1、山东省潍坊市第一中学2021届高三数学开学质量检查试题（含解析）一单项选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. (2，3C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合，由此能求出，进而能求出【详解】解：集合或，或，或，故选：D【点睛】本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2. 中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的
2、岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是（ ） A. 芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%B. 芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%C. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多D. 芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前“的总人数多【答案】C【解析】【分析】根据图表信息，整合数据，逐项判断即可得解.【详解】对于选项A，芯片、软件行业从业者中“90后”占总人数的55%，故选项A正确；对于选项B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”占总人数的（37%+13%）55%=27.5%，故选项B正确；对于
3、选项C，芯片、软件行业中从事技术岗位的“90后”占总人数的37%55%20.35%，“80后”占总人数的40%，但从事技术的“80后”占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，故选项C错误；对于选项D，芯片、软件行业中从事市场岗位的“90后”占总人数的14%55%7.7%、“80前”占总人数的5%，故选项D正确.故选：C.【点睛】本题考查了统计图的应用，考查了数据整合的能力，属于基础题3. 在直角梯形中，是的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由数量积的几何意义可得，又由数量积的运算律可得，代入可得结果.【详解】，由数量积的几何意义可得：的值为与在方向投影的乘积
4、，又在方向的投影为=2，同理，故选D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题.4. 已知函数，若，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到在上为增函数，再比较的大小关系即可得到答案.【详解】因为当时，为增函数，当时，为增函数，所以在上为增函数.又因为，即，所以.故.故选：B【点睛】本题主要考查函数的单调性，同时考查指数函数，对数函数的比较大小，属于简单题.5. 下列不等式一定成立的是（ ）A. lg(x2)lgx(x0)B. sinx2(xk，kZ)C. D. 1(xR)【答案】C【解析】【分析】应用基本不等式：x，y0，
5、(当且仅当xy时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件【详解】当x0时，x22xx，所以lg(x2)lgx(x0)，故选项A不正确；当xk，kZ时，sinx的正负不能确定，故选项B不正确；因为，所以选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的运用，在运用基本不等式时需保证“一正，二定，三相等”，属于基础题.6. 已知函数 （其中为自然对数的底数），则图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，进而可得出函数的图象.【详解】，该函数的定义域为，且，令，可得，此时，函数单调递减；令，可得，此
6、时，函数单调递增.所以，函数的极小值为.因此，函数的图象为C选项中的图象.故选：C【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行分析，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.7. 已知，分别为内角，的对边，则的面积为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得：，化简利用余弦定理可求得角,由可求得，根据面积公式即可求得结果.【详解】由已知及正弦定理得，化简得，故选：C【点睛】本题主要考查了数量积公式，考查解三角形中的正余弦定理以及面积公式的运用，属于中档题.8. 已知函数，若且，则的最大值为（ ）A. B. C. D.
7、【答案】B【解析】【分析】设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，计算出直线的倾斜角为，可得出，于是当直线与曲线相切时，取最大值，从而取到最大值.【详解】如下图所示：设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，当时，令，得，切点坐标为，此时，故选B.【点睛】本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题.二多项选择题9. 已知曲线.（ ）A. 若mn0，则C是椭圆
8、，其焦点在y轴上B. 若m=n0，则C是圆，其半径为C. 若mn0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10. 沙漏是古代
9、的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）A. 沙漏中的细沙体积为B. 沙漏的体积是C. 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD. 该沙漏的一个沙时大约是1565秒【答案】AC【解析】【分析】A根据圆锥的体积公式直接计算出细沙
10、的体积；B根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C根据等体积法计算出沙堆的高度；D根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.【详解】A.根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径，所以体积B.沙漏的体积；C.设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，所以；D.因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙，所以一个沙时为：秒.故选：AC.【点睛】该题考查圆锥体积有关的计算，涉及到新定义的问题，难度一般.解题的关键是对于圆锥这个几何体要有清晰的认识，同时要熟练掌握圆锥体积有关的计算公式.11. 已知函数的最大值为，其图像相邻的两
11、条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列结论正确的是（ ）.A. 函数的图像关于直线对称B. 当时，函数的最小值为C. 若，则的值为D. 要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位【答案】BD【解析】【分析】根据函数的最大值为，再根据函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，求得，然后的图像关于点对称，求得函数的解析式，再对各项验证.【详解】因为函数的最大值为，所以.因为函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，所以，又因为的图像关于点对称，所以，所以，即因为，所以.即对选项A：，故错误.对选项B，当取得最小值，故正确.对选项C，得到.因为，故错误.对选项D，图像向右平移个单位得到，故正确
12、.故选：BD【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12. 函数、，下列命题中正确的是（ ）.A. 不等式的解集为B. 函数在上单调递增，在上单调递减C. 若函数有两个极值点，则D. 若时，总有恒成立，则【答案】AD【解析】【分析】对A，根据，得到，然后用导数画出其图象判断；对B，当时，当时，判断；对C，将函数有两个极值点，有两根判断；对D，将问题转化为恒成立，再构造函数，用导数研究单调性.【详解】对A，因为，令，得，故在该区间上单调递增；令，得，故在该区间上单调递减.又当时，故的图象如下所示：数形结合可知，的解集为，故正确；对B，当时，当时，所以函数在上
13、单调递减，在上单调递增，错误；对C，若函数有两个极值点，即有两个极值点，又，要满足题意，则需有两根，也即有两根，也即直线的图象有两个交点.数形结合则，解得.故要满足题意，则，故错误；对D，若时，总有恒成立，即恒成立，构造函数，对任意的恒成立，故单调递增，则 恒成立，也即，在区间恒成立，则，故正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.三填空题13. 已知命题p：x1，命题q：，则是q的_【答案】充分不必要条件【解析】分析】写出命题，求出命题q中x的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】由
14、题意，得：x1，q：x1，故是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要条件.【点睛】本题考查充分不必要条件，考查分析理解，逻辑推理的能力，属基础题.14. 欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数满足，则_【答案】1【解析】【分析】由新定义将化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出后再求模【详解】由欧拉公式有：，由，所以所以.故答案为：1【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化为代数形式，然后求解.15. 一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元世纪）的数学著作孙子算
15、经卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时， 符合条件的共有_个【答案】【解析】【分析】由题设a=3m+2=5n+3,m,nN*,得3m=5n+1，对m讨论求解即可【详解】由题设a=3m+2=5n+3,m,nN*,则3m=5n+1当m=5k,n不存在；当m=5k+1，n不存在当m=5k+2,n=3k+1，满足题意当m=5k+3,n不存在；当m=5k+4,n不存在；故2a=15k+82019,解则k=0,1,2134,共135个故答案为135【点睛】本题以传统文化为背景考查
16、整数的运算性质，考查不等式性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题16. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，则球的半径为_；若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心在该直线上，可得，然后即可求出球的半径，若是的中点，重合，过点作球的截面，则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，然后算出答案即可.【详解】如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，所以底面外接圆的半径，过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心在该直线上，可得，连接，设外
17、接球的半径为，所以，解得若是的中点，重合，过点作球的截面， 则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，而三角形外接圆半径是斜边的一半，即2，所以截面面积为故答案为：，【点睛】几何体的外接球球心一定在过底面多边形的外心作垂直于底面的直线上.四解答题17. 在锐角中，角、的对边分别为、，且有.（1）求；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边化角公式化简即可得出答案；（2）根据锐角三角形的性质得出，再由正弦定理的边化角公式结合三角函数的性质，求出的取值范围.【详解】（1）由正弦定理的边化角公式可得，（2）由（1）可知，则为锐角三角形，则，【点睛】本题主
18、要考查了正弦定理边化角的应用，涉及了三角函数求值域的应用，属于中档题.18. 已知函数.（1）当时，求；（2）求解关于的不等式；（3）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，的解集为，当时；（3）.【解析】【分析】（1）将直接代入解析式计算即可.（2）将整理为，解得或，再对讨论即可解不等式.（3）将问题转化为，分别分和讨论，求最小值，令其大于，即可求解.【详解】（1）当时，（2）由得：或当时，解不等式可得：或当时，解不等式可得：或综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为（3）由得：或当时，或，解得：当时，或，解得：综上所述：的取值范围为【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性、考
19、查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题.19. 在正项等比数列中，已知.（1）求数列通项公式；（2）令，求数列的前100项的和.【答案】（1）；（2）5050.【解析】【分析】（1）根据题意，求得首项和公比，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）求得，写出数列的前100项的和，即可求解.【详解】（1）设公比为，则由题意可知又，解得，所以.（2）由（1）可得，则数列的前100项的和.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的分组求和的应用，其中解答中熟记等比数列的基本量的运算，以及合理分组求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20. 已知三棱锥
20、（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（I）证明：平面平面；（）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值. 图一图二【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)设AC的中点为O,证明PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.【详解】（）设的中点为，连接，.由题意，得，.因为在中，为的中点，所以，因为在中，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（）由（）知，平面，所以是直线与平面所成的角，且，所以当最短时，即是的
21、中点时，最大.由平面，所以，于是以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则由得：.令，得，即.设平面的法向量为，由得：，令，得，即.由图可知，二面角的余弦值为.【点睛】本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.21. 设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.【答案】（），；（2）的单调递增区间为.【解析】试题分析：（）根据题意求出，根据求a,b的值即可；（）由题意判断的符号，即判断的单调性，知g(x)0，即0，由此求得f(x)的单调区间.试题解析：（）因为，所以.依题设，即解得.（）由（）知.由及知，与同号.令，
22、则.所以，当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，.故的单调递增区间为.【考点】导数的应用；运算求解能力【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点22. 某医药开发公司实验室有瓶溶液，其中瓶中有细菌，现需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验次；方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细
23、菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.(1)假设，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；(2)现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.若采用方案一.需检验的总次数为,若采用方案二.需检验的总次数为.(i)若与的期望相等.试求关于的函数解析式;(ii)若,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值.参考数据：【答案】（1）（2）（）（ii）8【解析】【分析】（1）对可能的情况分类：前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；（2）(i)根据，找到与的函数关系；(ii)根据得到关于的不等式式，构造函数解决问题.【详解】解：（1）记所求事件为，“第三次含有细菌且前2次中有一次含有细菌”为事件，“前三次均不含有细菌”为事件，则，且互斥，所以（2），的取值为，所以，由得，所以；（ii）,所以，所以，所以设，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减又，所以的最大值为8【点睛】本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟记.
