1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时等比数列习题课学习目标1.进一步熟练掌握等比数列及其前n项和的应用(数学运算)2.掌握等差、等比数列的综合应用(逻辑推理)关键能力合作学习类型一等比数列的基本运算(数学运算)1.已知等比数列an中,a3=3,a10=384,则该数列的通项公式an=.2.已知数列an满足1+log3an=log3an+1(nN+)且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是()A.B.-C.5D.-53.(2020抚州高一检测)等比数列各项均为正数,若a1=1,an+2+2an+1=15an,则的前6项和为()A.364B.63C.D.【解析】1.由已知得=q
2、7=128=27,故q=2.所以an=a1qn-1=a1q2qn-3=a3qn-3=32n-3.答案:32n-32.选D.由1+log3an=log3an+1(nN+),得an+1=3an,即an是公比为3的等比数列.设等比数列an的公比为q,又a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)=loq3(a2+a4+a6)=lo(339)=-5.3.选A.an+2+2an+1=15an等价于anq2+2anq=15an因为an0,故可得q2+2q-15=0,解得q=-5(舍),q=3;故由公式可得S6=364.等比数列中的基本运算技巧(1)数列中有五个量a1,n,q,an ,Sn ,一般可以“
3、知三求二”,通过列方程(组)所求问题可迎刃而解.(2)解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程.(3)在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.类型二等比数列前n项和的应用(逻辑推理)角度1等比数列前n项和的实际应用【典例】某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付38元;第二种,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,以此类推;第三种,第一天付0.4元,以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢?
4、【思路导引】结合题意建立等比数列模型求解.【解析】设该学生工作n天,每天领工资an元,共领工资Sn元,则第一种方案an(1)=38,Sn(1)=38n;第二种方案an(2)=4n,Sn(2)=4(1+2+3+n)=2n2+2n;第三种方案an(3)=0.42n-1,Sn(3)=0.4(2n-1).令Sn(1)Sn(2)即38n2n2+2n,解得n18,即小于或等于18天时,第一种方案比第二种方案报酬高(18天时一样高).令Sn(1)Sn(3),即38n0.4(2n-1),利用计算器计算得小于或等于9天时,第一种方案报酬高,所以少于10天时,选择第一种方案.比较第二、第三种方案,S10(2)=2
5、20,S10(3)=409.2,S10(3)S10(2),Sn(3)Sn(2).所以等于或多于10天时,选择第三种方案.综上,当小于或等于9天时,选择第一种方案,等于或多于10天时,选择第三种方案.角度2错位相减法求和【典例】已知数列an是首项为正数的等差数列,数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=(an+1),求数列bn的前n项和Tn.【思路点拨】数列an是等差数列,是等比数列,求数列bn的前n项和,可采用错位相减法.【解析】(1)设数列an的公差为d,令n=1,得=,所以a1a2=3.令n=2,得+=,所以a2a3=15.由解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.经
6、检验,符合题意.(2)由(1)知bn=2n22n-1=n4n,所以Tn=141+242+n4n,4Tn=142+243+n4n+1,两式相减,得-3Tn=41+42+4n-n4n+1=-n4n+1=4n+1-.所以Tn=4n+1+=.1.错位相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围:主要适用于an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和.(2)注意事项:利用“错位相减法”时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意使两式对齐,以便于作差,正确写出(1-q)Sn的表达式;利用此法时要注意讨论公比q是否等于1.2.错位相减法进行求和的基本步骤(1)在等式Sn=a1+a2+a3+an两边同乘
7、以等比数列的公比q.(2)两式相减:左边为(1-q)Sn,右边为q的同次式对齐相减.(3)右边去掉最后一项(有时需要去掉第一项)剩下的各项组成等比数列,可以采用公式求和.1.国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩,2015年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩,以后每年退耕还林的面积按12%递增.试问从2015年底,到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划?(1.1282.476,1.1272.211)(精确到年)【解析】设从2015年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1,a2,a3,an,万亩.则a1=515(1+12%),a2=515(1+12%)2,an=515(1+12%)n,.S
8、n=a1+a2+an=6 370-515,所以5151.12(1.12n-1)=5 8550.12.即1.12n2.218.又因为nN+,当n=7时,1.1272.211,此时完不成退耕还林计划,所以n=8.故到2023年底西部地区才能完成退耕还林计划.2.(2020宁化高一检测)已知是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=3,a3+a4=12,数列满足+=an+1.(1)分别求数列,的通项公式;(2)设数列的前n项和Tn,求Tn的最小值.【解题指南】(1)根据是各项均为正数的等比数列,利用“a1,q ”求解,然后利用数列通项公式与前n项和的关系求解bn.(2)利用错位相减法求Tn,再利用作差
9、法判断Tn的增减性求最值.【解析】(1)因为是各项均为正数的等比数列,所以a3+a4=q2,因为a1+a2=3,a3+a4=12,所以q2=4,所以q=2,所以a1+a2=3a1=3,所以a1=1,所以an=2n-1,又因为+=an+1,所以+=2n,n=1时b1=2,所以+=2n-1(n2),两式相减得=2n-2n-1=2n-1,所以bn=(2n-1)2n-1(n2),因为b1=2不满足bn,所以bn=(2)当n=1时,T1=2;当n2时,Tn=2+321+522+(2n-1)2n-1,2Tn=22+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,所以-Tn=2+2+222+22n-
10、1-(2n-1)2n=2-(2n-1)2n=2-(2n-1)2n,所以Tn=4+(2n-3)2n,因为T1=2满足Tn,所以Tn=4+(2n-3)2n,因为Tn+1-Tn=4+(2n+2-3)2n+1-=(2n+1)2n0,所以数列为递增数列,所以Tn的最小值为2.课堂检测素养达标 1.计算机的价格不断降低,若每台计算机的价格每年降低,则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为()A.300元B.900元C.2 400元D.3 600元【解析】选C.降低后的价格构成以为公比的等比数列.则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100=2 400(元).2.设等比数列an
11、的前n项和为Sn,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q等于()A.-3B.-1C.1D.3【解析】选D.由a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减得a4-a3=2a3,从而q=3.3.已知等比数列的前n项和为Sn,且满足2Sn=2n+1+,则的值是()A.4B.2C.-2D.-4【解题指南】利用Sn先求出an,然后计算出结果.【解析】选C.根据题意,当n=1时,2S1=2a1=4+,所以a1=,故当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,因为数列是等比数列,则a1=1,故=1,解得=-2.4.(教材二次开发:习题改编)若数列满足a1=-2,且对于任意的m,nN*,都有am+n=a
12、man,则a3=;数列前10项的和S10=.【解析】由am+n=aman得a2=a1a1=4,a3=a2a1=-8,由am+n=aman得an+1=a1an=-2an,所以数列为等比数列,因此S10=682.答案:-86825.设数列(n2+n)an是等比数列,且a1=,a2=,则数列3nan的前15项和为.【解析】等比数列(n2+n)an的首项为2a1=,第二项为6a2=,所以公比为,所以(n2+n)an=,所以an=,则3nan=-,其前n项和为1-,当n=15时,为1-=.答案:6.已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列an的通项公式;(2)bn为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)设an的公比为q,由已知又an0,解得所以an=2n.(2)由已知S2n+1=(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以bn=2n+1.令cn=,则cn=,所以Tn=c1+c2+cn=+,又Tn=+,两式相减得Tn=+-,所以Tn=5-.- 9 - 版权所有高考资源网
