1、湖北省武汉市第二重点中学2022届高三上学期8月底模拟数学试题考试时间：2021年8月22日上午7:30-9:30 试卷满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2. 复数（为虚数单位）的虚部是（ ）A. B. C. D. 3. 已知且都不为0（），则“”是“关于的不等式与同解”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数当基本传染数高于时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而
2、导致感染这种疾病的人数量指数级增长当基本传染数持续低于时，疫情才可能逐渐消散广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗(称为接种率)，那么个感染者新的传染人数为已知新冠病毒在某地的基本传染数为了使个感染者传染人数不超过，该地疫苗的接种率至少为（ ）A. B. C. D. 5. 过正方体顶点作平面，使平面，和的中点分别为和，则直线与平面所成角的正弦值为ABCD6. 已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心.已知，则角A的最大值为（ ）A B C D7. 如图所示，已知和分别是双曲线的
3、左、右焦点，圆与双曲线位于轴上方的图像从左到右依次交于、两点，如果，则的余弦值为( )。A B. C. D.8.若，则（ ）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀则下列说明正确的是（ ）参考数据：随机变量，则，A该校学生体育成绩的方差为10 B该校学生体育成绩的期望为70C该校学生体育成绩的及格率不到85%D该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数
4、相当10.已知数列的前项和是，则下列结论正确的是（ ）A若数列为等差数列，则数列为等差数列B若数列为等差数列，则数列为等差数列C若数列和均为等差数列，则D若数列和均为等差数列，则数列是常数数列11.已知函数与函数有相同的对称中心，则下列结论正确的是（ ）A若方程在上有两个不同的实数根，则取值范围是B将函数的图象向右平移个单位，会与函数的图象重合C函数的所有零点的集合为D若函数在上单调递减，则，12在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(Alberobello)，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收人世界文化遗产名录.现测量一个Trullo的屋顶，得到圆锥其中为
5、顶点，为底面圆心)，母线长为6米，是母线的靠近点的三等分点.从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，若灯光带的最小长度为米.下面说法正确的是（ ） A圆锥的侧面积为平方米B过点的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18平方米C圆锥的外接球表面积为平方米D棱长为米的正四面体在圆锥内可以任意转动三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设，且，若能被13整除，则 。14.已知关于的不等式的解集为，则的最小值为_15. 某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的，四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何
6、一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票的概率为16在平面直角坐标系中，定义、两点间的直角距离为，如图，是圆当时的一段弧，是与轴的交点，将依次以原点为中心逆时针旋转五次，得到由六段圆弧构成的曲线则_若点为曲线上任一点，则的最大值为_四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路，道路的平面图如图所示(单位：)，已知曲线为函数，的图像，且最高点为，折线段为固定线路，其中，折线段为可变线路，但为保证驾驶安全，限定。(1)求、的值；(2)若，试用表示折线段道路的长，并求折线段道路长度的最大值。18. 已知数列满足，数列满足。
7、(1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式；(2)数列满足，求数列的前项和。19如图，平面，四边形的对角线交于点M，N为棱上一点，且平面.（1）求的值：（2）求二面角的余弦值.20. 某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：好评差评合计男性68108女性60合计216（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求
8、X的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人现从这人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值参考公式：，其中参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821.已知椭圆的左、右顶点分别为，为原点.以为对角线的正方形的顶点，在上.（1）求的离心率；（2）当时，过作与轴不重合的直线与交于，两点，直线，的斜率分别为，试判断是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说
9、明理由.22.已知函数（1）判断函数的零点个数；（2）求证：有两个极值点，且武汉二中2022届新高三暑期模拟考试数学参考答案1-8 DABCA AAC 9.BC 10.BCD 11. BD 12 AD13.1 14. 15. 16 , 17. 【解析】(1)由已知，且有，即，由，得， 2分又最高点为，解得， 4分(2)点的横坐标为3，代入函数解析式得， 5分在中，设，则，由正弦定理，有， 7分， 9分当且仅当时，折线段最长，最长为千米。 10分18. 【解析】(1)当时， 1分 又，数列是首项为，公比为的等比数列， 3分，()； 5分(2)， 6分当时，当时， 7分，当时符合， 9分， 10分
10、。 12分19（1）因为，且，所以，从而，因为平面，平面，平面平面，所以，所以.（2）以点A为坐标原点方向为y轴正方向方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，由（1）知，解得，所以，设平面法向量为，则，令，得，平面的法向量为，所以，由图可知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.20. 解：（1）填写列联表如下：好评差评合计男性4068108女性6048108合计100116216所以，所以有99%的把握认为“观影评价与性别有关” （2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，所以，所以，故X的分布列为X0123P（3）从给出“好
11、评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人,则男性4人，女性6人.则Y的可能取值为0，1，2所以，所以，即，即，解得，又，所以m的最大值为221.解法一：（1）以为对角线的正方形的顶点坐标分别为，.因为，在椭圆上，所以，所以，所以，所以椭圆的离心率；（2）当时，所以椭圆的方程为.为定值，理由如下：当直线的斜率不存在时，的方程为，则，所以，所以.当直线的斜率存在时，设的方程为，设，不妨设，且.由可得，.要证，只要证明：，只要证：，只要证：，只要证：，因为，即证，因为，所以.所以成立，综上所述：. 解法二：（1）同解法一；（2）当时，所以椭圆的方程为.设的方程为，设，不妨设.由可得，.所以，即.综上所述：.22.（1）定义域为当时，令，得，令，得，故在上单调递增，在上单调递减至多有两个零点，在上有一个零点，所以在上导数大于零，函数递增，在上导数小于零，函数递减，所以，即，从而，又，在上有一个零点综上，函数有两个零点（2）的定义域为由（1）知有两个零点，设为，且，且又在上单调递增，在上单调递减当，或时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故为的两个极值点，同理欲证，即证，令，即证，即证记，在上单调递增，故，
