1、2016-2017学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若直线mx+ny1=0过第一、三、四象限，则（）Am0，n0Bm0，n0Cm0，n0Dm0，n02函数f（x）=ex的零点所在的区间是（）ABCD3设l，m，n表示三条直线，表示三个平面，则下面命题中不成立的是（）A若lm，则lmB若m，ml，n是l在内的射影，则mnC若m，n，mn，则nD若，则4若直线l1：（k3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A3或3B3或4C3或1D
2、1或45一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A12+B10+C10D11+6直线mx+y1=0在y轴上的截距是1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）Am=，n=2Bm=，n=2Cm=，n=2Dm=，n=27母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120，则该圆锥的体积为（）ABCD8在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成角为（）A30B60C90D1209已知点M（a，b）在直线3x+4y20=0上，则的最小值为（）A3B4C5D610已知边长为a的菱形ABCD中，ABC=60，将该菱形沿对角线AC折起，使BD
3、=a，则三棱锥DABC的体积为（）ABCD11在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A30B45C60D9012如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）AB5C6D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知直线3x+4y5=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是14设函数f（x）=，若函数y=f（x）k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是15已知点（0，2）关于直线l的对称
4、点为（4，0），点（6，3）关于直线l的对称点为（m，n），则m+n=16定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B20）的有向距离为d=已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；若d1=d2，则直线P1P2与直线l垂直；若d1d20，则直线P1P2与直线l平行或相交；若d1d20，则直线P1P2与直线l相交，其中所有正确命题的序号是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4c
5、m，5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V18过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2xy2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程19如图，四棱锥PABCD中，BCAD，BC=1，AD=2，ACCD，且平面PCD平面ABCD（1）求证：ACPD；（2）在线段PA上是否存在点E，使BE平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由20如图，在ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x3y+2=0，BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，3）（1）求点A和点C的坐标；（2）求ABC的面积21某化工厂
6、每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）a|+2a+1，x0，24，其中a为污水治理调节参数，且a（0，1）（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？22已知三棱锥PABC中，E、F分别是AC、AB的中点，ABC，PEF都是正三角形，PFAB（）证明PC平面PAB；（）求二面角PABC的平面角的余弦值；（）若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上，求ABC的边长2016-2017学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考
7、答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若直线mx+ny1=0过第一、三、四象限，则（）Am0，n0Bm0，n0Cm0，n0Dm0，n0【考点】直线的一般式方程【分析】根据题意，分析可得直线的斜率k为正，在y轴上的截距为正，即有0，0，分析可得答案【解答】解：根据题意，直线mx+ny1=0过第一、三、四象，则直线的斜率k为正，在y轴上的截距为正，如图：则必有0，0，分析可得：m0，n0，故应选：C2函数f（x）=ex的零点所在的区间是（）ABCD【考点】函数零点的判定定理【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验
8、证f（0），f（），f（），等的符号情况即可也可借助于图象分析：画出函数y=ex，y=的图象，由图得一个交点【解答】解：画出函数y=ex，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案，选B3设l，m，n表示三条直线，表示三个平面，则下面命题中不成立的是（）A若lm，则lmB若m，ml，n是l在内的射影，则mnC若m，n，mn，则nD若，则【考点】命题的真假判断与应用【分析】A，两条直线同垂直一平面，此两直线平行；B，由三垂线定理判定；C，由线面平行的判定定理判定；D，若时，、可能相交；【解答】解：对于A，两条直线同垂直于一平面，此两直线平行，故正确；对于B，若m，ml，
9、n是l在内的射影，则mn，由三垂线定理知正确；对于C，若m，n，mn，则n，由线面平行的判定知正确；对于D，若时，、可能相交，故错；故选：D4若直线l1：（k3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A3或3B3或4C3或1D1或4【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出【解答】解：直线l1：（k3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k3）y+3=0互相垂直，（k3）（k+1）+（k+4）2（k3）=0，即k29=0，解得k=3或k=3，故选：A5一个几何体的三视图如图所示，则该
10、几何体的表面积为（）A12+B10+C10D11+【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，求出几何体的表面积即可【解答】解：由三视图知：原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，所以该几何体的表面积为S=12+故选A6直线mx+y1=0在y轴上的截距是1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）Am=，n=2Bm=，n=2Cm=，n=2Dm=，n=2【考点】直线的斜截式方程【分析】根据题意，设直线mx+y1=0为直线l，由直线的一般式方程分析可得：直线=0的斜率k=
11、，倾斜角为60，结合题意可得直线l的倾斜角为120，进而可得其斜率，又由其在y轴上的截距是1，可得直线l的方程，结合直线的方程分析可得答案【解答】解：根据题意，设直线mx+y1=0为直线l，另一直线的方程为=0，变形可得y=（x3），其斜率k=，则其倾斜角为60，而直线l的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则直线l的倾斜角为120，且斜率k=tan120=，又由l在y轴上的截距是1，则其方程为y=x1；又由其一般式方程为mx+y1=0，分析可得：m=，n=2；故选：A7母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120，则该圆锥的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】先求出侧面展开
12、图的弧长，从而求出底面圆半径，进而求出圆锥的高，由此能求出圆锥体积【解答】解：母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120，120=，侧面展开图的弧长为：1=，弧长=底面周长=2r，r=，圆锥的高h=，圆锥体积V=r2h=故选：A8在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成角为（）A30B60C90D120【考点】异面直线及其所成的角【分析】由题意画出图形，取AB中点G，连接MG，可得四边形MGB1C1为平行四边形，则B1GC1M，则B1G与BN所成角即为异面直线C1M与BN所成角，由RtBANRtB1BG，则有NBG+B1GB=90，可
13、得B1GBN，即异面直线C1M与BN所成角为90【解答】解：如图，取AB中点G，连接MG，可得四边形MGB1C1为平行四边形，则B1GC1M，B1G与BN所成角即为异面直线C1M与BN所成角，由题意可得RtBANRtB1BG，则有NBG+B1GB=90，B1GBN，即异面直线C1M与BN所成角为90故选：C9已知点M（a，b）在直线3x+4y20=0上，则的最小值为（）A3B4C5D6【考点】二次函数的性质；点到直线的距离公式【分析】考虑a2+b2的几何意义，利用转化思想，求出原点到直线3x+4y20=0的距离即可【解答】解：点M（a，b）在直线3x+4y20=0上，则的几何意义是点M（a，b
14、）到原点的距离，而原点到直线的距离d=4，则的最小值为：4故选：B10已知边长为a的菱形ABCD中，ABC=60，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥DABC的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】三棱锥BACD是一个正四面体过B点作BO底面ACD，则点O是底面的中心，由勾股定理求出BO，由此能求出三棱锥DABC的体积【解答】解：边长为a的菱形ABCD中，ABC=60，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，由题意可得：三棱锥BACD是一个正四面体如图所示：过B点作BO底面ACD，垂足为O，则点O是底面的中心，AO=在RtABO中，由勾股定理得BO=三棱锥DABC的体
15、积V=故选：D11在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A30B45C60D90【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E，则DE底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE平面BB1C1C，故ADE为AD与平面BB1C1C所成的角设各棱长为1，则AE=，DE=，tan
16、ADE=，ADE=60故选C12如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）AB5C6D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，该多面体的体积VABCDEF=VBCFGHE+VEAGHD，由此能求出结果法二：连接BE、CE，求出四棱锥EABCD的体积VEABCD=6，由整个几何体大于四棱锥EABCD的体积，能求出结果【解答】解法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF=
17、，且点E到平面ABCD的距离为2，该多面体的体积：VABCDEF=VBCFGHE+VEAGHD=SBCFEF+=+=故选：D解法二：如下图所示，连接BE、CE则四棱锥EABCD的体积VEABCD=332=6，又整个几何体大于四棱锥EABCD的体积，所求几何体的体积VABCDEFVEABCD，故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知直线3x+4y5=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】求出m，转化为直线3x+4y5=0与直线3x+4y+7=0之间的距离【解答】解：由题意，m=8，直线3x+4y5=0与直
18、线3x+4y+7=0之间的距离是=，故答案为：14设函数f（x）=，若函数y=f（x）k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+）【考点】分段函数的应用【分析】画出分段函数的图象，由题意可得f（x）=k有两个不等的实根，数形结合得答案【解答】解：由y=f（x）k=0，得f（x）=k令y=k与y=f（x），作出函数y=k与y=f（x）的图象如图：由图可知，函数y=f（x）k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+）故答案为：（，+）15已知点（0，2）关于直线l的对称点为（4，0），点（6，3）关于直线l的对称点为（m，n），则m+n=【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】根据
19、题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是 C，D的对称轴，求出A，B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C，D的斜率令其等于对称轴斜率的负倒数，求出C，D的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，求出m，n的值，得到答案【解答】解：根据题意，得到折痕为A（0，2），B（4，0）的对称轴；也是 C（6，3），D（m，n）的对称轴，AB的斜率为kAB=，其中点为（2，1），所以图纸的折痕所在的直线方程为y1=2（x2）所以kCD=，CD的中点为（，），所以1=2（2）由解得m=，n=，所以m+n=故答案为：16定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B20）的有向距离为d=已知点P1
20、，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；若d1=d2，则直线P1P2与直线l垂直；若d1d20，则直线P1P2与直线l平行或相交；若d1d20，则直线P1P2与直线l相交，其中所有正确命题的序号是【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据有向距离的定义，及点P（x0，y0）与Ax1+By1+C的符号，分别对直线P1P2与直线l的位置关系进行判断【解答】解：对于，若d1d2=0，则若d1=d2，Ax1+By1+C=Ax2+By2+C，若d1=d2=0时，即Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，此时直线P1P2
21、与直线l重合，错误对于，由知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，此时直线P1P2与直线l重合，错误对于，若d1d20，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）0，点P1，P2分别位于直线l的同侧，直线P1P2与直线l相交或平行，正确；对于，若d1d20，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）0，点P1，P2分别位于直线l的两侧，直线P1P2与直线l相交，正确故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，其
22、高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】求出三棱柱ABCA1B1C1的体积和圆柱的体积，由，能求出剩余部分几何体的体积V【解答】解：三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，ABC是直角边长为3cm，4cm的直角三角形， 设圆柱底面圆的半径为r，则， 所以18过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2xy2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程【考点】直线的一般式方程；两条直线的
23、交点坐标【分析】设出A与B两点的坐标，因为P为线段AB的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A的坐标代入直线l1，把B的坐标代入直线l2，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A的坐标，然后由A和P的坐标，利用两点式即可写出直线l的方程【解答】解：如图，设直线l夹在直线l1，l2之间的部分是AB，且AB被P（3，0）平分设点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有，又A，B两点分别在直线l1，l2上，所以由上述四个式子得，即A点坐标是，B（，）所以由两点式的AB即l的方程为8xy24=019如图，四棱锥PABCD中，BCAD，BC=1，AD=2
24、，ACCD，且平面PCD平面ABCD（1）求证：ACPD；（2）在线段PA上是否存在点E，使BE平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由【考点】直线与平面垂直的性质【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明AC平面PCD，即可证明ACPD；（2）当点E是线段PA的中点时，BE平面PCD利用已知条件，得到四边形BCFE为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明【解答】证明：（1）连接AC，平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCD=CD，ACCD，AC平面ABCD，AC平面PCD，PD平面PCD，所以ACPD（2）当点E是线段PA的中点时，BE平面PCD证明如下：分别取AP
25、，PD的中点E，F，连接BE，EF，CF则EF为PAD的中位线，所以EFAD，且，又BCAD，所以BCEF，且BC=EF，所以四边形BCFE是平行四边形，所以BECF，又因为BE平面PCD，CF平面PCD所以BE平面PCD20如图，在ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x3y+2=0，BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，3）（1）求点A和点C的坐标；（2）求ABC的面积【考点】直线的一般式方程【分析】（1）由，得顶点A 利用直线AB的斜率计算公式可得kAB，x轴是BAC的平分线，可得直线AC的斜率为1，AC所在直线的方程直线BC上的高所在直线的方程为x3y+2=0，故直
26、线BC的斜率为3，可得直线BC方程为（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|，又直线BC的方程是3x+y6=0，利用点到直线的距离公式可得：A到直线BC的距离d，即可得出ABC的面积【解答】解：（1）由，得顶点A（2，0） 又直线AB的斜率，x轴是BAC的平分线，故直线AC的斜率为1，AC所在直线的方程为y=x2直线BC上的高所在直线的方程为x3y+2=0，故直线BC的斜率为3，直线BC方程为y3=3（x1），即y=3x+6联立方程，得顶点C的坐标为（4，6） （2），又直线BC的方程是3x+y6=0，所以A到直线BC的距离，所以ABC的面积=21某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（
27、时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）a|+2a+1，x0，24，其中a为污水治理调节参数，且a（0，1）（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）通过，化简，求出x=4得到一天中早上4点该厂的污水污染指数最低（2）设t=log25（x+1），设g（t）=|ta|+2a+1，t0，1，得到，利用分段函数，函数的单调性最值求解即可【解答】解：（1）因为，则当f（x）=2时，得，即x=4所以一天中早上4点该厂的污水污染指数
28、最低（2）设t=log25（x+1），则当0x24时，0t1设g（t）=|ta|+2a+1，t0，1，则，显然g（t）在0，a上是减函数，在a，1上是增函数，则f（x）max=maxg（0），g（1），因为g（0）=3a+1，g（1）=a+2，则有，解得，又a（0，1），故调节参数a应控制在内22已知三棱锥PABC中，E、F分别是AC、AB的中点，ABC，PEF都是正三角形，PFAB（）证明PC平面PAB；（）求二面角PABC的平面角的余弦值；（）若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上，求ABC的边长【考点】直线与平面垂直的判定；球内接多面体；与二面角有关的立体几何综合题【分析】（I）连
29、接CF，由ABC，PEF是正三角形且E，F为AC、AB的中点，可得PE=EF=BC=AC，可得PAPC，由已知易证AB面PCF，从而可得ABPC，利用线面垂直的判定定理可证（II）：（法一定义法）由ABPF，ABCF可得，PFC为所求的二面角，由（I）可得PEF为直角三角形，RtPEF中，求解即可（法二：三垂线法）作出P在平面ABC内的射影为O，即作PO平面ABC，由已知可得O为等边三角形ABC的中心，由PFAB，结合三垂线定理可得ABOF，PFO为所求的二面角，在RtPFO中求解PFO（III）由题意可求PABC的外接球的半径R=，（法一）PC平面PAB，PAPB，可得PAPBPC，所以PA
30、BC的外接求即以PAPBPC为棱的正方体的外接球，从而有，代入可得PA，从而可求（法二）延长PO交球面于D，那么PD是球的直径即PD=2，在直角三角形PFO中由tanPO=，而OA=，利用OA2=OPOD，代入可求【解答】解（）证明：连接CFPE=EF=BC=ACAPPCCFAB，PFAB，AB平面PCFPC平面PCF，PCAB，PC平面PAB（）解法一：ABPF，ABCF，PFC为所求二面角的平面角设AB=a，则AB=a，则PF=EF=，CF=acosPFC=解法二：设P在平面ABC内的射影为OPAFPAE，PABPAC得PA=PB=PC于是O是ABC的中心PFO为所求二面角的平面角设AB=a，则PF=，OF=acosPFO=（）解法一：设PA=x，球半径为RPC平面PAB，PAPB，x=2R4R2=12，R=得x=2ABC的边长为2解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径连接OA、AD，可知PAD为直角三角形设AB=x，球半径为R4R2=12，PD=2PO=OFtanPFO=x，OA=x，=x（2x）于是x=2ABC的边长为22017年2月28日