1、3.1.3 空间向量的数量积运算 第三章 空间向量与立体几何 本节课主要学习空间向量夹角的概念及表示方法,空间向量数量积的运算性质及运算律.利用物理学中的功的计算方法导入新课。本节课是在学生已经掌握了平面向量数量积及性质的基础上探究空间向量数量积运算的定义、性质、运算律.通过比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；同时探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力.在充分了解平面向量的概念、运算及空间向量的概念、向量的加、减以及数乘向量等运算基础上,进一步类比探究并获得空间向量的数量积的定义、性质并掌握空间向量数量积的应用.例1的实质是著名的三垂线定理，在以后
2、的解题中有着广泛的应用；例2是利用空间向量的数量积运算证明直线与平面垂直的判定定理。sFW=|F|s|cos根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度的问题.复习空间向量的数乘运算1共面向量2共面向量定理3判定空间中三点A、B、C共线的常用方法 4O A B aabb范围:0,.a b 如果,2a b,那么向量a,b 互相垂直,记作ab.,.a bb a 两空间向量的夹角：a b，如图，已知两个非零向量，在空降任取一点O，作，则叫做向量的夹角，记作：,OAa OBbAOBa b，a b，注:两个向量的数量积是数量，而不是向量.
3、规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.已知两个非零向量,a b,则cos,a ba b 叫做,a b 的数量积,记作a b.即cos,a ba ba b.两个向量的数量积abA1 B1 BA类比平面向量,你能说出a b的几何意义吗?如图11A B 是b 在a 方向上的射影向量.显然,对于非零向量,a b,有下列性质:0;aba b 2aa a，也就是说2aa.注：性质是证明两向量垂直的依据；性质是求向量的长度（模）的依据.空间两个向量的数量积的性质()()aba b.a bb a(交换律).()abca ba c(分配律).注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字
4、相乘等均成立.空间向量的数量积满足的运算律例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.已知:如图,PO PA分别是平面 的垂线、斜线，AO 是 PA在平面 内的射影，l，且 lOA.求证：lPA.POAl分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！O典例展示证明：求证：lPA在直线l上取向量,只要证a0a PA()0a PAaPOOAa POa OA,aPAl即PA.如图,已知:,POAOllOA射影且为POAla0,0a POa OA三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直
5、.逆命题成立吗?POAla同学们：你们能不能证明三垂线定理的逆定理吗？三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足则BCD是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定0,0,0AB ACAB ADAC ADC 分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.,:2 .m nlm lnl已知直是平面的相交直如果求例线内两条
6、线证lmngn gml取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?lmngn gml内线在作任一直g,分在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.因m与n相交,故向量m,n不平行,由向量共面的充要件知,存在惟一的有序(x,y),使g=xm+yn,上式与向量l作量，得lg=xlm+yln.因lm=0,ln=明0,所以lg=0,即lg.所以lg,即l垂直于平面任一直.所以l.:别为条实数对将两边数积内线证为1.向量a、b之间的夹角为30，且|a|3，|b|4，则ab_，a2_，b2_，(a2b)(ab)_.答案 6 3 9 16 6 323解析 ab|a|b|cosa，b34cos306 3；a2aa|a|29；b2bb|b|216；(a2b)(ab)a2ab2b296 3326 323.解析 cosa，b ab|a|b|22 2 22 22，0a，b180，a，b45，a 与 b 夹角的大小为 45.2.已知|a|2 2，|b|22，ab 2，则 a 与 b 的夹角为_答案 45 通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：1.证明两直线垂直.2.求两点之间的距离或线段长度.3.证明线面垂直.4.求两直线所成角的余弦值等.课后练习课后习题
