2()2222.注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即ABsinB，因此2的最小值为，即的最小值为.命题点3复数掌握复数代数形式的运算的方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可；(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”
9、高考题型全通关1(2020全国卷)若(1i)1i，则z()A1i B1i Ci DiD (1i)1i，i，zi，故选D2(2019全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21B(x1)2y21Cx2(y1)21Dx2(y1)21C法一：z在复平面内对应的点为(x，y)，zxyi(x，yR)|zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.故选C法二：|zi|1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，x2(y1)21.故选C法三：在复平面内，点(1,1)所对应的复数z1i满足|zi|1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，排除
10、A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z2i满足|zi|1，但点(0,2)不在选项B的圆上，排除B故选C3(2020四川五校联考)已知aR，若(1ai)(32i)为纯虚数，则a的值为()A B C DA(1ai)(32i)(32a)(23a)i，由于(1ai)(32i)为纯虚数，故解得a，故选A4(2020青岛模拟)复数z满足1i，则|z|()A2i B2 Ci D1D法一：zi，则|z|1.法二：|z|1.5多选已知z满足(i2)z1i，记z的共轭复数为，则下列说法正确的是()A|z|2Bz在复平面内对应的点位于第四象限C的虚部为D的实部为BCD由题意得zi，所以|z|，故A不对；易知
11、z在复平面内对应的点位于第四象限，故B对；，所以的虚部为，实部为，故CD对故选BCD6.多选教材改编已知复数z(ai)(32i)(aR)的实部为1，则下列说法正确的是()A复数z的虚部为5B复数z的共轭复数15iC|z|Dz在复平面内对应的点位于第三象限ACDz(ai)(32i)3a2(2a3)i，则3a21，解得a1，所以其虚部为2a32(1)35，故A正确；z15i，其共轭复数15i，故B错误；|z|，故C正确；z在复平面内对应的点为(1，5)，位于第三象限，故D正确7多选已知复数z1i(i为虚数单位)，为z的共轭复数，若复数，则下列结论正确的是()A在复平面内对应的点位于第二象限B|1C
12、的实部为D的虚部为iABCi，在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限，|1，的实部为，虚部为.故选ABC8多选已知不相等的复数z1，z2，则下列说法正确的是()A若z1z2是实数，则z1与不一定相等B若|z1|z2|，则zzC若z1，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称D若zz0，则zzAC当z12，z23时，z1z25R，但3，z1，故A正确；当z11i，z21i时，|z1|，|z2|，|z1|z2|，但z2i，z2i，zz，故B错误；设z2abi(aR，b0)，则z1abi，z1在复平面内对应的点的坐标为(a，b)，z2在复平面内对应的点的坐标为(a，b)，点(a，b)与点(a，b)关于实轴对称，故C正确；设z22i，z12i，zz0，但由于z，z不能比较大小，故D错误
